小学六年级奥数抽屉原理(含答案)

1、抽屉原理知识要点1 .抽屉原理的一般表述(1)假设有3个苹果放入2个抽屉中，必然有一个抽屉中至少有 2个苹果。它的 一般表述为：第一抽屉原理：(mn+1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至少有 (m+ 1)个物体。(2)若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着。它的一般表述为：第二抽屉原理：(mn1)个物体放入n个抽屉，其中必有一个抽屉中至多有(m 1)个物体。2 .构造抽屉的方法常见的构造抽屉的方法有：数的分组、染色分类、图形的分割、剩余类等等。例1自制的一副玩具牌共计52张(含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅，每种 牌都有1点，2点，13点牌各一张)，洗好后背面朝上放。一次至少

2、抽取 张牌，才能保证其中必定有 2张牌的点数和颜色都相同。如果要求一次抽出的 牌中必定有3张牌的点数是相邻的(不计颜色)，那么至少要取 张牌。点拨 对于第一问，最不利的情况是两种颜色都取了113点各一张，此时再抽一张，这张牌必与已抽取的某张牌的颜色与点数都相同。点拨 对于第二问，最不利的情况是：先抽取了1,2,4,5,7, 8,10,11,13各4张，此时再取一张，这张牌的点数是 3, 6, 9, 12中的一张，在 已抽取的牌中必有3张的点数相邻。解 (1)13 X2+1 = 27(张)(2)9 X4+1 = 37(张)例2证明：37人中，（1）至少有4人属相相同；（2）要保证有5人属相相同，

3、但不保证有6人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？ 点拨 可以把12个属相看做12个抽屉，根据第一抽屉原理即可解决。解（1）因为37+12=31,所以，根据第一抽屉原理，至少有3+1=4（人） 属相相同。（2）要保证有5人的属相相同的最少人数为 4X12+1=49（人）不保证有6人属相相同的最多人数为5X12=60（人）所以，总人数应在49人到60人的范围内。例3有一副扑克牌共54张，问：至少摸出多少张才能保证：（1）其中有4张花色相同？（2）四种花色都有？点拨 首先我们要弄清楚一副扑克牌有 2张王牌，四种花色，每种有13张。（1）按最不利原则先取出2张为王牌，再取4张均不同花色，再连续取两

4、次 4张也均不同花色，这时必能保证每一花色都有 3张，再取1张即可达到要求。（2）仍需按最不利原则去取牌，先是 2张王牌，接着依次把三种花色 的牌全部取出13X 3,这时假设仍是没有四种花色，再取 1张即可。解（1）2 +4X3+1 = 15（张）（2）2 +13X 3+1=42（张）例4学校买来红、黄、蓝三种颜色的球，规定每位学生最多可以借两种不同颜色的球。那么至少要来几名学生借球，就能保证必有两名学生借的球的颜色完全相同？点拨根据题中“最多可借两种不同颜色的球”,可知最多面以刀 ,6种明邪: 跳 振闹'fl： |组贵解借球有6种情况，看做6个抽屉，牌阖蓝所以至少要来7名学生借球，才

5、能保证。例5从前面30个自然数中最少要取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？点拨 把130这30个自然数分成下面15组：1, 2, 4, 8, 16, 3, 6, 12, 24, 5, 10, 20,7, 14, 28, 9, 18, 11, 22, 13, 26, 15, 30, 1 7 , 19, 21 , 23 , 25） , 27 , 29,在这15组中,每组中的任意两个数都存在倍数关系，故可把这15组看做15个抽屉，至少要取出16个数才能达到 题目的要求。例6边长为1的正方形中，任意名定13个点，其中任意三点都不共线。试说明 其中至少有4个点，以此4

6、点为顶点的四边形面积不超过四分之J 解：把正方形平均分成四个相同的小正方形，每个正方形的面积为四分之一。13=4X 3+1, 13个点至少有4个点在同一个小正方形，以此 4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，即不超过原正方形面积的四分之一。例7平面上给定六个点，没有三点共线。每两点用一条红线段或黄线段连接起 来，试说明由这些线段围成的三角形中，至少有一个三角形，它的三条边同色解 因为有六个点，每个点都要引出五条线段，据抽屉原理，任意一点引五条线 段中至少有三条线段同色，不妨设是红色（如图红色线段为实线，蓝色线段为虚线），这时三角形a2a3a4会出现两种颜色情况(1)若 a2a3, a3

7、a4,a2a4中有任意一条线段为红的，那么这箝红线段与埠厂蓝它的两个端点与a1引出的两条线段组成一个红三角形。(2)若 a2a3, a3a4,a2a4中没有一条线段是红色的，则 a2a小 ，3a4 $蓝色三角形。综上所述，无论（1）还是（2）,题目结论都成H 说明：若把两种颜色连线换成人与人之间的相识或不相识关系，就可以解决实际问题：结果可证明6人之间至少有3人互相认识或不认识。1.要在30米长的水泥台上放16盆花，不管怎么放，至少有几盆之间的距离不超过2米？解：两盆30 +2=15段，30米中每两米为一段的有15段，16盆花至少有两 盆花在一段，至少两盆之间的距离不超过 2米。3 .在一个边

