动力学的临界和极值问题

1、精品文档动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体 有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语 时，往往会有临界现象。此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会 有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会 出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具 有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时，进行正确的 受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。1、相

2、互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力 N 0,而且 此时它们的速度相等，加速度相同。【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板， 将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，A、一直加速C、先加速、后减速（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（B、先减速，后加速（F口匀加速|答案：C 【例】如图所示，劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为m0的托盘，托盘上有一个质量为m的木块。用竖直向下的力将原长为lo的弹簧压缩后突然撤去外力，则 m即将脱离m0时的弹簧长度为（）A 、l0 B、lomoC、l

3、omgD 、lom°gk答案：A【例】如图所示，一细线的一端固定于倾角为 45的光滑楔形滑块A的顶 端P处，细线的另一端拴一质量为 m的小球。当滑块至少以加速度a 向 左运动时，小球对滑块的压力等于零。当滑块以 a加速度向左运动时，线的拉力大小 F 。答案：g、V5mg【例】一个质量为0.2kg的小球用细线吊在倾角53的斜面顶端，如图,斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力。答案：2.83N、0【例】如图所示，在倾角为 的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块 A、 B。它们的质量分别为mA、mB

4、,弹簧的劲度系数为k, C为一固定挡板。系统 处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动，求物块B 刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d ,重力加速度为答案：aF mA mB gsin ； mAmA mt gsin ok【例】如图所示，一根劲度系数为 k质量不计的轻弹簧，上端固定，下端 系一质量为m的物体A。手持一质量为M的木板B,向上托A,使弹簧处于自 然长度。现让木板由静止开始以加速度 a (a g)匀加速向下运动，求：(1)经过多长时间A、B分离。(2)手作用在板上作用力的最大值和最小值答案：t2mg a ；ka最大：F M m g a ；最小：F

5、m解：分离时弹力为0,而且加速度为a;开始运动时力最大:对系统：M m g F MAB分离时力最小:Xt B ： mg F ma【例】如图所示，木块 A、B的质量分别为mm2,紧挨着并排放在光滑的水平面上，A与B间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角，A与B间 的接触面光滑。现施加一个水平力F作用于A,使A、B 一起向右运动且A、B一不发生相对运动，求F的最大值。a答案 F mi mi m2 gtanm2【例】如图所示，一质量为 m的物块A与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为 m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止状态。若A、B粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B,

6、当拉力的大小为0.5mg时，A物块上升的高度为L,此过程中，该拉力做功为W;若A、B不 粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上，当A物块上升的高度也为L时，A与B恰好分离。重力加速度为g,不计空气阻力，求恒力F的大小。解：静止时，对AB:2mgk答案：1.5mg粘连时，缓慢地提：对AB： F k x L 2mg；又 F 0.5mg不粘连，分离时：N 0;对 B ： F mg ma ；对 A ： k x L mg ma ；由以上各式可得：F 1.5mg。【例】如图所示，质量 m 10kg的小球挂在倾角为37的光滑斜面的固定铁杆上，当小球与斜面一起向右以：(重力加速度为g 10m/s2)(1) a1

7、 0.5g时，绳子拉力和斜面的弹力大小；(2) a2 2g时，绳子拉力和斜面的弹力大小。答案： 100N50N ; 100/5N 02、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题，此时绳子的张力：T 0。【例】如下图所示，两绳系一个质量为 m 0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L 2m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？答案：2.40rad/s3.16rad / s【例】如图所示，两细绳与水平的车顶面的夹角为60和30 ,物体的质量为m。当小车以大小为2g的加速度向右匀加速运动时，绳1和绳2的张力大 小分别为多少?答案：0,5m

8、g3、由运动情况造成的临界和极值问题，此时题目中将会出现“最大” 、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体A的质量M 1kg ,静止在光滑水平面上的平板车 B的质量为m 0.5kg、长L 1m。某时刻A以 4m/s向右的初速度滑上木板B的上表面，在A滑上B的同时，给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体 A的大小,已知A与B之间的动摩擦因数0.2,取重力加速度g 10m/s2。试求:(1)若F 5N ,物体A在小车上运 动时相对小车滑行的最大距离；(2)如果要使A不至于从B上滑落， 拉力F大小应满足的条件。答案：0.5m；1N F 3N。解：由牛顿第二定律：对 A ： Mg Ma1 ；对

