自动控制理论教学-第四章 根轨迹法ppt课件

1、一、根轨迹的概念一、根轨迹的概念 从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在从上一章讨论知道，闭环系统的动态性能与闭环极点在 平面上的位置是亲密相关的，分析系统性能时往往要求确平面上的位置是亲密相关的，分析系统性能时往往要求确定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研讨一个定闭环极点位置。另一方面分析设计系统时经常要研讨一个或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性或者多个参量在一定范围内变化时对闭环极点位置及系统性能的影响能的影响. . W.R.EVAOVS( W.R.EVAOVS(依万斯依万斯) )于于19481948年首先提出了求解特征方程年首先提出了求解特征方程式根

2、的图解法式根的图解法根轨迹法。根轨迹法。 s 根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷根轨迹简称根迹，它是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环系统特征方程的根在时，闭环系统特征方程的根在 平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。s( )R s()*Ks sa( )C s 普通而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系普通而言，绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的恣意参量。但在实践中，最常用的可变参量是系统统的恣意参量。但在实践中，最常用的可变参量是系统的开环增益的开环增益 。以。以 为可变参量绘制的根轨迹称为为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。常规根轨迹。KK例例4-1：规范二阶系统根轨

3、迹图。：规范二阶系统根轨迹图。( )()*KG ss sa规范二阶系统开环传送函数为：规范二阶系统开环传送函数为：它有两个极点：它有两个极点： ，无零点，无零点， 为根轨迹增益。为根轨迹增益。120p,pa *K系统的闭环传送函数为：系统的闭环传送函数为： 2( )( )( )*C ssR ssasKK闭环特征方程：闭环特征方程：闭环特征根闭环特征根(极点极点) ：20*sasK21 222,*aKas 10p j02pa 2assa 讨论讨论 一定时，根轨迹增益一定时，根轨迹增益 与特征根之间的关系：与特征根之间的关系： a*K 当当 时，时， ，即开环极点；，即开环极点；0*K120ssa

4、 ， 时的根轨迹时的根轨迹( (闭环闭环特征根随特征根随 变化的轨迹变化的轨迹) )如右如右图所示。显然，图所示。显然， 和和 都为正时，系统稳都为正时，系统稳定。定。 0*K：*Ka*K 当当 时，时， 和和 为互不相等的两个负实根，为互不相等的两个负实根， 对应于系统过阻尼的情况；对应于系统过阻尼的情况；204*aK1s2s 当当 时，两根相等，时，两根相等， ， 对应于系统临界阻尼的情况；对应于系统临界阻尼的情况；24*aK 122ass 10p j02pa 2assa 当当 时，时， 两根为共轭复数根，两根为共轭复数根， ，这时，根轨迹，这时，根轨迹 与实轴垂直，并相交于与实轴垂直，并

5、相交于 ， 对应于系统欠阻尼的情况。对应于系统欠阻尼的情况。24*aK 21 224*,saj Ka (0)2aj，规定：规定： 表示开环极点；表示开环极点； 表示开环零点；表示开环零点；箭头表示箭头表示 增大时，闭环极点的变化趋势。增大时，闭环极点的变化趋势。*K二、根轨迹与系统性能二、根轨迹与系统性能 稳定性稳定性 稳态性能稳态性能 动态性能动态性能根轨迹与虚轴交点处的根轨迹与虚轴交点处的 值就是临界根轨迹增益。值就是临界根轨迹增益。*K 稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开稳态性能与开环增益及在原点的开环极点数有关。开环极点是表如今根轨迹上的，而且，开环增益如何变化，环极点是表

6、如今根轨迹上的，而且，开环增益如何变化，系统的闭环极点位置也表如今根轨迹图上。可在根轨迹图系统的闭环极点位置也表如今根轨迹图上。可在根轨迹图上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。上，确定保证系统静态性能的开环增益范围。 动态性能由闭环极点位置决议，在根轨迹图上，可以动态性能由闭环极点位置决议，在根轨迹图上，可以确定出满足系统性能的参数范围。确定出满足系统性能的参数范围。三、闭环零极点与开环零极点之间的关系三、闭环零极点与开环零极点之间的关系( )R s( )G s( )C s( )H s11( )()rjGi*qjiszGKssp11( )()l*HjiijhKszH ssp典型的控制系统构

