2018年高考南通市数学学科基地密卷(九)

1、2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合 A = 1 , x , B = 2 , 3, 4,若 A AB =4,则 x 的值为 .2 .若复数 zi=2+i, zz2（） z2=5,则 Z2= 3 .对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为 200,右图为检测结果的 频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 25, 30）的为一等品，在区间 20, 25）和30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 （第4题）4 .执行如图所示的流程图，会输出一列数

2、，则这列数中的第3个数为 .5 .为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动.某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为 9.9元，随机分配成 5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为.2、6 .函数y =log2（3 -2x -x ）的值域为 .7 . 已知PABC是正三棱锥，其外接球 。的表面积为16国 且/ APO = /BPO = / CPO = 30°,则三棱锥的体积为.28.已知双曲线x2-匕=1的左、右顶点为 A、B,焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为旦,过A作斜率为

3、k的直线l交双曲线于另一点 M,交椭圆于另一点N,2若AN = NM，则k的值为 .910.11.12.13.14.二、15.；.已知函数 f(x) = cosx(sin x+ cosx) 一 ；, 若fg=今,则cos(4 -2 a)的值为一4已知an 是首项为1,公比为2的等比数列，数列bn满足b = ai ,且bn = ai +a2 +IHn+an +an+111 +a2 +a( n > 2,n w N *),若 am +(bm 28) = 2018 ,则 m 的值为 .定义在-1,1 上的函数f (x) =sin x ax+b(a >1)的值恒非负，则a b的最大值为 .在

4、 ABC中，若 F5 t /= J5 C ,则cosC的值为 CA AB AB BC BC CA在平面直角坐标系 xOy中，圆O ： x2 + y2 = 1,直线l : x + ay - 3 = 0 ,过直线l上一2点Q作圆O的切线，切点为P, N ,且QP QN =,则正实数a的取值范围是.3已知偶函数 y = f(x)满足 f(x+2) = f (2 x),且在 xw 2,0时，f (x) = x2 +1 ,若存在 x1，X2,HI, xn 满足 0< X <x2 <111 <xn,且 f(X1 卜 f (X2 卜 f (X2 ) f d)+|1 +|f(Xn)f(

5、Xn |=2017,则 Xn 最小值为 .解答题：本大题共 6小题，共计90分.(本小题满分14分)已知函数f (x) = Asin(x十中X A>0,0 <中)的最小值是一2,其图象经过点 M (一 ,1) . 3(1)求f (x)的解析式；824(2)已知 a,Bu(0,),且 f(a)=, “与=一，求£(口 P)的值.251316 .（本小题满分14分）如图，在四锥 PABCD 中，NBAD=90©, AD/ BC , AD=2BC, AB_LPA.(1)求证：平面PAD _L平面ABCD;(2)若E为PD的中点，求证： CE /平面PAB .17 .(

6、本小题满分14分)有一块以点O为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离 。点J2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于 A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路 OA, OB,其中小路的宽度忽略不计.(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度;这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和 兀)(2)若要在 ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18 .(本小题满分16分)如图，点an+=2an+8, >, 0分别为椭圆b；+b2* = 4&+25的左、右顶点和右焦点，过点nW N”的直线an(异于bn轴)交椭

7、圆C于点bn,cn = anbn .(1)若AF =3,点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5,求椭圆C的方程;(2)已知直线(r cs <t)的斜率是直线r, s, t斜率的f (m+x) < f (x)倍.求椭圆C的离心率;19.(本小题满分16分) 若椭圆C的焦距为f(m +x) < f(x),求 AMN面积的最大值.已知函数 f (x) = x ln x - ax2.(1)若曲线y = f(x)在x=1处的切线过点 A(2,2).求实数a的值；f (x)1 设函数g(x)(") ,当SA0时，试比较g(s)与g(一)的大小;xs 1(2)右函数f(x)有

