2019届辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2323 页2019 届辽宁省葫芦岛市普通高中高三第二次模拟考试数学（理）试题一、单选题1 1. .已知集合A = -2,3,1,集合B二3, m2. .若B A,则实数 m m 的取值集合为（）A A .1B B.认3?C C. 1,1,-V-VD D . 、一3、，【答案】C C【解析】 将选项中的元素逐一验证，排除错误选项，由此得出正确选项【详解】若m=1，则B J.1,3l，符合B A，排除 B,DB,D 两个选项若m = -1,则B =X,3l,符合B A，排除 A A 选项 故本小题选 C.C.【点睛】本小题主要考查子集的概念，考查选择题的解法2 2设 i i 是虚数

2、单位，若复数z =1 2i,则复数 z z 的模为（）A A . 1 1B B.2.2C C. 、3D D. 、5【答案】D D【解析】根据复数模的计算公式，计算出 z z 的模. .【详解】依题意，z= 丁12+22=亦，故选 D.D.【点睛】本小题主要考查复数模的概念及运算，属于基础题3 3 .设命题P:（0,：） ,In x, x-1，则P为（ ）A A. x（0,：）, In x x -1B B.X。（0,二），In x,沧 一1C C.一x （0,：）,In x x-1In x x0-1【答案】D D【解析】根据全称命题的否定是特称命题的知识直接选出正确选项排除法，属于基础题第2 2

3、页共 2323 页【详解】第3 3页共 2323 页原命题是全称命题，其否定为特称命题，B,DB,D 选项是特称命题，注意到要否定结论，故D D 选项符合 所以本小题选 D.D.【点睛】本小题主要考查全称命题的否定是特称命题，属于基础题4 4近年来. .随着计划生育政策效果的逐步显现以及老龄化的加剧，我国经济发展的人口红利”在逐渐消退，在当前形势下，很多二线城市开始了抢人大战”，自 20182018 年起，像西安、南京等二线城市人才引进与落户等政策放宽力度空前，至20192019 年发布各种人才引进与落户等政策的城市已经有1616 个。某二线城市与 20182018 年初制定人才引进与落户新政

4、（即放宽政策，以下简称新政）：硕士研究生及以上可直接落户并享有当地政府依法给与的住房补贴，本科学历毕业生可以直接落户，专科学历毕业生在当地工作两年以上可以落户。高中及以下学历人员在当地工作1010 年以上可以落户。新政执行一年，20182018年全年新增落户人口较 20172017 年全年增加了一倍，为了深入了解新增落户人口结构及变 化情况，相关部门统计了该市新政执行前一年（即20172017 年）与新政执行一年（即 20182018年）新增落户人口学历构成比例，得到如下饼图：则下面结论中错误的是（）A A 新政实施后，新增落户人员中本科生已经超过半数B B 新政实施后，高中及以下学历人员新增

5、落户人口减少C C .新政对硕士研究生及以上的新增落户人口数量暂时未产生影响D D .新政对专科生在该市落实起到了积极的影响【答案】B B【解析】 通过分析两个饼图中各个学历人数的变化情况，得出正确选项【详解】设2017人数为x，则2018年人数为2x，根据两个饼图可知：年份高中及以下专科本科硕士及以上第4 4页共 2323 页201720170.09x0.26x0.49x0.16x第5 5页共 2323 页201820180.1x0.58x1.16x0.16x由表格可知，高中及以下的人增加了，故B B 选项判断错误 故本小题选 B.B.5 5 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用

6、九个圆环相连成串，以解开为胜。据明代杨慎丹铅总录记载：两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一 ”。在某种玩法中，用an表示解下n（n兰9,n N*）个圆环所需的移动最少次数,为（ ）【解析】 根据三视图判断出几何体为两个半圆柱构成，进而计算出表面积、an满足al= 1，且an=丄2 an丄-1,2扇2,n为偶数则解下n为奇数，则4 4 个环所需的最少移动次数A A 7 7B B. 1010C C 1212【答D D . 2222依题意a4=2a3-1 =2 2a22 -2|2 2a12 -1 = 7. .故选 A.A.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查递推数列求某一项的值，属