7、造图如右：典型的控制系统构造图如右：开环传送函数为：开环传送函数为：闭环传送函数为：闭环传送函数为：1111( )( )1( )()( )()hiimjjrjjni*i*GG ssG ssspspKH szzKs11()( )( )()mji*nijG ssKHzssp()*GH*KKK开环增益：开环增益：11()(0)(0)()m*GHjjniiK KzKGHp1111()()()()r*h*GjijiBnmijijKzpKpzK 影响系统输入影响系统输入 输出的幅值比输出的幅值比闭环增益：闭环增益：根轨迹增益：根轨迹增益：*GH*KKK 闭环零点由前向通道的零点和反响通道的极点组成。闭环零

8、点由前向通道的零点和反响通道的极点组成。 闭环极点与开环传送函数的零点、极点和增益有关。闭环极点与开环传送函数的零点、极点和增益有关。 结论结论系统的特征方程：系统的特征方程：11( )1( )( )()()0nmijij*D sG s H ssKpsz 影响系统影响系统 的稳态误差的稳态误差 闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益。一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件l 闭环特征方程：闭环特征方程：1( )( )0G s H s(21)( )( )11 (012)jqG s H seq, 即：即：l 幅值

9、条件：幅值条件：l 相角条件：相角条件：( )( )1G s H s ( )( )180 (21) (0 1 2)G s H sqq, , , 凡是满足上述幅值条件和相角条件的凡是满足上述幅值条件和相角条件的 值，就是系值，就是系统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在统特征方程式的根，也就是系统的闭环极点，就必定在根轨迹上。根轨迹上。s二、开环传送函数的两种表达式二、开环传送函数的两种表达式11()( )( )()jimjni*sG s HzKssp11(1)( )( )(1)mjjinisG s H ssKT显然有：显然有：11()(1)1mjijj*jniiippKTKzz ，

10、零极点方式：零极点方式： 首首1型型 时间常数方式：时间常数方式： 尾尾1型型根轨迹法中，其开环传送函数多采用零极点方式：根轨迹法中，其开环传送函数多采用零极点方式：11()( )( )()jimjni*sG s HzKsspu 绘制根轨迹的幅值绘制根轨迹的幅值(模值模值)条件为：条件为：u 绘制根轨迹的相角条件为：绘制根轨迹的相角条件为：111jniji*msszpK11njm*iijsszKp或或11()()180 (21) (0 1 2)mnjijissqq, , ,zp l 模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹模值方程不但与开环零、极点有关，而且与开环根轨迹l 增益有关；而

11、相角方程只与开环零、极点有关。增益有关；而相角方程只与开环零、极点有关。l 相角方程是决议系统闭环根轨迹的充分必要条件。相角方程是决议系统闭环根轨迹的充分必要条件。留意几点！留意几点！l 模值方程是根轨迹的必要条件模值方程是根轨迹的必要条件 平面上的某一点平面上的某一点l 是根轨迹上的点，那么幅值条件成立；是根轨迹上的点，那么幅值条件成立； 平面上的任一平面上的任一l 点点 满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。SSssl 在实践运用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主在实践运用中，用相角方程绘制根轨迹，而模值方程主l 要用来确定知根轨迹上某一点

12、的要用来确定知根轨迹上某一点的 值。值。*K三、绘制根轨迹的根本规那么三、绘制根轨迹的根本规那么 规那么规那么1 根轨迹的起点和终根轨迹的起点和终点点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。证明：闭环特征方程可表示为证明：闭环特征方程可表示为11()()0*inmjjizsspK (01 2)*isip, ,nK 上式同除上式同除 得：得：*K11()()0nmiij*jKsszp (1 2)*jsjzK, ,m111111nnnnmmm*msa sasasbsbsbK 实践系统中，实践系统中， ，因此，有，因此，有 条根轨迹的终点条根轨迹的终点将在无穷远处

