中学数学规律探索题研究含答案

1、专题一：规律探索题研究【题型导引】题型一：点坐标规律（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。题型二：数字规律（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。题型三：图形规律（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究;【典例解析】类型一：点坐标规律例题1:（2019?湖北省鄂州市？3分）如图，在平面直角坐标系中，点Ai、A2、A3An在x轴上，Bi、B2、B3Bn在直线0）,且A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴

2、影部分）的面积分别记为&、S2、S3-Sn,则Sn可表示为（）A.22nV3B.22n1&C.22n2<3D.22n3J3【解答】解：.A1B1A2、4A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形,A1B1/A2B2/A3B3/AnBn,B1A2/B2A3/B3A4/BnAn+1,A1B1A2、A2B2A3AnBnAn+1都是等边三角形，5.直线y=x与x轴的成角/B1OA1=30,/OA1B1=120,3/OB1A1=30°,0A1=A1B1,Ai(1,0),A1B1=1,同理/OB2A2=30°，/OBnAn=30°,B2A2=OA2=2,

3、B3A3=4,，BnAn=2na1=5,a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒,易得/OB1A2=90,，/OBnAn+1=90,BB2=>/3,B2B3=2V3,，BnBn+1=2n3,1,=一一，Sn=-X2nb<2n、用.；1一31一.,S1=-X1XJ3=,3=_X2X2J3=2J3222技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：逐一求出（或用字母表示出）相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；确定起始点找到探寻方向；抓住问题的关键点等；探求出统一的表示形式.类型二：数式规律例题2：（2019?四川省达州市？3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒

4、数，如2的差倒数为1-a11-2=-1,-1的差倒数数,依此类推，a2019的值是（D.数列以5,三个数依次不断循环,2019+3=673,a2019=a3=技法归纳：（1）对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数间的关系，探求其一般表达式；（2）对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；（3）对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系.第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数（1,2,3,4,，n）之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进

5、行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验.类型三：图形规律例题3:（2017绥化中考）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积Sn=22n11a-I-11a【斛析S1=a，S2=-Si-1=-a-1=-,询=屈一为&一1=a+1a+1，S5【解析】记原来三角形的面积为S,第一个小三角形的面积为S1,第二个小三角形的面积为S2,C1C1111cs=4.S=落S'W落S'1cS3=26S,1111$

6、=落222="2.故答案为pni技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.【变式训练】1一1一11. （2018成都中考）已知a>0,S1=-,S2=-S1-1,S3=,S4=-S3-1,S5=,（即当n为大于1aS2S4111手一（a+1）,S6=-S5-的前数时，Sn=；当n为大于1的偶数时，Sn=Sn11）按此规律，S2018=.Sn1=（a+1）-1=a，$=Ta，Sn的值每6个一循环.一一一一一一a+12018=336X6+2,.S2018Ms2=aa-I-1故答案为-"a2. （201

7、8安徽中考）观察以下等式:第1个等式：1+0+11><2=1,第2个等式：1+2+!*1=1,2323第3个等式：1+|+lx|=1,3434第4个等式：1+1+<3=1,4545第5个等式：1+，+Jx4=1,5656按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：;（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明.【解析】：（1）1+5+1x=16767（2）根据题意，第n个分式分母分别为n和n+1,分子分别为1和n1,n2+n-，、n（n+1）=1，等式成立故答案为L-十k一=1.nn+1nn+11n11n1n+1+n(n1)+(n1)证明:+十一乂=nn+

8、1nn+1n(n+1)3. （2019?四川省广安市？3分）如图，在平面直角坐标系中，点Ai的坐标为（1,0）,以OA1为直角边作R1AOAiA2,并使/AiOA2=60°,再以OA2为直角边作RtOA2A3,并使/A20A3=60°,再以OA3为直角边作RtOA3A4,并使/A30A4=60。按此规律进行下去，则点A2019的坐标为（22017,22017於.【解答】解：由题意得，Ai的坐标为（1,0）,A2的坐标为（1,Q）,A3的坐标为（-2,273）,A4的坐标为（-8,0）,A5的坐标为(-8,-843),A6的坐标为(16,-16<3),A7的坐标为（64

9、,0）,由上可知，A点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n-1,其纵坐标为0,与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n-2,纵坐标为2n-2J3,与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为-2n-2,纵坐标为22J3,与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为-2n一1,纵坐标为0,与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为-2n-2,纵坐标为-2n-2J3,与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n-2,纵坐标为-2n-2J3,.2019+6=336-3,点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为-2n2=-22017

