高等数学第九节 定积分的应用ppt课件

1、.需要用定积分来解决需要用定积分来解决实际问题中有不少问题实际问题中有不少问题,路路程程和和功功等等问问题题积积我我们们已已介介绍绍过过的的就就有有面面、:,.,. ,总的思路是总的思路是以曲边梯形的面积为例以曲边梯形的面积为例是很有必要的是很有必要的等问题时的方法和步骤等问题时的方法和步骤路程和功路程和功面积面积回顾一下用定积分解决回顾一下用定积分解决因此因此解决解决需用定积分需用定积分何量和物理量何量和物理量以后还会遇到其他的几以后还会遇到其他的几、的近似值为的近似值为个子区间上的面积个子区间上的面积第第个子区间个子区间分成分成将区间将区间iAinba ,(1) ,)(iiixfA 的近似

2、值为的近似值为从而总面积从而总面积A ,)(1 niiixfA 的近似值为的近似值为个子区间上的面积个子区间上的面积第第个子区间个子区间分成分成将区间将区间iAinba ,(1) ,)(iiixfA 的近似值为的近似值为从而总面积从而总面积A ,)(1 niiixfA 取极限得取极限得(2) d)()(lim10 baniiixxfxfA .此处理的此处理的路程和功的问题也是如路程和功的问题也是如.,把把上上述述步步骤骤简简化化一一下下为为了了今今后后使使用用方方便便.)2()1(,)2()1(式式的的雏雏形形式式就就是是可可以以看看到到式式式式与与比比较较.,)1(经经形形成成积积分分式式中

3、中的的主主要要部部分分已已式式有有了了:简化如下简化如下.d,)1(xxxii写写为为写写为为式式中中的的把把 .)2()1(式式式式上上加加积积分分号号就就可可得得到到这这样样在在:,具体做法如下具体做法如下设所求量为设所求量为Q.d,)1表表示示用用内内任任取取一一个个子子区区间间在在区区间间xxxba .,xQQi 取取的的部部分分量量记记为为此此区区间间上上.d)(,d)(xxfQxxfQ 即即形形式式的的近近似似值值具具有有求求出出).(d)(d称称为为微微元元写写成成xxfQ 得得取取极极限限后后求求和和,)2、.d)( baxxfQ简化后的方法称为简化后的方法称为.微元法微元法形

4、形的的面面积积直直角角坐坐标标系系中中的的平平面面图图. 1问题问题,)(),(,),()(均均为为连连续续函函数数设设xgxfbaxxgxf ).(),(),(下下图图面面积积所所围围成成图图形形的的及及求求由由曲曲线线bxaxxgyxfy oxyab)(xfy )(xgy :.d, 微元为微元为在此区间上面积在此区间上面积内任取一个子区间内任取一个子区间在在xxxba 解解xxxd ,d)()(dxxgxfA 所以所以.d)()( baxxgxfA例例1 1).(2见见下下图图所所围围成成的的面面积积与与求求由由曲曲线线xyxy 解解oxy1xy 2xy ),1 , 1(),0 , 0(,

5、2得得的的交交点点与与先先求求出出xyxy :根据上述公式得根据上述公式得 102d)(xxxA103233132 xx.31 例例2 2.0, 0, 12222的面积的面积求椭圆求椭圆 babyax解解oxyab)(,见见下下图图为为所所求求面面积积所所以以轴轴轴轴和和因因图图形形对对称称于于Ayx.d40 axyA得得从从方方程程中中解解出出y.22xaaby 得得代入上式代入上式, axxaabA022d4.dcosd,sinttaxtax 令令ttab 202dcos4 原式原式.ab 的面积的面积极坐标系中的平面图形极坐标系中的平面图形. 2问题问题,)(表示表示设曲线由极坐标方程设

6、曲线由极坐标方程 .),(,)(此此类类图图形形称称为为曲曲边边扇扇形形见见下下图图所所围围图图形形的的面面积积及及射射线线求求由由曲曲线线 )( AO解解:,d, 得面积的微元得面积的微元作扇形面积作扇形面积在此区间上面积近似看在此区间上面积近似看上任取一个子区间上任取一个子区间在在 d,)d(21d2 A积分后得积分后得.)d(212 A例例3 3).0()cos1( aa所所围围图图形形的的面面积积求求心心形形线线 解解得面积得面积见右图见右图图形对称极轴图形对称极轴),(oA)cos1( a 02d212A 022d)cos1(a 022d)coscos21(a 02d)2cos21c