13、将在无穷远处(无限零点；无限零点无限零点；无限零点+有限零点有限零点=极点数极点数)。假设假设 ，那么必有，那么必有 条根轨迹的起点在无穷远处条根轨迹的起点在无穷远处(无无限极点限极点)。mn()nmnm()nm幅值条件可以表示为：幅值条件可以表示为： 上式阐明：只需当上式阐明：只需当 时时 ，故有，故有 条根轨迹分支，趋向无穷远处。条根轨迹分支，趋向无穷远处。s *K ()nm规那么规那么2 根轨迹的分支数、对称性和延续根轨迹的分支数、对称性和延续性性 根轨迹的分支数根轨迹的分支数 ，它们是延续的，它们是延续的，并且对称于实轴。并且对称于实轴。()max n,m证明：证明： 根轨迹是开环系统

14、某一参数从根轨迹是开环系统某一参数从 时，闭环特征时，闭环特征 方程的根在方程的根在 平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支平面上变化的轨迹。因此，根轨迹的分支 数应该等于闭环特征方程的根的数目。数应该等于闭环特征方程的根的数目。 普通物理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭普通物理系统的特征方程中各项系数是实数，故闭 环特征方程的根只需实根和复根两种，实根位于实轴环特征方程的根只需实根和复根两种，实根位于实轴 上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹对上，复根必共轭。而根轨迹是根的集合，所以根轨迹对 称于实轴。根据对称性，只需做出上半称于实轴。根据对称性，只需做出上半 平面的根轨平面的根

15、轨 迹，然后，利用对称性就可以画出下半迹，然后，利用对称性就可以画出下半 平面的根轨迹。平面的根轨迹。 由于系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数由于系统特征方程是代数方程，而代数方程中系数 延续变化时，根也延续变化，故根轨迹是延续的。延续变化时，根也延续变化，故根轨迹是延续的。0sss规那么规那么3 根轨迹的渐进根轨迹的渐进线线11180 (21) (0 1 21)nmijijaapzqq, ,nmnmnm， 当开环有限极点数当开环有限极点数 大于有限零点数时，有大于有限零点数时，有 条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 、交点为、交点为 的一组的一组渐近线趋向无穷远处

16、，且有：渐近线趋向无穷远处，且有：aan()nm111111()( )( )()mmmjmn*njni*inKKssbsbG s H ssa saszp证明：证明：式中，式中，111111()()mnmnjimjnijijibz ,ap ,bz,ap 1212 nnnnsa sa sa11mmmsbsbn ms1212nnnmsb sb sb121122nnmmab sabsab()()()111n mab s()12111111nnmmab sb ab sb ab()()()222111n mabb abs()()222111nabb abs()()当当 值很大时，值很大时，111( )(

17、)n mm*naKHssG ssb()s( )( )1G s H s 由由 得渐近线方程为：得渐近线方程为：111n m*abssK 11111n mn m*abssK 即：即：二项展开式：二项展开式：2(1)(1)(1)(1)1 ( 11)2!mnm mm mmnxmxxxxn 12111111111111112! 1()n mabababsnmsnmnmsabs nm 根据二项式定理有：根据二项式定理有：代入渐近线方程得：代入渐近线方程得：11111()()*n mn*mababsscosjsins nmKKnm 设设 ，那么：，那么：()zr cosjsin1122nnkkzrcosjs

18、innn11(21)(21)*n mabqqjcosjsinnmnnKmm令令 可得：可得：sj11(21)(21) n mn*mKabqcosnmnmqsinnmK () n maaaaa*sincostanK解得：解得：式中：式中：1111(21) (0 1 21), nmijijaapzabqq, ,nmnmnmnm 0jaaaaatan 规那么规那么4 实轴上的根轨实轴上的根轨迹迹 实轴上的某一区域，假设其右边开环零、极点的数目实轴上的某一区域，假设其右边开环零、极点的数目之和为奇数，那么该区域必定是根轨迹。之和为奇数，那么该区域必定是根轨迹。由图可见，在由图可见，在 右右边的每个开环

19、零点边的每个开环零点或极点提供的相角或极点提供的相角为为180，在，在 点左点左边的每个开环零点边的每个开环零点或极点提供的相角或极点提供的相角为为0，一对共轭开，一对共轭开环极点或零点对提环极点或零点对提供的相角相互抵消，供的相角相互抵消，其和为零。其和为零。0s0s0j1z2z3z1p2p3p4p0s30211203() 4()注：注： 箭头指向箭头指向 。12zz1z0s0s0011()()180 (21) (0 1 2)mjniijzssq, ,pq, 相角条件变为：相角条件变为：0m 右边的开环零点数；右边的开环零点数；0s 右边的开环极点数。右边的开环极点数。0n0s即：即：00(

