在空气阻力下的抛物运动

1、在空氟阻力下的抛物建勤空锯:阻力一般物醴在空氟中逋勤所受的阻力大小大略典物H封空氟相封速度平方成正比，方向JW典相封速度方向相反，因此阻力可表示悬：f=-D|v|v其中v悬物H封空氟的相封速度，如果空氟悬静止，v就是物醴的速度；式中的H虢表示阻力典速度方向相反。常v悬正畤，|v|v悬正；常v|v|v悬A（若嘉成v2刖始正）。上式中的D可表示悬：D二位2其中自悬空氟密度，在常温常J1下余勺悬1.2kg/m3；A悬物醴面封逋勤方向上的截面稹（cross-sectionalarea,常物I1以敕大的截面稹面朝向逋S&方向畤，所受的阻力敕大，反之JW敕小；CJW是一他I典物醴形状、表面粗糙度、

2、空氟黏性、等因素相信制的瓢因次阻力彳系数（resistancecoefficient）。下表所列悬一些优兄下的阻力彳系数值。光滑圄球棒球圄柱BW人檄翼汽电0.50.31.21.10.90.010.4常物醴在静止空氟中做抛物逋勤畤，在水平（x）典4&垂（y,朝上悬正）方向的牛第二定律方程式分别悬：max=fx=一Dx|vx|vxmay=fy-g-Dy|vy|vy5§或ax-2|vx|vx（1）m-Dyay=-|vy|vy-g（2）m其中ax典ay分别悬物醴在雨他方向上的加速度；m悬物量；vx典vy分别悬物醴在雨他方向上的逋勤速度，g悬重力加速度。由於物醴面封雨（0方向的截面稹可

3、能不同，故分别以Dx典DyK别。考一他I在静止空氟中做抛物逋勤的圄球，圄球密度悬P,半彳至悬r,物H瓢谪面封任何方向的截面稹都是A2A二二r於是D=Dx=Dy：aC二r22而物醴的U量可由H稹V=4nr3/3得代入式(1)典(2)可得：Dax=一-MMmD，ay=|Vy|Vy-gm然道槿逋勤不是等加速度逋勤，因悬加速度曾随速度的大小而改建。所以一般等加速度逋勤方程式都不逾用在造槿状况下。但我伸耳遢是可以利用等加速度逋勤方程式解决道他的题。近似解法如果在一段相常短由t到t+&的畤段内(意思就是At很小)，ax典ay建化不太大，我伸号可以符原来的加速度方程式稍加修改：Vx(t：t)=Vx(

4、t)ax(t)4=Vx(t)-|Vx(t)|Vx(t).：tmVy(t：t)=Vy(t)ay(t)t=Vy(t)-Vy(t)|Vy(t)t(6),m12D212yttJ=ytVytt-ayttxt"xty5aMt,=xtVxt't一诟1Vxt1Vxit=y(t)+Vy(t加-1常|Vy(t)|Vy(t广J2(8)上面黑他I式子的基本理念如下：1, 用t至It+N畤段HIM的位置x(t)典y做悬起始位置。2, 用t到t+N畤段KIM的速度Vx典Vy做悬起始速度。3, 用t到t+At畤段HIM的速度Vx(t)典Vy(t)言十算阻力典加速度ax(t)典ay(t)o4, 用t到t+N

5、畤段HIM的加速度ax(t)典ay(t)做悬整他I畤段的等加速度值(只是他近似值，如果At很小的1舌，加速度值在道他畤段内不1M#化太多)。此外我伸心1需要知道BI球在t=0畤的位置x(0)=x0,y(0)=y0以及速度V x(0)=Vx0=V0COSfl0,Vy(0)=Vy0=V0Sin00，其中00悬射角。以一他轮例做明:空氟密度Pa：31.2kg/m阻力彳系数C:0.3BI球密度P：32000kg/mBI球半彳至r：0.025m畤距&：0.01s(希望黄J小)初速V0：50m/s重力加速度g:cc，29.8m/s射角道：40度起始位置(x0,y0):(0,0)m道差不多是一他棒球

6、被擎出的状况。先符彳爰面曾用到的参数算好:Bl球截面稹A:=仃2=0.0252n=0.001963m2D:22PaCnr1.2X0.3X0.025,=-=3.534x10kg/mBl球H稹V：4叮34元0.0253C一一c3=6.545父10m33BI球®量m：=PV=2000X6.545黑10'=0.1309kgD/m：_4-13.53410/0.1309=0.0027m水平初速V0x：v0cos60=50cos40-=38.30m/s垂直初速V0y：v0sin80=50sin40-=32.14m/s造些资料宵咻|彳爰，就可以逐步言十算:t=0日寺在起始畤，所有僚件均已给定