7、os223(a. 232a 旋转体的体积旋转体的体积. 3问题问题所所围围的的及及轴轴求求由由曲曲线线bxaxxxfy , 0)(.体积体积轴旋转所成的旋转体的轴旋转所成的旋转体的曲边梯形绕曲边梯形绕x解解),(d,见见下下图图内内任任取取一一子子区区间间在在xxxba oxy)(xfy baxxxd 得体积的微元得体积的微元的薄圆柱的薄圆柱高为高为视作底面积为视作底面积为将该子区间上的旋转体将该子区间上的旋转体,d)(2x、xf ,dd)(d22xyxxfV 则则旋旋转转体体的的体体积积为为.d2 baxyV 所所围围的的及及轴轴若若由由曲曲线线dycyyyx , 0)( 则所成旋转体的体积

8、为则所成旋转体的体积为轴旋转轴旋转图形绕图形绕,y.d2yxVdc .1 2222体体积积旋旋转转所所得得到到的的旋旋转转体体的的轴轴轴轴和和所所围围的的图图形形分分别别绕绕求求椭椭圆圆yxbyax 例例4 4解解由公式得由公式得轴旋转轴旋转绕绕,x aaxyVd2 aaxaxbd)1(222 axaxb0222d)1(2 aaxxb0232)3(2 .342ab 得得轴旋转时轴旋转时绕绕,y bbyxVd2 bbybyad)1(222 bybya0222d)1(2 bbyya0232)3(2 .342ba .解解决决一一些些物物理理问问题题我我们们仍仍然然利利用用微微元元法法来来引力引力.

9、1的的引引力力大大小小为为的的质质点点之之间间两两个个质质量量分分别别为为由由万万有有引引力力知知道道21,mm,221rmmkf .是是两两个个质质点点之之间间的的距距离离其其中中r.与杆之间的引力与杆之间的引力现在来求较复杂的质点现在来求较复杂的质点).(., 见见下下图图之之间间的的引引力力求求杆杆与与质质点点的的质质点点的的位位置置有有一一质质量量为为上上距距离离端端点点为为在在杆杆的的一一端端的的延延长长线线质质量量均均匀匀分分布布的的杆杆设设长长为为mal例例5 5mxlal o解解,点点由由于于杆杆不不能能看看成成一一个个质质取取坐坐标标如如上上图图.公式公式不能直接使用万有引力

10、不能直接使用万有引力.d, 0 xxxl 上任取一个子区间上任取一个子区间在区间在区间xxxd ,可可近近似似地地看看成成一一个个质质点点由由于于子子区区间间的的长长度度很很短短),(称称为为线线密密度度为为单单位位长长度度上上杆杆的的质质量量设设 .dx 这这个个质质点点的的质质量量为为:,d,的微元的微元得引力得引力式式的引力可用万有引力公的引力可用万有引力公的质点之间的质点之间上的小段杆与质量上的小段杆与质量这样子区间这样子区间fmxxx ),(称称为为线线密密度度为为单单位位长长度度上上杆杆的的质质量量设设 ,)(dd2xlaxkmf 积分得积分得为引力系数为引力系数其中其中,k lx

11、laxkmf02)(d lxlakm0 )(laakml ,)(laakMm ).(lMM 是是杆杆的的质质量量其其中中., 之之间间的的引引力力求求铁铁丝丝与与质质点点的的质质点点有有一一质质量量为为在在圆圆心心处处质质量量均均匀匀分分布布半半径径为为设设半半圆圆弧弧铁铁丝丝mmR例例6 6解解xymzymoRR .,轴上分力为零轴上分力为零之间引力在之间引力在铁丝与质点铁丝与质点由对称性由对称性xm.,yfy记为记为轴上的分力轴上的分力故只需求引力在故只需求引力在.0之之间间任任意意划划分分到到将将圆圆心心角角 上任取一个子区间上任取一个子区间在在, 0 ,d, ).(d见见下下图图其其上

12、上的的圆圆弧弧长长为为 R d, 设线密度设线密度的微元为的微元为所以所以均为均为的距离的距离由于圆弧上各点距圆心由于圆弧上各点距圆心yfR, sindd2RkmRfy xymzymoRR 的微元为的微元为所以所以均为均为的距离的距离由于圆弧上各点距圆心由于圆弧上各点距圆心yfR, sindd2RkmRfy 因而因而 dsin0 Rkmfy 0)cos( RkmRkm 2 ,22RmMk .为为半半圆圆铁铁丝丝的的质质量量其其中中M变力做功变力做功. 2).(., 2, 1见下图见下图的功的功求克服引力所做求克服引力所做的位置的位置为为移至距移至距沿直线沿直线将质点将质点它们相距为它们相距为的

13、两个质点的两个质点设有质量分别设有质量分别bAABBaBAmm例例7 7x)(AOBB xxxd abab 解解.取坐标如上图取坐标如上图可可计计算算功功的的微微元元为为上上任任取取一一子子区区间间在在,d,xxxba ,ddxfw ,dd221xxmmkw 即即,ddxfw ,dd221xxmmkw 即即积分得积分得为与引力有关的常数为与引力有关的常数其中其中.k baxxmkmwd221).11(21bamkm xA)(BOB abab 结结果果应应是是一一样样的的如如果果坐坐标标取取为为下下图图所所示示,).d)(0221 abxxamkmw积分式为积分式为).m/ t 1( .H(m)