20、)180 (21) (0 1 2)mnqq, , , 例例4-2：试绘制开环传送函数为：试绘制开环传送函数为 的单位的单位 反响系统的根轨迹。反响系统的根轨迹。( )(1)(2)*G ss sKs解：解：30nm， 为根轨迹的起点；为根轨迹的起点； 开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。开环无零点，故三个分支终点均趋向无穷远。123012ppp ， 实轴上根轨迹：实轴上根轨迹：11(21)(21)60 180 (0 1 2)33013anmijijaqqq, ,nmpznm 、30021 0, （，j10p 21p 32p b问题：问题： 点坐标如何求取？点坐标如何求取？b规那么规那么5 根

21、轨迹的分别点与分别根轨迹的分别点与分别角角l 分别角：根轨迹进入分别点的切线方向与分开分别点的分别角：根轨迹进入分别点的切线方向与分开分别点的l 切线方向之间的夹角。切线方向之间的夹角。l 分别点：两条或两条以上根轨迹分支在分别点：两条或两条以上根轨迹分支在S平面上相遇又平面上相遇又l 立刻分开的点，称为根轨迹的分别点。立刻分开的点，称为根轨迹的分别点。复平面上根轨迹的分别点必需满足方程：复平面上根轨迹的分别点必需满足方程：0*dKds 必要非充分条件！必要非充分条件！ 对于实轴上0至 线段的实数根而言，其对应的 值在 点为极大值。 可以证明，当l 条根轨迹分支进入并立刻分开分别点时，分别角为

22、*Kb(21) 011klkl - . ， ， ，1例例4-3：求上例中：求上例中 点的坐标。点的坐标。b解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为1( )10(1)(2)*G ss sKs 32 (1)(2)(32 )*s ssssKs 0*dKds令令 得：得：1223620 0 4231 577 ss.s.s ，10 s 0 423 s. 为分别点为分别点 的坐标。的坐标。b或：或： 假设假设ii*sK00*i*iKK那么那么 为分别点为分别点那么那么 不是分别点不是分别点isis1111jnmijizpdd分别点的坐标分别点的坐标 还可以由以下方程求得：还可以由以下方程求得：11( )(

23、)()0n*imijjD sssKpz证明：闭环特征方程可表示为证明：闭环特征方程可表示为根轨迹在根轨迹在 平面相遇，阐明平面相遇，阐明 有重根，有重根，s( )0D s ( ) 0dD sds1111()() ()()*nmijinmijijj*ssddssdsdszppKzK 即：即：下式除以上式得：下式除以上式得：无有限零点时无有限零点时等于零等于零1111()()()() iimnjijnmijjddsppsdsdszszs11()() mnijjid lnsd lnsdspszd111111 ()()()()()() jjnmnmijijiiinijjmlnsln slnsln sd

24、 ln sd ln sdppzzzdsps， 1111jnmijizpss即：即： 证毕。证毕。 规那么规那么6 根轨迹的出射角和入射根轨迹的出射角和入射角角在开环复数极点处，根轨迹的出射角为：在开环复数极点处，根轨迹的出射角为：在开环复数零点处，根轨迹的入射角为：在开环复数零点处，根轨迹的入射角为：180p180z 式中，式中， 是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角1111 ()() ()()zpmnkjkiji,i kmnkjkij,j kipzpporzzzp出射角出射角(起始角起始角)：根轨迹分开复数极点处的切线与正实轴：根轨迹分开复

25、数极点处的切线与正实轴 的夹角。的夹角。入射角入射角(终止角终止角)：根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴：根轨迹进入复数零点处的切线与正实轴 的夹角。的夹角。举例：如图，设举例：如图，设 为距为距 很近的根轨迹上的一点，很近的根轨迹上的一点， 。ds5p5ppj1z1p2p3p4pds5p5p4p3p2p1p1z123145()180zppppp 151234180 =() zppppp 由于由于 位于根轨迹上，应满足位于根轨迹上，应满足相角条件，即：相角条件，即：ds规那么规那么7 根轨迹与虚轴的交根轨迹与虚轴的交点点 假设根轨迹与虚轴相交，那么交点上的假设根轨迹与虚轴相交，那么交点上的 值

