高等数学第四节 平面及其方程ppt课件

1、第四节第四节 平面及其方程平面及其方程 如今来建立平面如今来建立平面 的方程的方程. 那么点那么点 M 在平在平面面 上的充要条件是上的充要条件是设平面设平面 过过点点,),(0000zyxM是平面是平面 的法向量的法向量.在平面在平面 上任取一点上任取一点 M(x, y, z)，,0n MM.00 nMM即即nMM0 .,CBA n该方程称为平面该方程称为平面 的点法式方程的点法式方程., 0)()()(000 zzCyyBxxA ,0000zzyyxxMM 因因为为所以有所以有 ,CBA n例例 1 求过点求过点(2, 1, 1)且垂直于向量且垂直于向量 i + 2j + 3k 的平面方程

2、的平面方程 . 解解 显然，所求平面的法向量显然，所求平面的法向量 n = i + 2j + 3k ，又由于平面过又由于平面过( 2, 1, 1 )， 所以由公式可得该平面方程所以由公式可得该平面方程为为, 0)1(3)1(2)2( zyx即即 x + 2y + 3z7 = 0 .例例 2求过点求过点 M1( 1, 2, -1 ), M2( 2, 3, 1 ) 且和平且和平面面 x - y + z + 1 = 0 垂直的平面方程垂直的平面方程.解解由于点由于点 M1 ，M2 在所求平面上，所以向量在所求平面上，所以向量 在该平面上，在该平面上， 2,1,121 MM 且与知平面的法向量且与知平

3、面的法向量 n1 = 1, 1, 1 垂直垂直.故该平面的法向量故该平面的法向量121nn MMkjikji23111211 M1M2n10723 zyx为所求的平面的方程为所求的平面的方程., 0)1(2)2()1(3 zyx因此因此由于该平面过点由于该平面过点 M1(1, 2,1)，即即将方程将方程 展开，展开， 得得, 0)(000 CzByAxCzByAx这是关于这是关于 x，y，z 的一次方程，的一次方程， 所以平面可用所以平面可用 x，y，z 的一次方程来表示的一次方程来表示. 反之，恣意的反之，恣意的 x，y，z 的一次方程的一次方程0 DCzByAx( (式中式中 A A，B

4、B，C C 不全为零不全为零) )有无穷多组解有无穷多组解. . 由此可知由此可知 x，y，z 的一次方程的一次方程 都表示平面，都表示平面，用方程用方程 减去上式，减去上式， 得得, 0000 DCzByAx 设设 x0，y0，z0 是其中的一组解，是其中的一组解， 那么那么有有, 0)()()(000 zzCyyBxxA这就是方程这就是方程 ，它表示过点它表示过点(x0, y0, z0 )，且以且以为法向量的平面，为法向量的平面， CBA, n 其中系数其中系数 A，B，C 表示法向量的坐标表示法向量的坐标. 方程方程 称为平面的普通方程称为平面的普通方程.下面讨论平面的普通方程的一些特殊

5、情况下面讨论平面的普通方程的一些特殊情况.显然，平面经过原点显然，平面经过原点.Ax + By + Cz = 0 .1当当D = 0时，方程成为时，方程成为xzyO 所以该平所以该平面平行于面平行于 x 轴轴 (图图(a)； 当当A = D = 0时，方程成为时，方程成为法向量法向量0，B，C与与i = 1，0，0垂直，垂直，By + Cz + D= 0 .2当当A = 0时，方程成为时，方程成为xzyOaBy + Cz = 0 , 它所表示的平面经过它所表示的平面经过 x 轴轴 (图图(b).xzyOb所以该平面平行于所以该平面平行于 xy 坐标平面坐标平面 .法向量法向量0，0，C与与 k

6、 = 0，0，1平行，平行， Cz + D= 0 ，3当当A = B= 0时，方程成为时，方程成为xzyO 和和 M3(0, 0 , c )例例 3 3求过点求过点 M1( a, 0, 0 )， M2( 0, b, 0 )的平面方程的平面方程(其中其中 abc 0).解解设所求的平面方程为设所求的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0 ( A、B、C 不全为零不全为零)，由于点由于点 M1，M2，M3 在平面上，在平面上，所以所以 ,0,0,0DCcDBbDAa解此方程组，可得解此方程组，可得,aDA ,bDB .cDC M1axzyM2M3Ocb代入所设的方程，代入所设的方程，

7、有有,0 DzcDybDxaD消去消去 D ， 得得. 1 czbyax方程方程 称为平面的截距式方程，称为平面的截距式方程， 其中其中 a，b，c 分别称为在分别称为在 x 轴，轴，y 轴，轴，z 轴上的截距轴上的截距.所以所以 因此它因此它的法向量与的法向量与 a 垂直，垂直， 即即由于此平面过点由于此平面过点 M 1，M2 ，例例 4设一平面过设一平面过 M1(1, 0, 2) 和和 M2(1, 2, 2)，且与向量且与向量 平行，平行， 1,1,1 a试求此平面的方程试求此平面的方程.解解设所求平面的方程为设所求平面的方程为 Ax + By + Cz + D = 0 .,02 DCA.

8、022 DCBA又由于所求平面与向量又由于所求平面与向量 平行，平行， 1,1,1 aA + B + C = 0解联立方程、，得解联立方程、，得 A = C，B = 2C，D = C，所以有所以有, 02 CCzCyCx消去消去 C ， 即为所求的平面方程为即为所求的平面方程为. 012 zyx例例 5设一平面经过设一平面经过 x 轴和点轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程试求该平面的方程.解解由于所求平面经过由于所求平面经过 x 轴，轴， 所以可设它的方所以可设它的方程为程为By + Cz = 0 .由于点由于点 M 在所求的平面上，在所求的平面上，因此有因此有 3B C = 0 ，将将 C = 3B 代回方程代回方程 ，并简化，即得所求平面，并简化，即得所求平面方程为方程为y 3z = 0 设平面设平面 1、2 的方程分别为的方程分别为两平面法向量的夹角，两平面法向量的夹角， 称为两平面的夹角称为两平面的夹角.,01111 DzCyBxA.02222 DzCyBxA它们的夹角为它们的夹角为 .222222212121212121CBACBACCBBAA 212121),(coscosnnnnnn 那么平面那么平面1、2 垂直的充要条垂直的充要条件是件是A1A2+ B1B2 + C1C2