14、R(m), 3质量密度为质量密度为水的水的部吸出至少要做多少功部吸出至少要做多少功问水泵将水桶内的水全问水泵将水桶内的水全水水的圆柱体水桶中盛满了的圆柱体水桶中盛满了高为高为半径为半径为例例8 8分析分析.的的是是一一层层一一层层地地抽抽到到桶桶口口这这个个问问题题可可以以理理解解为为水水,看成一样看成一样如果我们把每一层水量如果我们把每一层水量这也是一个做功问题这也是一个做功问题,位位移移是是不不同同的的但但每每一一层层水水提提到到桶桶口口的的那那么么力力是是不不变变的的.位移是变量位移是变量解解.取坐标系如右图取坐标系如右图zymyHORyyyd ,d, 0yyyH 上上任任取取一一子子区

15、区间间在在区区间间,d2yR 其其上上的的水水量量为为的微元为的微元为功功w解解.取取坐坐标标系系如如右右图图zymyHORyyyd ,d, 0yyyH 上任取一子区间上任取一子区间在区间在区间,d2yR 其其上上的的水水量量为为的的微微元元为为功功wyRyHgwd)(d2 .), 8 . 9(为为重重力力加加速速度度其其中中 g则则 HyRyHgw02d)( ).kJ(222gHR 水压力水压力. 3处处的的水水的的压压强强为为水水深深为为由由物物理理学学知知道道h,),1,( 为水的比重为水的比重hp.其方向垂直于物体表面其方向垂直于物体表面,的的大大小小与与方方向向皆皆不不变变强强如如果

16、果物物体体表表面面上上各各点点压压p则物体受的总压力为则物体受的总压力为.面面积积压压强强 P.)(,.R(m) 求求闸闸门门所所受受的的总总压压力力下下图图水水面面与与闸闸门门顶顶齐齐的的圆圆形形水水闸闸门门设设半半径径为为例例9 9oxy水面水面 yyyd x解解.取坐标如右图取坐标如右图,d,2 , 0yyyR 上上任任取取一一子子区区间间在在,其上水的压强看成不变其上水的压强看成不变且用矩形且用矩形,代替原来的长条代替原来的长条的的微微元元这这样样得得压压力力PyxpPd2d yxyd2 ),m/ t 1( d23 yxy则则,d220 RyxyP,)(,)(22222RyRxRRyx

17、 其其中中则则,d220 RyxyP得得代入上式代入上式,yRyRyPRd)(22022 yRyRRRyRd)()(22022 yRyRRRyRyRRyRRd)(2 )(d)()(220222022 yRyRRRyRyRRyRRd)(2 )(d)()(220222022 )(积积后一个积分为半圆的面后一个积分为半圆的面 2202322212)(32RRRyRR ).t (3R 函数在区间上的平均值函数在区间上的平均值. 4是是表表示示用用的的算算术术平平均均值值个个数数)(,21yyyynn.21nyyyyn .,)(上上的的平平均均值值在在区区间间现现在在介介绍绍函函数数baxfy .,有有

18、无无穷穷多多个个函函数数值值因因为为在在区区间间上上显显然然不不能能直直接接利利用用上上式式,等等分分将将用用微微元元法法来来解解决决nba.个个有有相相等等长长度度的的子子区区间间得得n),(见下图见下图值看成相等的值看成相等的将每一个子区间上函数将每一个子区间上函数oxyax 01x2x1 nxnxb 0y1y2y1 ny),(见下图见下图值看成相等的值看成相等的将每一个子区间上函数将每一个子区间上函数得平均值得平均值.1210nyyyyn 得平均值得平均值.1210nyyyyn .,)(,的平均值的平均值上上在区间在区间这个平均值就愈接近于这个平均值就愈接近于愈大愈大baxfn显然显然记

19、它为记它为 . y,lim1210nyyyyynn ,1,abxnnabx 即即又因为又因为上式为上式为时时且当且当. 0, xn)(1lim12100 xyxyxyxyabynx )(1lim12100 xyxyxyxyabynx 1001limniixxyab,d1 baxyab.d1 baxyaby即即).(, 0,.sin 0EtEE记为记为上的平均电动势上的平均电动势即即半个周期内半个周期内求在求在设交流电流的电动势设交流电流的电动势 例例1010解解得得代入公式代入公式,dsin 1 00ttEE 00)cos(tE .20E 例例1111解解,4 , 0 , yy为为积积分分变变量量取取体积微元为体积微元为:dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,