26、和值和 值可用值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的 ，然后，然后分别令其实部和虚部为零而求得。分别令其实部和虚部为零而求得。*Ksj例例4-4：设系统的开环传送函数为：设系统的开环传送函数为 试绘制系统的概略根轨迹。试绘制系统的概略根轨迹。2( )( )(3)(22)*G s H ss ssKs解：解：1234034011pppjpmjn ， 标出零极点标出零极点 确定实轴上的根轨迹确定实轴上的根轨迹四个开环极点，无开环零点，四条根轨迹趋向无穷零点。四个开环极点，无开环零点，四条根轨迹趋向无穷零点。实轴上，实轴上， 区域为根轨迹。区域为根轨迹。3 0,

27、 确定根轨迹的渐近确定根轨迹的渐近线线11(21)(21)45 135 (0 1 2 3)4501 254anmijijaqqq, , ,nmpz.nm 、225 、315 确定分别点和分别确定分别点和分别角角2432(3)(22)(586 )*s ssssssKs 21( )( )10(3)(22)*G s H ss sssK 由由 可得：可得：232(3)(22)(415166)0*ds ssssssdKs 解得：解得： (用二分法求近似解用二分法求近似解)。分别角。分别角2 3s. 180902 二分法：设二分法：设 在在 上延续，上延续， 且且 在在 内仅有一个实根内仅有一个实根 ，于

28、是，于是 即是这个根的隔离区间。即是这个根的隔离区间。 取取 ，计算，计算 ，假设，假设 ，那么，那么 ； 假设假设 与与 同号，那么令同号，那么令 由由 知：知： 且且 ； 假设假设 与与 同号，那么令同号，那么令 由由知：知： 且且 ； 以以 作为新的隔离区间，反复上述做法，当作为新的隔离区间，反复上述做法，当 时可求得时可求得 ，且，且 ； 反复反复 次，次， ，且，且 。( )f xa,b( )( )0f af b( )0f x ()a,ba,b1() 2ab1()f1()0f11()f( )f a111abb，11( )( )0f af b11ab11() 2baba1()f( )f

29、 b111aab，11( )( )0f af b11ab11() 2baba11a ,b211() 2ab22ab222() 2babannnab() 2nnnbaba 确定出射确定出射角角 确定根轨迹与虚轴的交确定根轨迹与虚轴的交点点1801801 1801359071 62pzparctan. 432( )5860*D ssssKs方法一：劳斯判据方法一：劳斯判据系统的特征方程为：系统的特征方程为：43210185603450204250*ssssKKsKK204250*K令令 可得：可得：2048 1625*K.根据根据 的系数构建辅助方程：的系数构建辅助方程：2s23450*sK55

30、1 134348 16 *sjjj.K 绘制根轨绘制根轨迹迹方法二：把方法二：把 代入特征方程代入特征方程 得得4325860*ssKsssj423(8)(56 )0*jK 42380560 *K (2) (1)由式由式(2)可得：可得： 61 15. 8 16*K.代入式代入式(1)得：得：j0 5 .1 0 .0 5 .30 5 .2 3b. 71 6p. 1135p490p226 6p.1 1 .1 1 .规那么规那么8 根之根之和和 当当 时，特征方程第二项系数与时，特征方程第二项系数与 无关，无关，无论无论 取何值，开环取何值，开环 个极点之和总是等于闭环特征个极点之和总是等于闭环特

31、征方程方程 个根之和，即：个根之和，即：2nm*K*Knn11nniiiisp在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。一个重要推论：一个重要推论： 由于根之和不变，由于根之和不变， 增大，一些根轨迹分支向左移增大，一些根轨迹分支向左移动，那么一定会相应有另外一些根轨迹分支向右挪动。动，那么一定会相应有另外一些根轨迹分支向右挪动。*K 小结：绘制根轨迹的步小结：绘制根轨迹的步骤骤 标出零极点；标出零极点； 确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线； 确定分别点和分别角；确定分别点和分别角； 确定出射角；确定出

