九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版知识精讲

1、圆精讲一. 教学内容： 垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系学习目标 1. 理解由圆的轴对称性推出垂径定理，概括理解垂径定理及推论为“知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。已知其中两项，可推出其余三项。注意：当知（1）（3）推（2）（4）（5）时，即“平分弦的直径不能推出垂直于弦，平分两弧。”而应强调附加“平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两弧”。 2. 深入理解垂径定理及推论，为五点共线，即圆心O，垂足M，弦中点M，劣弧中点D，优弧中点C，五点共线。（M点是两点重合的一点，代表两层意义） 3. 应用以上定理主要是解直角三角形A

2、OM，在RtAOM中，AO为圆半径，OM为弦AB的弦心距，AM为弦AB的一半，三者把解直角形的知识，借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题。无该RtAOM时，注意巧添弦心距，或半径，构建直角三角形。 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离，明确由定义知只要是弓形的高，就具备了前述的（4）（2）或（5）（2）可推（1）（3）（5）或（1）（3）（4），实际可用垂径定理及推论解决弓形高的有关问题。 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理，理解为：（1）圆心角相等，（2）所对弧相等，（3）所对弦相等，（4）所对弦的弦心距相等。四项“知一推三”，一项相等，其余三项皆相等。源于圆的旋转不变性。即：圆绕其

3、圆心旋转任意角度，所得图形与原图象完全重合。 6. 应用关系定理及推论，证角等，线段等，弧等，等等，注意构造圆心角或弦心距作为辅助线。 7. 圆心角的度数与弧的度数等，而不是角等于弧。二. 重点、难点： 垂径定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距关系定理及推论的应用。【典型例题】 例1. 已知：在O中，弦AB12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径。 例2. 如图所示，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a，b。 求证： 例3. O的直径为12cm，弦AB垂直平分半径OC，那么弦AB的长为（ ） A. B. 6cmC. D. 例4

4、. 如图所示，以O为圆心，AOB120°，弓形高ND4cm，矩形EFGH的两顶点E、F在弦AB上，H、G在上，且EF4HE，求HE的长。 例5. 已知，AB是O的弦，半径OCAB于点D，且，则DC的长为（ ） A. 3cmB. 2.5cmC. 2cmD. 1cm 例6. 在O中，那么（ ） A. B. C. D. 例7. 已知O的半径是10cm，是120°，那么弦AB的弦心距是（ ） A. 5cmB. C. D. 例8. 等腰ABC的顶角A120°，腰ABAC10，ABC的外接圆半径等于（ ） A. 20B. 15C. 10D. 5 例9. 点P为半径是5的O内一

5、点，且OP3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有（ ） A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条（ 例10. 如图所示，M、N分别是O的弦AB、CD的中点，ABCD。 求证：AMNCNM 【模拟试题】（答题时间：30分钟）一. 选择题。 1. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 平分一条弦的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B. 平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧 C. 在O中，AB、CD是弦，若，则ABCD D. 圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径 2. 已知P为O内一点，且OP3cm，如果O的半径是4cm，那么过P点的最短弦等于（ ） A. 2cmB. 3cmC. cmD. c

6、m 3. 弓形弦长24，弓形高为8，则弓形所在圆的直径是（ ） A. 10B. 26C. 13D. 5 4. 在直径是10cm的O中，为60°，则弦AB的弦心距是（ ） A. B. C. D. 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦，共ABCD，那么的关系是（ ） A. B. C. D. 不确定二. 填空题。 6. 已知AB为O直径，AC为弦，ODBC交AC于D，AC6cm，则DC_。 7. 直角三角形外接圆的圆心在_，它的半径为_一半。 8. 若一个圆经梯形ABCD四个顶点，则这个梯形是_梯形。 9. 弦AB把O分3：7，则AOB_。 10. 若O半径是4，P在O内，PO2，则过P点

7、的最短的弦所对劣弧是_度。 11. O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径OA4cm，OP2cm，则AOB_，ADC_，度数为_，ADC周长为_ cm。三. 解答题。 12. 如图，O的两弦AB，CD互相垂直于H，AH4，BH6，CH3，DH8，求O半径。 13. 已知：如图，C为O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CDCO，若度数为50°，求的度数。下列命题中，正确的有（ ）个 顶点在圆周上的角是圆周角 圆周角是圆心角的一半 90°的圆周角所对的弦是直径 圆周角相等，则它们所对的弧也相等A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆

8、周角为（ ）A. 60°B. 60°或120°C. 120°D. 30°或150°3. 在O中，圆心角为70°，则它所对弧所对的圆周角为 。4. 如图，ABC=46°，ACB=63°，若，则BCH= 。5. 如图，AB是O的弦，OAB=75°，则此弦所对的优弧是圆周的 。6. 在ABC中，D为BC中点，则BAC= 。1、已知圆O的半径OA=1，弦AB、AC的长分别为，则BAC的度数为_。 2、圆O的直径AB=4，C在圆O上，BAC=30°，则弦AC的长为_。 3、圆O中，弦AB、CD互相垂直于点H，AH=4，BH=6，CH=3，DH=8，求圆O的半径。 4、圆O的直径AB与弦CD相交于点E，已知AE=1，BE=5，DEB=60°，求CD的长。 5、下列判断正确的是（ ）平分弦的直径垂直于弦平分弦的直线也平分弦所对的两条弧弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦 6、如图，圆O中弦AB=8，半径OA=5，C是的中点，求AC的长。 7、点O在CAE的平分线上，以O为圆心的圆分别交CAE的两边于点B、C、D、E。求证：AB=AD。 8、AB为圆O的直径，C在圆O上，ABC的平分线交圆O于D，交CA于E，已知BC=6，AC