9、B ： F Mg ma2;此后，物体A将做减速运动，而B将加速，直到达到共速；有：v共 v0 a1t a2t 得：t 0.25s此时，相对位移S相Sa Sb 0.5m 1m之后，A将从B的左端滑下。当F较小时，A将从B的右端滑下，临界条件是：A到达B的右端时，A、B具有共同的速度。当F较大时，A将从B的左端滑下，临界条件是：达到共同速度时，A、B相对静止。此时：1 fm。【例】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为 1,盘与桌面间的 动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。

10、若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）答案：a 1 2 2囚2解：圆盘的运动应该是先在桌布上加速，后在桌子上做匀减速运动，如果圆盘未从桌面上掉下来（设从桌布上掉下来时的速度为V,末速度为0）,则有：对圆盘：S 0 S减L;22加速阶段：1mg ma, ； S ;2a1丫2减速阶段：2mg ma2； S减；2a2设桌布从盘下抽出所经历时间为t ,在这段时间内桌布移动的距离为 So12对桌布：S -at ; 2L1 o由运动情况：S S加 一；S加一射。22,2c由以上各式得：a 1 2 2 1g o2【例】如图所示，一质量 m 500kg的木箱放于质量M 20

11、00kg的平板 车的后部，木箱到驾驶室的距离l 1.6m,已知木箱与木板间的动摩擦因数0.484,平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的0.2倍。平板车以V。 22m/s的恒定速率行使，突然驾驶员刹车，使车做匀减速运动，为了不让 木箱撞击驾驶室，试求：(1)从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间?(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多少?答案： 4.4s； 7.42 1 03 N解：设箱的位移为s,车的位移为S2；车的加速度为a箱子如果不与车相碰，则有：S S lF 2由牛顿定律，对箱： mg ma1 ；2由运动学公式，对箱：Si 2；232对车：S2 与；2a由以上各式有：a 5m/s

12、2,所以t v 4.4s a设汽车的制动力为F ,由牛顿第二定律：mg F k M m g Ma得：F 7.42 103 N【例】一木箱可视为质点，放在汽车水平车厢的前部，如图所示，已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。初始时，汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度a。开始启动沿直线运动。当其速度达到 v。后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢，距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件？【例】如图所示，在光滑桌面上叠放着质量为 mA 2.0kg薄木板A和质量 为mB 3.0kg的金属块B。A的长度L 2.0m。B上有轻线绕过定滑轮与质量 为me 1.0kg的物块C相连。B与A之间的滑动摩擦

13、因数0.10,最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体 都处于静止状态，绳被拉直，B位于A的左端（如图所示），然后放手，求经过 多长时间后B从A的右端脱离（设A的右端距滑轮足够远）（g 10m/s2）。【例】一圆环A套在一均匀圆木棒B上，A的高度相对B的长度来说可以忽略不计。A和B的质量都等于m, A和B之间的滑动摩擦力为f （f mg）开始时B竖直放置，下端离地面高度为 H , A在B的顶端，如图所示。让它们 由静止开始自由下落，当木棒与地面相碰后，木棒以竖直向上的速度反向运动， 并且碰撞前后的速度大小相等。 设碰撞时间很短，不考虑空长?力，问：在B再次

14、着地前，要使A不脱离B, B至少应该多答案：L 8mg 2 H ； mg f解：开始释放后,A、B一起做自由落体运动,设其到达地面前瞬间的速度为由机械能守恒：2mgH1mv12;2B与地面撞击后，环A将做加速运动（设其加速度为a1）,而B将做减速运动（设其加速度为a2）,当B的速度减为0后，反向又以a2加速，直到B再次 落地，由对称性可知：此时B的速度依然为v1。由牛顿第二定律，对 A： mg f ma1；又t B ： mg f ma2 ；故它们运动的时间为：t 2；a2此时：棒运动的位移为0,环相对于棒运动的位移，对环：1,2有：S v1t a1t ;2棒的长度：L S,即L 8m g 2 H 。mg f4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题，此时有：f fm f滑。【例】如图所示，质量分别为 m和2m的两物体A、B叠放在一起，放在 光滑的水平地面上，已知 A、B间的最大摩