32、射角； 确定根轨迹与虚轴的交点；确定根轨迹与虚轴的交点； 绘制根轨迹。绘制根轨迹。例例4-5：设单位反响系统的开环传送函数为：设单位反响系统的开环传送函数为 ， 试绘制闭环系统的根轨迹。试绘制闭环系统的根轨迹。2(0 51)( )0 51*. sG s. ssK 确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹； 标出零极点；标出零极点；解：解：11211212pjnpzmj ，实轴上，实轴上， 区域为根轨迹。区域为根轨迹。(2, 确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；11(21)(21)180 (0)12(2)01anmijijaqqqnmpznm 确定分别点和分别角；确定分别点和分别角； 确定出射

33、角；确定出射角；由由 可得：可得：2(0 51)1( )100 51*. sG s.sKs 222(22)2(22) (2) 1 (22)0(2)*sssdssssKsdKs 即：即：2214200 53 4 4816 s.sss. ，( (舍去！舍去！) )180180 1804590135pzp 确定根轨迹与虚轴的交点；确定根轨迹与虚轴的交点； 绘制根轨迹。绘制根轨迹。2( )(2)220*KD sssK系统的特征方程为：系统的特征方程为：2101222022*sKssKK 0 *K ：故根轨迹与虚轴不相交。故根轨迹与虚轴不相交。j2114123523 414b. 135p45z90p四、

34、闭环极点确实定四、闭环极点确实定 以上我们用相角条件引见了绘制根轨迹的根本规那么，以上我们用相角条件引见了绘制根轨迹的根本规那么，根据幅值条件，可以求出对应根轨迹的点根据幅值条件，可以求出对应根轨迹的点( (闭环极点闭环极点) )的的增益增益 ( (或或 ) )。*KK例例4-6: 给定闭环主导极点的阻尼比为给定闭环主导极点的阻尼比为 ，试利用例，试利用例4-4 绘制的根轨迹图，求增益绘制的根轨迹图，求增益 以及其他闭环极点。以及其他闭环极点。0 5 .*K解：解：1. 绘制绘制 (即即 )线线 根据它与根轨迹的交点求得闭环共轭极点为：根据它与根轨迹的交点求得闭环共轭极点为： 60arccos

35、0 5 .0 40 7.j .11()()(0 40 7 )(2 60 7 )(0 60 3 )(0 6 1 7 )1119 715 126 670 610887 8 jmnjiiss. j. j. j. j.p.z.用相角条件验证用相角条件验证确实是根轨迹上的点。确实是根轨迹上的点。0 40 7 .j .j0 5 .1 0 .0 4 .30 5 .2 3b. 1 1 .1 1 .0 7 .0 5 .10 40 72 60 70 60 30 6 1 7 0 81 2 69 0 67 1 802 63i*nis. j. j. j. j.p.K 2. 2. 求其它闭环极求其它闭环极点点方法一：试探

36、法方法一：试探法 在根轨迹上任选一点；在根轨迹上任选一点； 由零、极点向选定点作直由零、极点向选定点作直线；线； 量出各线段长度；量出各线段长度； 在其他条根轨迹上，反复上述步骤，求出一切极点。在其他条根轨迹上，反复上述步骤，求出一切极点。 假设上式成立，那么该选定点为闭环极点，否那么，假设上式成立，那么该选定点为闭环极点，否那么，另选一点另选一点 重试；重试； 验证：验证：11nimjji*sszKp？已求得闭环共轭极点：已求得闭环共轭极点：0 40 7.j .2(0 40 7)(0 40 7)0 80 65s.j .s.j .s. s.方法二：方法二：4325862 63 ssss.20

37、80 65s. s.2s4320 80 65s. s.s324 27 3562 63. s.ss.4 2 . s324 23 362 73. s.s.s23 993 272 63.s.s.3 99.23 993 192 59.s.s.0 080 04.s.121 452 75s.s. 由由 可解得：可解得：24 203 99. ss.222 63 ( )(3)(22)1 45 1 55 (1 452 92)0 07 2 306D ss sss. 验证：验证：一、参数根轨迹一、参数根轨迹 前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以根轨迹增益前面讨论的系统根轨迹的绘制都是以根轨迹增益 为为可变参量，这种根轨