8、两个极值点Xi , x2 (Xi<X2),求证：f(x1)A.220.(本小题满分16分)设数列an的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn,我们称满足条件“对任意的一* . . . _ . _ _ . . _ _ . . .m, n = N，均有(nm)&、=(n+m)(a Sm)” 的数列an为“好”数列.n 1(1)试分别判断数列an, bn是否为 好”数列，其中an =2n1, bn =2 一，nW N并给出证明；(2)已知数列g为好”数列. 若So” =2018 ,求数列g的通项公式； 若G = P ,且对任意给定正整数 p,s(s>1),有G,Cs,G成等比数列

9、,求证：ts2.2018年高考模拟试卷(9)数学R (附加题)21 .【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A.选彳41:几何证明选讲(本小题满分10分)如图，AB为。的直径，BD是。的切线，连接 AD交。O于E,若BD/CE,（第 21-A）2AB 交 CE 于 M ,求证：AB = AE ADB.选彳42:矩阵与变换(本小题满分10分)已知点A在变换T :作用后，再绕原点逆时针旋转90，得到点B.若点B的坐标为(-3,4),求点A的坐标.C .选彳4> 4 4:坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，圆 C的方程为P = 2acos日

10、（a#0）,以极点为坐标原点，极轴为 x轴 x= 3t 1.正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为x,（t为参数），若直线ly = 4t 3与圆C恒有公共点，求实数 a的取值范围.D.选彳4-5:不等式选讲（本小题满分10分）3 2 1已知正数a,b,c满足2a+3b+6c = 2,求？+2+的最小值.a b c22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内22 .已知直三棱柱 ABC A1B1C1中，AABC为等边三角形，连接 AM,AC,CM，若 NMA1C=90 0（1）求直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值；（2）求平面CAM与平面AACiC所成的锐二面角.2

11、3.（本小题满分10分） _ k_ k 1（1）求证：kCn上=（nk）Cn J；1008/、n十二 丁 （T） cn1（2）求证：JC2017 T 延长 BBi 至 M，使 BB1 = B1M ,M M（第22题）nR 2017 -n20172018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题：1 .【答案】4【解析】因为 AAB =4,所以4CA,故x=4.2 .【答案】2+i5,【斛析由 ZiZ2 = 5,得 Z2=2+j=2 i,所以 Zi=2+i.3 .【答案】50【解析】三等品总数 n =1 (0,05 +0.0375 +0.0625)父5M200=50 .4 .【答案】30【解析

12、】A =3, N =1,输出 3； A = 6, N = 2 ,输出 6； A = 30, N = 3,输出 30； 则这列数中的第 3个数是30.15 .【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下:(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53,6 .33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19, 2.33) (3.21, 0.73) (3.21, 2.33) (0.73, 2.33),共 10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53, 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P=1.1

13、0 56 .【答案】(g,2 【解析】因为32xX2 =-(x+1)2+4三(0,4，所以log2(3-2x-x2)(-,2 ,即值域为产2 .7 .【答案】2向4【解析】设球的半径为 R, 4ABC的外接圆圆心为 O',则由球的表面积为 16兀,可知4成2=16兀，所以R= 2.设4ABC的边长为2a,因为/ APO=/ BPO=/ CPO = 30°, OB=OP = 2,所以BO，= 23R= V3, 00，= yOB2_BO, 2 =1,PO'= OO' +OP=3.在 ABC 中，O' B=|x 乎X2a=« 32所以所以三棱锥 P

14、ABC的体积为V = 1X1X32Xsin60 °X 3=9J3.3 24,2,3-一 3【解析】对于椭圆，显然c73- ,一、一 x 2.b二1丁万所以椭圆万程为彳-二1,设N（%,y。）,则由AN =NM 得2M（2xo虫,2y0）.因为点M在双曲线上，点N在椭圆上，所以，+y；=1_2(2xo1)712 d,44y0 =1 ,解得， =1，y。=±B 故直线1的斜率k =±26 231.21 1 .一用牟析：f(x)= cosx(sin x+ cosx) 2= sin xcosx+ cos x 2=2$ 2x+1 + cos 2x 1 12=2sin 2x