8、长为1的正三角形内随意放置10个点，试说明其中至少有两个点之 间的距离不超过1/3。解：把边长为一的正三角形平分成 9粉，由每个三角的边长为1/3, 必有两点在一个三角形内，则两点的距离小于1/3。4 .用黑、红两种颜色将一个长9、宽3的矩形中的边长为1的小正方形随意涂色， 试证必有两列涂色情况一样。因为涂色出现八种情况：（红红红），（蓝，蓝，蓝），（红，红，蓝），（红, 蓝，红），（蓝，红，红），（蓝，蓝，红），（蓝，红，蓝），（红，蓝， 蓝），所以九列中一定有两列是相同的。5 .从整数1, 2, 3,，199, 200中任选101个数，求证在选出的这些自然 数中至少有两个数，其中的一个是另

9、一个的倍数。分数组1,2,4,8 , 16, 128, 3,6,12,24,48八192 , 5,10,20,40八200, 7,14,28,56,112 , 9,18,36,72,144 , 11,22,44,88,176, 13,26,52,104,15,30,60,120, 99,198 , 101 , 103 , 199共 100 个抽屉，任 选101个数必有两个数在一个抽屉里，即其中的一个是另一个的倍数。6 .在10X 10方格纸的每个方格中，任意填入 1、2、3、4四个数之一。然后分 别对每个2X2方格中的四个数求和。在这些和数中，至少有多少个和相同？1、2、3、4填入后，四个数的

10、和最小为 4,最大为16。4-16之间有13个不同的和，2X2的方格在10X 10的方格中可推出81个和，81 + 13=6八3,故至少有6+1=7个和。7 . 从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于 4 ，试分析之。这八个连续自然数为 a， a+1， a+2， a+3， a+4， a+5， a+6， a+7， 分为四组 a+4，a ， a+5， a+1，a+6 ， a+2 ， a+7 ， a+3 ，取五个数必有两个数在一个抽屉中，即差为48 . 任意给定七个自然数，说明其中必有四个数，它们的和为 4 的倍数。七个数中必有三对奇偶性相同，即满足a1+a2=2k1,a3+a4=2

11、k2， a5+a6=2k3。在 k1， k2 ， k2 三个数中又至少有两个奇偶性相同，不妨设k1 ， k2 奇偶性相同，所以k1+k2=2mm即a1+a2+a3+a4=4m,2k1+2k2=4m 所以其中必有四个数，它们的和是4 的倍数。9 .从3, 6, 981, 84这些数中，任意选出16个数，其中至少有两个数的和等于90，试说明之。分数组6,84 , 9,81 , 12,78 , 42,48 , 3 , 45,共 15 个抽屉，故取 16 个数必有两个数在一个抽屉中，即和为90。10 . 任意给定七个不同的自然数，其中必有两个数的和或差是10 的倍数，试说明之。按余数是 2或 5或两个

12、余数和为 10来构造 6 个抽屉： 0 ， 5 ， 1,9 ， 2,8 ，3,7 ， 4,6 这样 7 个数必有两个数在一个抽屉里，它们的余数之和是10或余数相同，从而他们本身的和或差为 10 的倍数。11 . 能否在 10行 10 列的方格中的每个空格处分别填上 1 ， 2， 3 这三个数，使大正方形的每行、每列及两条对角线的各个数字和互不相同？10个数的和最小为 10， 最大为 30,10-30 中有 21 个数。 10行 10列加上两条对角线共 22 个和，则必有两条线上的和相同。所以不能。12 .能否把17这七个数排成一圈，使任意两个相邻数的差等于 2或3?在这7个数中，1,2,6,7

13、都不能相邻，要把它们隔开需要 4个数，而现在只剩 下3,4,5三个数，所以不能。13 .平面上给定六个点，没有三个点在一条直线上，每两点用一条红色线段或蓝 色线段连接起来。试说明这些线段围成的三角形中，至少有两个同色三角形。14 .库房里有一批篮球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个，至少有多少人搬运才能保证有5人搬运的球完全一样？每人搬得可能是两篮、两排、两足、两手、篮排、篮足、篮手、排足、排手、足手10种情况。4 X10+1=41人口，一 4E、小正）HG15 .在一个3X4平方米的长方形盘子中，任意才入5个豆，5个豆中距离最小的 a h n两个豆的最大距离是几米？（这时盘子的对角线长为5

14、米）IE将长方形分成四份，如放 5豆，必有2个豆在一个小长方形礼一个小正尢G形内最大的距离是2.5米（如AB ,故距离最小的两个点的距离最大值是 2.5 米。16 .一个3行7列的21个小方格的长方形，每个小方格用红或黄中的一种颜色 涂色。证明：不论如何涂色，一定能找到一个由小方格组成的长方形，它的四 个角上的小方格具有相同的颜色。第一行有7个方格，因为涂两种颜色，根据抽屉原理二，必有一种颜色涂了4个或4个以上的方格。设第一行有四个红方格，第二行是在第一行四个红方格下面的四个方格中， 如果有两个红色，那么结论已成立，否则必有三个黄方格。第三行是在第二行3个黄方格下面的3个方格中，至少有两个方格