38、迹称为常规根轨迹。可变参量，这种根轨迹称为常规根轨迹。 从实际上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，从实际上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零点、极点，时间常数和反响系数等，这种根轨迹如开环零点、极点，时间常数和反响系数等，这种根轨迹称为参数根轨迹，或广义根轨迹。称为参数根轨迹，或广义根轨迹。 *K11()( )1( )( )110( )()*mjjni*iszN sG s H sDKKssp ( )10( )P sQ s 前面引见的相角条件、幅值条件及绘制根轨迹的各种前面引见的相角条件、幅值条件及绘制根轨迹的各种规那么都依然有效。规那么都依然有效。例例4-7: 控制系统开环传送

39、函数为控制系统开环传送函数为 ， 试绘制以试绘制以 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。( )( )(1)()*G s H ssasKsa1( )( )10(1)()*G s H ss ssKa 2(1)1(1)*sss saK以以 为参变量的根轨迹方程：为参变量的根轨迹方程：a解：系统的闭环特征方程为：解：系统的闭环特征方程为：2(1)(1)0*s ssKas不同不同 值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇。值，可得到系统不同根轨迹图，即根轨迹簇。*K10*KaK，10*KaK，0a 1*KK20*KaK，20*KaK，0a 2*KK30*KaK，30*KaK，0a 3*KKj1a a 11

40、42Ka 321011(1)0*aaasssaKKKs根轨迹与虚轴交点：根轨迹与虚轴交点：(1)0*a aK1142Ka 二、开环零点和极点对根轨迹的影响二、开环零点和极点对根轨迹的影响开环传送函数上添加零点开环传送函数上添加零点根轨迹向左方向弯曲根轨迹向左方向弯曲180 (21) aqnm 渐近线与实轴倾角随渐近线与实轴倾角随着着 数的增大而添加。数的增大而添加。m11nmijijapznm 渐近线与实轴交点随渐近线与实轴交点随着着 的增大的增大( 点在实轴点在实轴上向右移上向右移)而左移。而左移。czczj121311j 1j 2j121311j 1j 2添加一个零点添加一个零点j1213

41、11j 1j 2右移零点右移零点开环传送函数上添加极点开环传送函数上添加极点根轨迹向右方向弯曲根轨迹向右方向弯曲180 (21) aqnm 渐近线与实轴倾角随渐近线与实轴倾角随着着 数的增大而减小。数的增大而减小。n11nmijijapznm 渐近线与实轴交点随渐近线与实轴交点随着着 的增大的增大( 点在实轴点在实轴上向右移上向右移)而右移。而右移。cpcp向右弯曲趋势随着所添加向右弯曲趋势随着所添加的极点移近原点而加剧的极点移近原点而加剧j1110j1211添加一个极点添加一个极点j10 5 .右移极点右移极点三、多回路系统的根轨迹三、多回路系统的根轨迹( )R s( )C s21()pKs

42、1()ccK ss011()Ks s12c， ， ，例例4-8: 设控制系统的构造如下图，其中参量设控制系统的构造如下图，其中参量 均已确定，要求绘制以均已确定，要求绘制以 为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。0pKK，cK020121()11()1( )( )()cpcK ss ssKGHKsssKs解：解： 要绘制以要绘制以 为参数变量的根轨迹，必需首先知道系统为参数变量的根轨迹，必需首先知道系统的开环零、极点，今知两个开环零点为：的开环零、极点，今知两个开环零点为：cK21211 ，czz 一个开环极点为：一个开环极点为： ，其他的开环极点可由以下，其他的开环极点可由以下方程求得：方程求

43、得：10p 01211()()0ps ssK K012( )( )11()()pK KG s H ss ss内环系统的开环传函为：内环系统的开环传函为： 实践上，上述方程的根即是内环系统的闭环特征根，实践上，上述方程的根即是内环系统的闭环特征根，因此，可由内环系统的根轨迹求得。因此，可由内环系统的根轨迹求得。 设在给定参数设在给定参数 下，从内环根轨迹求得的三个极点下，从内环根轨迹求得的三个极点如图红色极点所示。如图红色极点所示。0pK Kj01121j01c21 绘制多回路反响控制系统根轨迹的方法：从内环开场，绘制多回路反响控制系统根轨迹的方法：从内环开场，分层绘制，逐渐扩展到整个系统。分层

