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1、如何用判别式法求函数值域十堰市柳林中学 顾安国用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中，很多学生对用判别式求值域掌握不好。一是不理解为什么可以这样做，二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法，哪些函数不能也比较模糊。本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、 求函数的值域象这种分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。解：由得：（y-1）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然y1,故式是关于x的一元二次方程为什么可以这样做？即为什么0，解得y的范围就是原函数的值域？我们可以设计以下问题让学生回答：1、 当x=1时，y=? (0

2、) 反过来当y=0时，x=?（1）当x=2时，y=? () 当y=时，x=?（2）以上y的取值，对应x的值都可以取到，为什么？（因为将y=0和y=代入方程，方程的0）2、 当y=-1时，x=? 当y=2时，x=? 以上两个y的值x都求不到，为什么求不到？（因为将y的值代入方程式中<0,所以无解）3、 当y在什么范围内，可以求出对应的x值？4、 函数的值域怎样求？若将以上问题弄清楚了，也就理解了判别式求值域的理论依据。二、判别式法求值域的适用范围前面已经谈到分子、分母的最高次为2次的分式函数可以考虑用判别式法求值域。是不是所有这种类函数都可以用判别式法求值域？例2、 求的值域从表面上看，此

3、题可以用判别式法求值域。由原函数得：（y-3）x2+2x+(1-y)=0 =4-4（y-3）(1-y)0即（y-2）20 yR但事实上，当y=3时，可解得x=1, 而x=1时，原函数没意义。问题出在哪里呢？我们仔细观察一下就会发现，此函数的分子分母均含有因式（x-1）,因此原函数可以化简为，用反函数法可求得，又x1代入可得y2，故可求得原函数的值域为。因此，当函数为分子、分母的最高次为2次的分式函数，但分子分母有公因式可约分时，此时不能用用判别式法做，应先约分，再用反函数法求其值域。特别值得注意的是约分后的函数的定义域，如上例中化简后的函数x1，故y2。例3、 求函数的值域此函数为分子、分母的

4、最高次为2次的分式函数，且分子分母无公因式，可不可以用判别式法来求值域呢？由得：3yx2+(2y-1)x+y+5=01）当3y=0，即y=0时，可解得x=5，故y可以取到02）当3y0时，令=(2y-1)24×3y (y+5)0解得：由1）、2）可得原函数的值域为上面求得的值域对不对呢？显然y=在所求得的值域范围内，但当y=时，可求得x=2，故了限定了自变量x的取值范围的函数不能用判别式法求值域。此题可用导数法求得原函数在区间3，5内单调递增，故函数的定义域为。综上所述，函数必须同时满足以下几个条件才可以用判别式法求其值域：1） 分子分母的最高次为二次的分式函数；2） 分子分母无公约数；3） 未限定自变量的取值范围。最后需要说明的是用判别式求值域时，第一步将函数变为整式的形

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