7、，所以：x(0)=X0=0my(0)=y0=0mV x(0)=V0x=38.30m/sV y(0)=V0y=32.14m/s有了速度彳爰，加速度便可利用式(3)典(4)言十算：ax0=-D|Vx|Vx=-0.0027|38.30|38.30=-3.961m/s2mcD2ay0=|vy|vyg-0.0027|32.14|32.14-9.8-12.59m/smt=0.01S日寺利用式(5)典(6)求得：vx(0.01)=vx(0)ax(0).：t=38.30-3.9610.01=38.26m/svy(0.01)-vy(0)ay(0)：t-32.14-12.590.01=32.01m/s利用式(7)

8、典(8)求得：x0.01)=x0vx0：tax(0)：t2/2-38.300.01-3.9610.012/2-0.3828m2_.2y0.01>y0vy0：tay0t2/2=32.140.01-12.590.012/2-0.3208m接著利用式(3)典(4)求得t=0.01s畤的加速度，以提供次一他畤(t=0.02s)言十算使用:2ax0.01=-0.0027|38.26|38.26=3.953m/s22ay0.01)=-0.0027|32.01|32.01-9.8-12.57m/s2t=0.02s以接依前述方法，每隔0.01s言十算一次，最彳爰你就曾得到位置、速度典加速度封畤的信割系。

9、使用Excel你或if天呀！照适檬算下去要算到什麽畤候才能重出一他抛物to亦<0言已得二十年前，美阈窜方就H彝出一槿雷连，可以慎测到®(方射出的硝弹(常然是在空氟中来行)，3a8估硝弹的落黑占，一方面封己方亵出58警(常然遢得躲得快一黑占)，另一方面可以推估®(方硝位，以便迤行反硝擎。如果用刚才的人工言十算方法(虽隹然配合你手遏的言十算械)，常你遢没算完第一步骤畤，敲方硝弹早就落地了，而且敲方的火硝早就跑了。所以道槿言十算交给故，你只需要段言十言十算的程序来。你可以在所附的Excel槽案中看看整他言十算方法。在造他槽案中的工作表上方是必须巾俞入的参数，输入的楹f存格以

10、底色襟示。再下来襄列刖是往彳爰言十算谩程中要用到的参数，适些参数是由巾俞入的数摞自勤推算。再下来近一千列的数字就是每隔一他I的位置、速度典加速度值，每列的言十算结果都是依at前面方法由前一列的结果逐步言十算而得。工作表中遢有根at每他I畤的x>y值以散佛IB所出的to亦H。工作表中的言十算遢包括不考ft空氟阻力的雨槿算法做悬比敕：一槿是粹套抛物逋勤公式；另一槿方法也是使用前述逐步言十算的方法，但不加入空氟阻力相的造雨槿结果所出的抛物woMKg重叠。道槿逐步言十算的近似方式在数孥上数值方法（numericalmethod）,因悬它的结果必然是数字，不是代数公式如果物ft不是圄球呢？前面的例

11、子是金性寸最曾罩的圄球形物瓢谪在任何方向截面稹都相同。若是像硝弹或来械之I®的物遢必i（知道每（0畤的方向，因悬道曾影簪不同方向的空氟阻力。道（0曲!涉及更高深的航空S&力孥（aerodynamic）知言法,根摞物醴四周的屋力分布言十算物醴的指向。微粒在空IR中的建蜀J小微粒（直彳至在数微米或10-6m左右）在空氟中所受的阻力又典一般物H不同。它伸号所受的阻力典速度成正比：f-61rv42.其中口悬仝氟黏滞K系数（viscosity）,在吊温吊！!下余1.8父10N-s/m。小微粒的空氟阻力主要乘自於空氟在微粒表面的摩擦；但一般物醴空氟阻力主要来自於封其所造成的窗L流（因此生前彳爰屋力差），所以阻力公式不一檬。或那午你曾想用前面的近似言十算法来言十算微粒的40亦，但你曾樊琪行不通，因悬言十算黑他步骤彳爰数字就曾大到相常不合理的值（彝散）。迨是因悬微粒的II量太小（典r的三次方成正比），虽隹然微粒所受的阻力也很小（典r成正比），但减小的超势速低於U量