15、+ 2,2cos 2x= 2 sin x+C e、，J2 一一, n 1 .一4 J,因为 f (口)=62 ,所以 sin(2«+-),所以3T7Tcos(- -2 ：) =cos - -(2 .：:4_2二 1+_) =sin(2 ce +_) = o1.o 11解析一：f(x)= cosx(sin x+ cosx) £= sin xcosx+ cos2x 2= 2sin 2x+1 cos 2x 1 12=2sin 2x+2cos 2x,因为2.上f(a)=,所以 sin 2 a+ cos 2 a= o , 63所以JIJI JIcos(2： ) =coscos2.i

16、' sin sin 2-：:=222 1cos2： sin2：=-2233。10.【答案】10【解析】因为匕是首项为1,公比为2的等比数歹U,所以 an =2n-,nn、所以 bn = a1(1 - q ) , a1(1 一 q )i -qn二2n 1n 11 2 1 =3 2 一2,因为 am +(bm 28)=2018,m 1_m。_ 所以 2+(3 X22 28)=2018,所以2m1=512 ,即11.【答案】sin1【解析】由题可知sin x -ax+b >0恒成立，即sin x ax +a >a -b 恒成立g(x) =sinx -ax +a ,所以 g，x 扣

17、 co$a<, 所以 g(x) =sinx-ax +a在-1,1上是减函数a -b < g(1) =sin 1,即ab的最大值为sin1 .12.【答案】彳-3=UCA AB AB BC BC CACA-A B3 5A B B C2 1II TB C CA1 5,k,k,k匚 b © o s A-a cc o sB-a bc o sC2a2即b22 c-b22-c2-a2-c2-a-b2二35k,= 21k,所以二15k,2ab22c=- 36k,-50k,-56k,所以cosC二2.2a b2ab2 c36 50 -562 6 5 213 .【答案】五收）4QO - X

18、。二；),OQ =d 122Qo二 Ps =2一（d1(2222“)(1”/-3y2 =3d2 +-22 -3 =-,解得 d = J3 ,即点 Q在圆 x2d 34=2(5这313 5512613)一 656分8分10分12分14分上.3又点Q在直线l : x +ay 3 = 0上，所以圆心 O到直线l的距离3 , <用,所以正实数.1 a2a > 22 .14 .【答案】1009解析：因为偶函数 y = f(x)满足f(x+2) = f (2 x),所以f(x+4) =f (x) =f (x),所以函数y = f(x片最小正周期为4的偶函数，且在xw-2,0时，f(x)=-x2

19、+1,所以函数y = f (x )的值域为-3,1,对任意xi, xj (i, j=1, 2, 3,，m),都有|f (x)-f (为)| f(x)maxf(x)min=4,要使xn取得最小值，尽可能多让 X (i=1, 2, 3,，m)取得最高点，且 f(0)=1, f(1)=0, f(2)=-3,因为 0<x1 <x2<|<xn,且f 区)一f (x2 )+|f 仇)一f 仇)+| 寸 f (xn)一f(K ) = 2017,根据2017=4M504 +1 ,相应的xn最小彳f为1009.二、解答题：15.【解】(1)因为f(x)的最小值是一2,所以A= 2.又由f

20、 (x)的图象经过点 M(,1),可得f () =1 , sin(F中)=， 3332所以 中十卫=2k冗+3或 中+卫=2kn+", 3636又0 <邛<冗，所以中=；故 f (x) =2sin( x+),即 f (x) =2cos x .2(2)由(1)知 f(x) =2cosx,又 f(a)=8 , f(P)=,513场8：24 目口4：12敢 2cos。=一，2cos P =, 即 cosu =,cos P =,51351335又因为 a, B 匚(0,一)，所以 sin a =一 ,sin B =1, 2513所以 f (: - -) =2cos(：,-)=2(