15、涂一种颜色。如涂红色就与第一行组成符合条件的长方形，如涂黄色就与第 二行组成符合条件的长方形。17 .在1 , 2,，n中，任意取10个数，使得其中有两个数的比值不小于 2,3且不大于3。求n的最大值。2由于任取10个数中有两个数在同一个抽屉里，显然最多构造9个抽屉.这9个抽屉中的每一个抽屉都含有1, 2, 3, , n中的一些数，而且这些数必须满足每两个数的比值都 在和之间，这9个抽屉，是：1; 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9, 10; 11, 12, , 16; 17, 18, 24, 25; 26, 27, , 38,39; 40, 41, , 59, 60; 61, 62

16、, , 90, 91.因止匕，n 的最大值是 91.18 .从1, 2, 3, , , 1988, 1989这些自然数中，最多可取多少个数，其中每两 个数的差不等于4?把1,2,1989这些数分成四组公差是4的等差的数列；1,5,9, ,1989 共 498 个数；2,6,10,1986 共 497 个数；3,7,11 1987 共 497 个数；4,8,12 1988 共 497 个数；我们发现:1.四行中每一行中任意相邻两数相差为4,不相邻两数相差不可能是4;2. 而分属不同两行的任意两个数相差不可能为4,因为如果相差为4的话，两数将被归为一行 , 这显然与事实矛盾; 故选符合规定的数只要

17、在每组里每隔一个数选一个, 每行最多可选249个数；最终249X 4=996 （个）19. 四个人聚会，每人各带了两件礼品，分赠给其余三个人中的两人。试证明：四个人中至少有两对，每对是互赠过礼品的。将这四个人用 4 个点表示，如果两个人之间送过礼品，就在两点之间连一条线。由于每人送出 2 件礼品，共有4X2=8条线，由于每人礼品都分赠给2个人，所以每两点之间至多有 1+1=2条线。四点间，每两点连一条线，一共6 条线，现在有8 条线，说明必有两点之间连了 2 条线，还有另外两点（ 有一点可以与前面的点相同 ）之间也连了 2条线。即为所证结论。20. 一排长椅共有90 个座位，其中一些座位已经有

18、人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有几人已经就座？由于 , 他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻 , 求至少有多少人,则有人的位置如图所示,（表示已经就座的人，“？ ”表示空位）：？ ？ ？ ？；即有人的位置占全部人数的1/3, 90+ 3=30人。即原来至少有30人已经就座。21. 把1, 2, 3,，8, 9, 10任意摆放在一个圆圈上，每相邻的三个数组成一个和数。试说明其中至少有一个和数不小于17。（反证） 假设任意三个相邻的数之和都小于 17 即小于等于16。 则 10 组之和 应小于等于16X 10=

19、160;10 组之和即把 10 个数分别加 了 3 次 ， 又因为 ： 3 (1+2+3+4+5+6+7+8+9+1)0 =165>160所以矛盾；故假设不成立，所以其中至少有一个和不小于 17 。22. 某人步行 10 小时，走了 45 千米。已知他第一小时走了 5 千米，最后一小时走了 3 千米，其余每小时都走了整数千米。证明在中间 8 小时当中，一定存在连续的两小时，这人至少要走10 千米。这个人在中间的8小时内走了 45-5-3=37(km)假设在中间的8个小时内他相邻 2 个小时内都走9km，8 个小时内一共有7 组相邻，其中除去这8 个小时内的前后两个小时，其他6 个小时都有

20、2 次相邻，这8个小时内的路程可得：7X9-6 + 2X9=36km<37km-定存在连续的两小时，这人至少走了 10 千米。23.在 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12 这 12个自然数中，任意选取8 个不同的数，其中必有两对数，每对数的差是1。构造 6 个抽屉 1,23,45,67,89,1011,12 将八个不同的数放入六个抽屉，必有两对数，每对的差是 1 。24. 有红、黄、蓝、绿四色的小球各10 个，混合放在一个布袋里。一次摸出 8个小球，其中至少有几个小球的颜色是相同的。把红黄蓝绿四个小球看成四个抽屉，一次摸出八个小球放在抽屉里，8+4

21、=2,其中至少有2 个小球颜色相同。25. 数学奥林匹克竞赛，全世界52 个国家的 308 名选手参加了竞赛。按组委会规定，每个国家的选手不得超过6 名，至少有几个国家派6 名选手参赛。每个国家最多派出的运动员不超过6 人，假设 52 个国家每个国家都派了 5名，则剩下308-52X5=48 (名)运动员。因为每个国家派出的运动员不超过6名，所以只好把 48名运动员平均分到 48 个国家中去，也就是说，至少有48 个国家派满了 6 名运动员。26. 某中学有十位老师，每位至少与另外九位中的七位认识，我们必可从中找出几位，他们彼此认识。用 a(1),a(2),.,a(10) 表示 10个人； a(1) 不认识的至多 2人, 认识的人不少于 7个, 不妨假定 a(1)认识 a(2) ； a(1) 、 a(2) 中至少有一个人不认识的人至多 4 人， 不妨