10、,纵坐标为22017J3,故答案为：（22017,22017石）.4. （2018滨州中考）观察下列各式:2X313X4'请利用你所发现的规律，1.1,.1,1叮舁1十2十22十二/1十2z十32十N1十32十42十十Y1十92十1。2'具如走力解析1+.+/1+京,+y1+/+，1一1一1.1+1X2+2><3+3X4+9X10.八.1111111=1x9+1+一+一一一+十一一一22334910=9+1-1109故答案为919y5. （2019?湖南益阳？4分）观察下列等式:52妮=（肥-冠产,72瓦=（J42,请你根据以上规律，写出第6个等式【解答】解：写出第

11、6个等式为i32J42=（J7J6）2故答案为i3-2,42=（.7、6）26.（2019?黑龙江省齐齐哈尔市？3分）如图，直线l:y八:x+i分别交x轴、y轴于点A和点Ai,过点Ai作AiBl,交x轴于点Bi,过点Bi作BiA2，x轴，交直线l于点A2；过点A2作A2B2L,交x轴于点B2,过点B2作B2A3，x轴，交直线l于点A3,依此规律-，若图中阴影AiOBi的面积为Si,阴影A2BiB2的面积为S2,阴影A3B2B3的面积为S3，则Sn=A【解答】解：直线l：y=%3x+i,当x=0时，y=i;当y=0时，x=-5/33A（-6，0）Ai（0,i） /OAAi=30又AiBiXl,

12、/OAiBi=30°在RtAOAiBi中,OBi=<OAi=Vs同理可求出：A2Bi=,BiB2=S=h问B也寺吗xe|x字书乂心?7.（2019?山东潍坊？3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O,它们的半径分别为1,2,3,，按照“加1”依次递增；一组平行线，10,11,12,13,都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1,其中10与y轴重合若半径为2的圆与11在第一象限内交于点P1,半径为3的圆与12在第一象限内交于点P2,，半径为n+1的圆与1n在第一象限内交于点Pn,则点Pn的坐标为.（n为正整数）【解答】解：连接OP1,OP2,OP3,11、

13、12、13与X轴分别交于A1、A2、A3,如图所示:在RtAOAP1中，OA1=1,OP1=2,A1P1=Jop2oa2=J2212=8,同理：A2P2=J322=A/5,A3P3=V43='/7,二P1的坐标为（1,）,P2的坐标为（2,q'5）,P3的坐标为（3,折）,按照此规律可得点Pn的坐标是（n,J（n1）2n2）,即（n,J2n1）故答案为：（n,J2n1）.8.(2019?四川省达州市？11分)箭头四角形模型规律如图1,延长CO交AB于点D,则/BOC=Z1+/B=/A+/C+/B.因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“/BOC=ZA+ZB+ZC”这个规律，所

14、以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用(1)直接应用：如图2,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a如图3,/ABE、/ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点F,已知/BEC=120°,/BAC=50°,贝叱BFC=85°如图4,BOi、COi分别为/ABO、/ACO的2019等分线(i=1,2,3,，2017,2018).它们的交点从上到下依次为。1、。2、。3、O2018.已知/BOC=m,/BAC=n°,则/BO1000c=100020192019r度.(2)拓展应用：如图5,在四边形ABCD中，BC=CD,ZBCD=2ZBAD.O是

15、四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证：四边形OBCD是菱形.【解答】解：（1）如图2,在凹四边形ABOC中，ZA+ZB+ZC=ZBOC=%在凹四边形DOEF中，ZD+ZE+ZF=ZDOE=".ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2a;如图3,./BEC=ZEBF+ZECF+ZF,/F=Z且/EBF=/ABF,/ECF=/ACF, ./BEC=ZF-ZA+ZF, ./BEC=120°,/BAC=50°, ./F=85°如图3,由题意知/ABOi000=/ABO,/OBOi000=L°19,/ABO,20192019ZAC01000=UM

16、LzACO,/OCOi000=L019ACO,20192019/BOC=ZOBO1000+/OCO1000+ZBO1000c=1"9(/ABO+ZACO)+ZBO1000C,2019/BO1000c=/ABO1000+/ACO1000+/BAC=i(ZABO+ZACO)+ZBAC,2019则/ABO+ZACO=-(/BO1000C-ZBAC),LOGO代入/BOC=I。/(/ABO+/ACO)+ZBO1000c得/BOC="口"|X(/BO1000C/BAC)+201920191000/BO1000c,解得：/BO1000c=10002019(/BOC+揣/BAC)10192J19ZBAC,./BOC=m°,/BAC=n°,/BO1000c=1000101920192019故答案为：2"；85°(竺竺m+201910192019n)(2)如图5,连接OC,-，OA