21、cos：cos： sinsin ：)16.【证】所以(1)在四棱锥 PABCD中，因为 /BAD =90°,AB _LAD .又 AB _LPA,且 AP c：平面 PAD, AD 仁平面 PAD , AD Q AP = A ,所以AB_L平面PAD).又AB U平面ABCD ,所以平面 PAD _L平面ABCD .(2)取AP的中点F,连EF, BF.在 PAD中，EF/ AD,且 EF =1 AD ,又 AD II BC所以2EF/ BC,且EF =BC ,所以四边形,BC =1AD，2BCEF为平行四边形,17.所以因为所以CE/ BF.11CE值平面PAR BF U平面PAB

22、,CE / 平面 PAB .14【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则(1)小路的长度为OA +OB + AB ,因为 故只需要AB最小即可.D(0,V2).OAOB长为定值,作 OM _LAB 于 M ,记 OM=d ,则 AB =2gA2 OM又 d < OD =应,故 AB>23 -2 =2夜, 此时点D为AB中点.故小路的最短长度为 4+2五(百米). (2)显然，当广场所在的圆与 ABO内切时，面积最大，设 ABO的内切圆的半径为，1则 ABO 的面积为 S&BO =1(AB+AO+BO) TA4分O6分4 - dD2 AB2由弦长公式AB =2可下可得d2 =4

23、 ，所以设 AB =x ,则 r2 = f (x)=4222x2 (16 -x2) x2 (4 -x)-22AB2 (16-AB2)4(AB 4)2f'(x)=所-2x3 -8x 32x24(x 4)2又因为0 <d < OD ,4x 4)24(x 4)2x (x 4x-16)24(x 4)2即0 <d < 72,所以10分x =AB 2 4 -d2' |2/2,412所以18.【解】解得(2)f '(x)=-2x (x2 4x -16)4(x 4)2<0,所以“*.=监”)=64理ABC的内切圆的面积最大值为 (6 -472) n.(1)

24、 AF =3,点F与椭圆C左准线的距离为a = 2,b = .3,x,椭圆C的方程为一4IT114kBM kBNa c =3,a5, . c =5法一：显然 A(q,0) , B(a,0)则丁点M在椭圆C上,y1y12y1F(c,0),设2%=b (1 -)a2y1M (%,必),N(x2,y2),上(xT), ab2一 22 一 2Xia Xi - aXi - a a设直线MN : x = my c ,与椭圆C:与 a3=1(a >b >0)联立方程组消去(a2 +m2b2)y2 +2cmb2y -b4 =0 ,其两根为y1y2 -y1y2 =kBMkBNb422a (a -c)

25、(ii)x得:y1(i)22cmba2m2b2,b4(*)y1y2y1y2(*)x1 a x2 -a my1 c -a my2 c -ay1 y22 1y1 y2 m(c -a)(y y2) (c -a)10分又 2kMA 二kBN(iii)由(i) (ii) (iii)得:2b2b42 2 a (a -c)2221.;r a 4ac + 3c =0,即 3e 4e+1 =0 ,斛得 e =或 e = 1 , 3又 0<ec1,. =1, 即椭圆 C 的离心率为31 .12分3法二：显然 A(a,0) , B(a,0) , F(c,0),：2kMA=k b n/.设直线 MA的方程为 y

26、=k(x + a),直线NB的方程为y =2k(x -a),y =k(x a),由x2y2得(a2k2+b2)x+2a3k2x+(a4k2a2b2) =0 ,-2 =1a b注意到其一根为x=y, ,.另一根为x3 22a k - ab222a2k2 b23 a M ( - -2 a3. 2,2一 a k -aby =k( 一 222a k b22 kk2、 2kab2a) 一 212a k b2 6.2 b同理由2 ay =2k(x -a),8分即k k2得N(3 224a k -ab2-224a k b24kab2- -2 ) 4a k b由M , N , F三点共线得:FM / FN3,