44、绘制，逐渐扩展到整个系统。( )G s( )H s1( )R s( )C s1( )G s1( )H s( )R s 有些系统，内回路为正反响，如上图所示，当用根轨有些系统，内回路为正反响，如上图所示，当用根轨迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反响系统迹法确定内回路的零、极点时，就相当于绘制正反响系统的根轨迹。的根轨迹。( )( )( )1( )( )C sG sR sG s H s内回路系统的闭环传送函数：内回路系统的闭环传送函数：( )( )1G s H s 根轨迹方程：根轨迹方程：11111 ()()180 (2 ) (0 1 2)jjmjnim*iinjissssqq,ppz,

45、Kz, 阐明，对于正反响回路，相角条件变成阐明，对于正反响回路，相角条件变成 。人们通常将这种根轨迹称为零度根轨迹，绘制时应调整的人们通常将这种根轨迹称为零度根轨迹，绘制时应调整的规那么有：规那么有：180 (2 )q2 (0 1 21)aqq, ,nmnm规那么规那么3 渐进线与实轴的交角应改渐进线与实轴的交角应改为：为：规那么规那么4 实轴上的根轨实轴上的根轨迹迹 实轴上的某一区域，假设其右边开环零、极点的数目实轴上的某一区域，假设其右边开环零、极点的数目之和为偶数，那么该区域必定是根轨迹。之和为偶数，那么该区域必定是根轨迹。规那么规那么6 根轨迹的出射角和入射根轨迹的出射角和入射角角在开

46、环复数极点处，根轨迹的出射角为：在开环复数极点处，根轨迹的出射角为：在开环复数零点处，根轨迹的入射角为：在开环复数零点处，根轨迹的入射角为：180 (2 )pq180 (2 )zq 式中，式中， 是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角是其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角1111 ()() ()()mnzpkjkiji,i kmnkjkij,j kipzpporzzzp例例4-8: 知某正反响系统的开环传送函数为：知某正反响系统的开环传送函数为：试绘制该系统的根轨迹。试绘制该系统的根轨迹。2(2)( )( )(3)(22)*sG s H ssssK解：解：1312311132ppn

47、zmjjp ， 确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹；实轴上，实轴上， 、 区域为根轨迹。区域为根轨迹。(3, 2), 确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；2 0180aqnm 、 ( (渐近线为实轴渐近线为实轴) ) 确定分别点和分别角；确定分别点和分别角；1( )( )0G s H s由由 ，得：，得：2(3)(22)2*Kssss0*dKds令令 得：得：3221120100sssj1112345z90p26 6 . 解得：解得：0 81s. 二分法二分法180902 分别角分别角 确定出射角；确定出射角；145(9026 6 )71 6p. 绘制根轨迹。绘制根轨迹。例例4-9:

48、设具有纯滞后环节的系统开环传送函数为：设具有纯滞后环节的系统开环传送函数为：( )( )(1)*seG s H ssKs试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。 当系统一切开环零、极点都位于当系统一切开环零、极点都位于S平面左半部时，系统平面左半部时，系统称为最小相位系统；假设系统具有称为最小相位系统；假设系统具有S平面右半部的开环零、平面右半部的开环零、极点，那么称该系统为非最小相位系统。有纯滞后环节的系极点，那么称该系统为非最小相位系统。有纯滞后环节的系统就是一种非最小相位系统。统就是一种非最小相位系统。最小相位系统和非最小相位系统的定义：最小相位系统和非最小相位系统的定义：212! nxxxexn 解：解： 11 0 5ses. s ( (设设 ) )0 5 .系统的特征方程为：系统的特征方程为： 可见，它具有正反响回路特征方程的性质。因此，绘可见，它具有正反响回路特征方程的性质。因此，绘制零度根轨迹。制零度根轨迹。(0.51)0.5(2)(2)1( )( )11110(1)(1)(1)(1)s*esssG s H ss ss sKKsKsKss 11221012zppnm ， 确定实轴上的根轨迹；确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的渐近线；确定根轨迹的渐近线；2 0180aqnm 、 ( (渐近线为实轴渐近线为实轴)