4.1-4.2二维随机变量ppt课件

1、第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布4.1 4.1 二维随机变量的分布函数二维随机变量的分布函数4.2 4.2 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 在实际应用中在实际应用中, 有些随机现象需要同时用两个或有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述两个以上的随机变量来描述. 例如例如, 研究某地区学龄前儿童的发育情况时研究某地区学龄前儿童的发育情况时, 就要就要同时抽查儿童的身高同时抽查儿童的身高H、体重、体重W, 这里这里, H和和W是定是定义在同一个样本空间义在同一个样本空间 某地区的全部学龄某地区的全部学龄前儿童前儿童上的两个随机变量上的两个随

2、机变量. 又如又如, 考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察某次射击中弹着点的位置时，就要同时考察弹着点的横坐标考察弹着点的横坐标 X 和纵坐标和纵坐标 Y . 在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自在这种情况下，我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关的统计规律，而且还要研究它们之间的统计相依关系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即系，因而还需考察它们的联合取值的统计规律，即多维随机变量的分布多维随机变量的分布. 定义定义1 1 一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数为为样样本本，为为设设随随机机试试验验的的样样本本空空间间

3、 上上的的两两个个是是定定义义在在点点，而而 )(, )( YYXX上上的的）为为定定义义在在随随机机变变量量，称称（ YX,二维随机二维随机变量或二维随机向量变量或二维随机向量.12(,)nnXXXnX 一一般般地地，称称个个随随机机变变量量的的整整体体为为或或维维随随机机变变量量随随机机向向量量。定义定义2 2 于于任任意意实实）是是二二维维随随机机变变量量，对对设设（YX,二二元元函函数数数数, yx(,)XYX Y二二维维随随机机变变量量的的分分布布函函称称为为，或或称称为为和和的的数数联联合合分分布布函函数数。几几何何意意义义：的的联联合合分分布布函函数数),(YXF,)()(),(

4、yYxXPyYxXPyxF 记为记为方方的的平平面面区区域域的的概概率率。下下为为顶顶点点，且且位位于于该该点点左左落落在在以以随随机机点点),(),(yxYXxyO),(yx落落入入矩矩形形域域机机点点由由概概率率的的加加法法法法则则，随随),(YX),(),(),(),(,112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP 的的概概率率,2121yYyxXx xyO),(22yx),(11yx1212,?P xXxyYy 2211(,)(,)F xyF xy 1性质性质2性质性质联联合合分分布布函函数数的的性性质质, 1),(0 yxF且且 对任意固定的对任意固定的 , y,

5、0),( yF对任意固定的对任意固定的 ,x; 1),(, 0),( FF均均为为单单调调非非减减函函数数，和和关关于于yxyxF),( , y),(),(,1212yxFyxFxx 时时, x);,(),(,1212yxFyxFyy 时时, 0),( xF即对任意固定的即对任意固定的 对任意固定的对任意固定的 3性质性质均均为为右右连连续续，和和关关于于yxyxF),( , )(0, ), ( , )( ,0).F x yF xyF x yF x y即即 定义定义3 3 的的分分布布和和）是是二二维维随随机机变变量量，则则设设（YXYX,的的边边缘缘分分布布函函数数，且且和和于于关关分分别别

6、称称为为二二维维随随机机变变量量和和函函数数YXYXyFxFYX),()()()(xXPxFX )(yYPyFY , YxXP),( xF,yYXP ),(yF 的的分分布布函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量例例),(1YX)arctanlim2)(arctanlim2(),(yxAFyx 解解：)arctan2)(arctan2(),(yxAyxF ).()()3(;10 ,1)2(;)1(yFxFYXPAYX、边边缘缘分分布布函函数数常常数数求求 1 )22)(22( A21 A 10 ,1)2(YXP)0 , 1()1 , 1()0 ,()1 ,(FFFF 831692143 .1

7、61 的的分分布布函函数数为为设设二二维维随随机机变变量量例例),(1YX)(xXPxFX 解解：)arctan2)(arctan2(),(yxAyxF ).()()3(yFxFYX、边边缘缘分分布布函函数数求求)22)(arctan2(12 x, YxXP),( xF111(arctan)arctan22xx )(yYPyFY 同同理理：11arctan2y 第四章第四章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布4.2 4.2 二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布定义定义4 4 一、二维离散型随机变量的联合分布一、二维离散型随机变量的联合分布量量。）为为二二维维离离散散型型随

8、随机机变变个个实实数数对对，则则称称（）只只取取有有限限个个或或可可列列若若二二维维随随机机变变量量（YXYX,定义定义5 5 则则称称的的取取值值为为）所所有有可可能能（若若二二维维离离散散型型随随机机变变量量), 2 , 1,(),(, jiyxYXjiijjipyYxXP ,), 2 , 1,( ji（简简称称分分布布律律）。）的的联联合合分分布布律律（为为二二维维离离散散型型随随机机变变量量YX,XY（ X ，Y ）的联合分布律）的联合分布律ixxx21jyyy21ijiijjppppppppp212222111211比联合分布函数更直观，求概率更方便; 01 ijp性性质质. 12

9、ijijp性质性质联联合合分分布布律律的的性性质质 ,(1,2,),(1,2,)ijXYX Ypipj 由由和和 的的联联合合分分布布律律，可可求求出出各各自自的的分分布布律律iixXPp 其其中中 jijpjjpP Yy iijp(,). (,).ijpX YpXXYY 关关于于 的的边边缘缘分分布布律律关关于于 的的边边缘缘称称为为分分布布律律为为二、边缘分布律二、边缘分布律留意记号ip jp XY.ipjp.（ X ，Y ）的联合分布律）的联合分布律ixxx21jyyy21ijiijjppppppppp212222111211 jjp1ixXP 1p iip1 iip2 iijp jij

10、p1221:00,111XYXY 在在装装有有只只开开关关的的箱箱子子中中，有有 只只次次品品，有有放放回回的的取取两两次次，每每次次取取 只只，定定义义随随机机变变量量， 第第一一次次取取正正品品， 第第二二次次取取正正品品；， 第第一一次次取取例例次次品品， 第第二二次次取取次次品品试试写写出出和和 的的联联合合分分布布律律及及边边缘缘分分布布律律。所所有有可可能能取取值值有有由由已已知知，解解：),(YX. )1 , 1()0 , 1()1 , 0()0 , 0(，3625121210100, 0 YXP且且36512122101, 0 YXP36512121020, 1 YXP3611

11、212221, 1 YXP XY10103625365365361.ip6561jp.65616536536250 XP,(,)XYX Y将将一一枚枚均均匀匀硬硬币币掷掷三三次次，设设为为三三次次中中正正面面出出现现的的次次数数，而而为为正正面面次次数数与与反反面面次次数数差差的的绝绝对对值值 求求的的联联合合概概率率分分布布及及边边缘缘练练习习分分布布律律。所所有有可可能能取取值值有有由由已已知知，解解：),(YX. )3 , 3()1 , 2()1 , 1()3 , 0(，10,3,0()83P XY 正正面面 次次，即即 次次全全为为反反面面且且11231131,1( ) ( )()22812P XYC 正正面面 次次，反反面面 次次,831, 2 YXP813, 3 YXPXY 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8ixXP 81838381jyYP 8286（ X ，Y ）的联合分布律及边缘分布律）的联合分布律及边缘分布律设设二二维维随随机机变变量量的的联联合合概概练练习习率率分分布布为为 - 2 0 1 - 1 0.3 0.1 0.1 1 0.05 0.2 0 2 0.2 0 0.05XY1,0(1,0).P XYF 求求及及1,01,1P XYP XY 0, 1 YX