初二上数学培优题

1、初二数学培优题(一)1 .如图所示，已知 ABC中，点D为BC边上一点，/ 1=/ 2=/ 3, AC=AE(1)求证： AB AADE;(2)若 AE/ BC,且 /EJ/CAD,求 /C 的度数.3【分析】(1)由/1 = /2=/ 3,可得 / 1 + /DAC=Z DAC+Z2,即 / BAC=Z DAE, 又/ 1+/B=/ADE+/3,则可得/B=/ADE,已知 AC=AE 即可证得： ABCA ADE;(2)由题意可得，/ ADB=ZABD=4x,在4ABD中，可得x+4x+4x=180,解答处 即可；【解答】解：(1) =/1 = /2=/3, / 1+/ DAC=/ DAC+

2、/2,(三角形的一个外角等于与它不相令的两个内角的和) 即 / BAC之 DAE,又1 + /B=/ADE+/3,则可得 / B=/ADE,ZBAE=ZBAE ZBZADE , AC=AE. .ABAADE (AAS;(2)AE/ BC,. ./E=/ 3, /DAE=/ ADB, / 2=/ C,又3=Z2=Z 1,令/ E=x,贝U有：/ DAE=3xx=4x=/ADB,又丁由(1)得 AD=AR /E=/C,丁. / ABD=4r在 ABD 中有：x+4x+4x=180,. x=20, / E=/ C=20 .【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段 或角相

3、等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.2 .如图，/ BAD=Z CAE=90, AB=AD, AE=AC(1)证明：BC=DE(2)若AC=12 CE经过点D,求四边形ABCD的面积.【分析】（1）求出/ BAC=Z EAD,根据SAS推出ABaAADE：,利用全等三角 形的性质证明即可；（2）由AAB AADE,推出四边形 ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得 出答案；【解答】（1）解：.一/ BAD=/ CAE=90,丁. / BAG/ CAD=Z EADfZ CAD, / BAC玄 EAD.在 ABC和 ADE中，I AB二 ADZbac=ZbaeAC=AE

4、. .ABAADEE (SAS.BC=DE(2) .AB AADE,SABC=SADE,.二 S四边形 ABCD=SxABC+SACD=SADE+SxACD=SaACE= X 122=72.2【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形 ABCD的面积是解此题的关键，难度适中.3.如图，在 ABC中，/B=/ C, AB=8, BC=q点D为AB的中点，点P在线段 BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a 个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t (秒)(0&t03).(1)用含t的代数式表示线段PC的长；(2)

5、若点P、Q的运动速度相等，t=1时，4BPD与4CQP是否全等，请说明理 由.(3)若点P、Q的运动速度不相等， BPD与4CQP全等时，求a的值.【分析】(1)用BC的长度减去BP的长度即可；(2)求出PB, CQ的长即可判断;(3)根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论.【解答】 解：(1) PC=BG BP=6 2t;(2) v t=1 时，PB=2 CQ=ZPC=BG- PB=6- 2=4,BD=AD=4 . PC=BD./C=/ B, CQ=BP. .QC国 APBD.(3)二点P、Q的运动速度不相等，BX CQ,又. BPD与 ACPQ全等，/ B=/ C,BP=PC BD=

6、CQ.-2t=6-2t, at=4,解得：t=1, a*.解题的关键【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识, 是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.-4.如图 1 所示,AB=AD AC=AE / 1=/ 2.(1)求证：BC=DE(2)如图2,若M、N分别为BGDE的中点，试确定AM与AN的关系，并说明理由.【分析】（1）根据题意证明/ BAC=Z DAE,利用SAS判断AB AADE,根据 全等三角形的性质证明；（2）根据全等三角形的性质得到 BM=DN,证明 ABMADN即可.【解答】（1）证明：:/ 1=/2, / 1+/ DAC力 2+/ DAC.即 /

7、 BAC=z DAE.在 ABC与 ADE中，rAB=AD* Zbac=Zbae,tAC=AE. .AB AADE.BC=DE（2） AM=AN;理由如下：由（1） ABAADE, / B=/ D,v BC=DE M、N分别为BG DE的中点，BM=DN,在AABM和AADN中，M 二 AD ZB=ZD,唧二DH .ABM0 AADN, . AM=AN.【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和 性质定理是解题的关键.5.如图， ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，/ B=/ C, BC=8厘米.(1)若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时

8、点Q在 线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明 BP ACQP;点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使BP2CPQ(2)若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速 度从点C向点A运动，它们都依次沿 ABC三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 ABC的哪条边上追上点P?【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到/ B=/ C,再加上BP=CQ=3 PC=BD=5 则可判断 BPD与4CQP全等；设点 Q 的运动速度为 xcm/s,则 BP=3t, CQ=xt, CP=8- 3t,当BP* ACQF则BP=CQ

9、CP=BD然后分别建立关于t和v的方程，再解方程即可；(2)设经过x秒后，点Q第一次追上点P,由题意得5x - 3x=2X 10,解方程得到点P运动的路程为3X10=30,得到此时点P在BC边上，于是得到结果.【解答】解：(1).BP=3X 1=3, CQ=3X 1=3,BP=CQ.D为AB的中点,BD=AD=5v CP=BC- BP=5,BD=CP在ABPD与ACQP中，BD=CPZB=ZC, BP=CQ. .BPg zCQP设点Q运动时间为t秒，运动速度为vcm/s,. BPg CPQBP=CP=4 CQ=.tl3 -3- V=OQ=15|. v= = .=,t A 43(2)设经过x秒后

10、，点Q第一次追上点P,由题意得5x-3x=2X 10,解得：x=10,.二点P运动的路程为3X10=30,v 30=28+2,此时点P在BC边上，经过10秒，点Q第一次在BC边上追上点P.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键.6.如图，已知11/12,射线MN分别和直线li, 12交于A、B,射线ME分别和直 线li, l2交于C、D,点P在A、B间运动(P与A、B两点不重合)，设/ PDB=c, /PCA =, /CPD =.(1)试探索 & B, 丫之间有何数量关系？说明理由.(2)如果BD=3, AB=9, AC=6,并且AC垂直于MN,那么点P运动到什么位置

11、 时，zAC国ZXBPD说明理由.(3)在(2)的条件下，当 AC国zXBPD时，PC与PD之间有何位置关系，说 明理由.【分析】(1)过点P作PF/I1,根据h/ |2,可知PF/I2,故可得出/ a h DPE/ 02CPE由此即可得出结论；(2)根据平行线的性质得到BDXMN,根据全等三角形的性质即可得到结论；(3)根据全等三角形的性质得到/ ACPqDPB,根据垂直的定义即可得到结论.【解答】解：(1) Z T=W ft理由：过点P作PF/ h (如图1), h / I2,PF/ l2,Z DPF, Z B 叱 CPRZ yDPRZ CPF=?x+Z b；(2)当 AP=BD=3 AC国 BPD,v h / l2, AC垂直于 MN, BDXMN ,/ CAP2 PBD=90,v AB=9,a PB=Q . AC-PBAC=