27、 2,223, 2,22a k -ab 、，4kab 、 ，4ak -ab 、 2kab(一. 2T22-C)(-2T22) Y2-22 - C) -2-2a k b 4a k b 4a k b a k b=010分化简彳导:(a 3c)(2a2k2+b2) =0,二 a=3c,c 1，二e =一 =一 , 即 椭 圆 C 的 离 心 率 为 a 312分222由a=3c,又椭圆C的焦距为2,.c = 1,.a=3,.b =a -c =8,_16my1 y2 - -2 ,由方法一得9 8m64y1y"VW AM NW积 S =1 AF y1 -y2 =- 4 (y . y2)2 -4

28、丫佻2296'. m2 19 8m2,m R14分令 t=Jm2 +1,mWR ,则 S=-96t-T,t >1 ,1 8t2、Ts=96(1-8t2) <o, s=_96 在i 2为减函数，(1 8t )1 - 8t2二.t =1,即m=0时，Smax =32 ,即MMN面积的最大值为32 .3316分19.【解】(1)因为 f (x) =ln x+2ax+1 ,所以 f'(1) = 2a+1,由曲线y=f(x)在x=1处的切点为(1, a),所以在x =1处的切线方程为y -a =(2a +1)(x -1).因为切线过点 A(2, 2),所以a=1 .4分 g(

29、x) =ln x -x ,由 g(s)g(1) =(ln ss)(ln 1-1) =2ln ss+1 . 6 分ss ss2设 h(s) =2ln ss+1 ( s>0),所以 h'(s)=2_1_J2=_(AlL<0, ss s s所以h(s)在(0,+8)为减函数.因为 s >0,所以当 s >1 时，有 s >1 ,贝U gs) g()1 ；当 s =1 时，有 s =1 ,贝U g$) g()1 ； ssss当 0 <s <1 时，有 s <1 ,则 g (s) >g(1).10 分ss(2)由题意，f (x) =lnx+2

30、ax+1=0有两个不等实根x1 ,x2 (x1(x2).设 g(x) =ln x +2ax +1 ,则 g '(x) =- +2a ( x >0 ), x当a>0时，g(x) >0,所以g(x)在(0,y)上是增函数，不符合题意;当 a<°时,由 g(x)=。，得 x=-21a>0,列表如下：xg (x) g(x)(0，-2a)_A.2a0极大值(：)(2a,)由题意,g(1)=ln( 2)>0 ，解得 一1 <a <0 ，所以 g(1) =1 +2a >0 , 2a 2a2因为 Xi <X2 ,所以 0 <X

31、i <1 . 13 分因为 f (x1) =ln x1 +2axi +1=0,所以 ax11 In Xi211nxi f(x1) =x1 In x1 -x1 2-x1 (In x1 -1)2(0 <x <1).令中（x）=x（1n尸）（0<x<1）因为5（x）=等<0,所以中（x）在（0,1）上为减函数,所以(x.) . ；(1) =-1,即 f(x1) -1,所以，命题得证.16分2220.【解】(1)右 an =2n -1 ,则 Sn =n ,所以(n m)Sn.=(n m)(n +m),而(n +m)(Sn -Sm) =(n +m)(n2 -m2) =

32、(n +m)2(n -m),_*»*»、所以(nm)Sn+ =(n+m)(SnSm)对任息的m , n = N均成立,即数列a。是“好”数列;若 bn =2n 工，取 n =2, m =1,则(n m)Sn+ =& =7 , (n +m)(0 -Sm) =3b2 =6 ,此时(n m)Sn+ #(n +m)(Sn -Sm),即数列bn不是“好”数列.4分(2)因为数列g为“好”数列，取 m =1 ,则(n -1)Sn + =(n+1)(S -S),即 2s =(n1闭+6+1问恒成立.当 n>2 ,有 2Sn4=(n -2)an +na ,两式相减，得 2an

33、 =(n-1)an+(n-2)an+a (n>2),即 nan =(n _1闭+ai ( n>2),所以(n -1)an 工=(n -2)an +& ( n>3 ),所以 nan (n 1)anl=(n -1)an + (n 2) an ,即(2n-2以=(n 1)an,+(n1闭十，即 2an =4+4+ ( n>3),当 n =2 时，有 2s2 =a3 +3a1 ,即 2a2 =a3 +a , *所以2an =an、+an+对任息n> 2, nW N恒成立，所以数列Cn是等差数列.8分设数列Cn的公差为d ,2018 - G 若 c? =2018,贝

34、U g +2016d =2018,即 d = 2016y ,因为数列Cn的各项均为不等的正整数，所以 d WN ,所以d =1, G =2 ,所以Cn =n +1 .12分若 g = p ,贝U cn =dn + p d ,由 G , cs , Ct 成等比数列，得 c2=GG ,所以(ds + p -d)2 = p(dt + p d),即(p -d )(2ds p -d -p) d (ds2 -pt) =0化简彳导,p(t+12s) =d(s-1)2,即d+1 -2s p .14分(s -1)2因为p是任意给定正整数，要使 d W N*，必须t +1 2s W N* ,(s-1)2不妨设k

35、=t +1 _2s ,由于s是任意给定正整数，(s -1)2所以 t =k(s 1)2+2s1>(s1)2 +2s 1 =s2.16 分数学n（附加题）参考答案21A.【解】连接CB因为AB为。的直径，BD是。的切线，所以AB _ BD因为BD/ CE,所以AB _CE因为AB交CE于M,所以M为CE的中点，所以 AC=AE /CAB =/EAB 5分因为BD是。的切线，所以/ ABD=90因为AB为。的直径，所以/ ACB=90所以/ ACB=Z ABD因为 /CAB=/EAB ,所以 ACEP ABDAC AB2所以=,所以AB =AD ACAB AD即 AB2 =AE AD 10分

36、0-1120 -121!1 0。1H1 21设A（a,b）,则由F -叱1巴，得12 |b |L4 _| la - 2b =4.，a 二-2所以 4,即 A（ -2,3）.b =3,10分x =3t 121C.【解】由x（t为参数），可得直线l的普通方程为：4x-3y+5=0,y =4t 3由 P=2acosB(a #0)得 P2 =2PacosB所以，圆C的标准方程为（x a）2 + y2 =a2 ,若直线l与圆C恒有公共点，所以,4a 5°° - a4(二3) 5所以，头数a的取值氾围a < 一或a之5 .910分21D.【解】由于a,b,c>0 ,3213

37、321所以 = (a b 3c)()a b c疝 J1)2 =(T3 + V3 +袤)2 =27当且仅当a3a3b 22b3c一,即a:b:c=3:2:1时，等3成立.1 c3 2 1 所以3+2+1的最小值为 a b c27.10分22.解：以BC的中点。为原点,分别以 BC,AO,OF的方向为x轴，y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系 O xyz(1)设 AB =a,AA1 =b ,所以，畛。0）Ai(0,*，b)1- 1M (a,0,2b) , C1(-a,022若 /MAC =90 ,则 A1M AC =0 ,所以,13-2a，Ta，bJ3 1a,Ua,七=0,所以, F 2 Ja = . 2bn1AC =0,设面CAM的法向量为n1 =(x,y,z),所以，n1cM =0,、K _ 132又因为，A1c = a, a,a222cm =(-a,0,72a),132ax ayaz =0,即2227ax "J2az =0,又因为CM<0, 32a,设直线GM与平面CAM所成角为日，1所以，