7、于基础题6 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（B B.6二【答案】D D第6 6页共 2323 页【详解】由三视图可知，该几何体为两个半圆柱构成，其表面积为2n 12n 12 n 112 1= 5 n 2，故选 D.D.【点睛】本小题主要考查根据三视图识别几何体，考查几何体表面积的计算，属于基础题. .7 7 .当点P（3,2）到直线mx-y 7-2m=0的距离最大时，m m 的值为（）A A. 3 3B B. 0 0C C.-1D D . 1 1【答案】C C【解析】求得直线所过的定点Q，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，根据斜率乘 积等于_1列方程，由此求得m的值. .【

8、详解】直线mx-y1 -2m =0可化为y二m x -21， 故直线过定点Q（2,1）,当PQ和直2 1线垂直时，距离取得最大值，故mkPQ= mm1-1,m-1，故选 C.C.3-2【点睛】本小题主要考查含有参数的直线过定点的问题，考查点到直线距离的最值问题，属于基础题. .8 8 .某次测量发现一组数据（Xi,y）具有较强的相关性，并计算得y = X+5，其中数据（1,y1,y）因书写不清楚，只记得y1，是0,3上的一个值，则该数据对应的残差（残差 = =真 实值- -预测值）的绝对位不大于 0.50.5 的概率为（）1512A A .B B.C C .D D .-6633【答案】C C【

9、解析】求得估计值，用真实值减去估计值求得残差， 根据已知残差的绝对位不大于0.5列不等式，解不等式求得y1的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率. .【详解】依题意可知，估计值为1+1.5 = 2.5，残差为y1-2.5，依题意得 如2.5兰0.5，解得3 _212空乞3，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，故选 C.C.33第7 7页共 2323 页【点睛】本小题主要考查残差的概念及计算，考查几何概型的计算，属于基础题. .ex e9 9 .函数y3的图像大致是（）x xB.B.第 5 5 页共 2323 页【详解】x -X令f X二e3e，则f一x=-fX，故函数为奇函数，

10、图像关于y轴对称，排除X -X0.51e_0.5e00.125-0.5【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，主要通过函数的奇偶性和函数图像上的特殊点进行排除，属于基础题. .1010 在ABC中，角 代B,C的对边分别为a,b,c，若ABC为锐角三角形，且满足,2sin2C二tanA(2sin C cosC2)，则等式成立的是()A Ab=2aB B.a=2bC CA=2BD DB = 2A【答案】B B【解析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式化简已知条件，再用正弦定理进行转化，由此得出正确选项【详解】依题意得2si nAcosC cosAsi nC =si nA，即

11、sn A =2$in B，由正弦定理得a = 2b，故选C C 选项 由x3-x = 0，解得x= 0且x二1. .，排除 D D 选101e_ 701000-101，故可排除 B B 选项. .所以本小题选A.A.2sin C cosC-s 2 -2COS2C cosC -2, ,cos A2sin C1 -2cosCsin Acos A【解析】根据奇偶性和函数的特殊点，对选项进行排除，由此得出正确选项第9 9页共 2323 页【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和两角和的正弦公式，考查三角形内角和定理以及正弦定理边角互化，属于基础题. .1111.已知抛物线C:y2=

12、4x的焦点为 F F，过点 F F 分别作两条直线 -J，直线li与抛物线 C C 交于A, B两点，直线12与抛物线 C C 交于M ,N点，若li与直线12的斜率的乘积为-1，则| AB | MN |的最小值为（）A A . 1414B B. 1616C C. 1818D D. 2020【答案】B B【解析】设出直线li的斜率，得到2的斜率，写出直线1i,12的方程，联立直线方程和抛时，等号成立，故最小值为i6i6，故选 B.B.【点睛】利用基本不等式求最小值，属于中档题e1212 .已知函数f（x）=ex，x（e e 为自然对数的底数）,g（x）=l nx-ax-ea，4若22A.e物线

13、方程，根据弦长公式求得AB , MN的值，进而求得最小值【详抛物线的焦点坐标为F i,0，依题意可知1i,12斜率存在且不为零，设直线li的斜率为iik，则直线l2的斜率为，所以li：y二k x-i丄：丫x-i，有kky*x -i y2=4x22 22,2小2k 44,有k x 2k 4 x k 0,x1x2222，故kkXi42AB=论+x2+2=4，同理可求得MN =4+4k. .故kAB十MN | =8 +4k2十右兰8 +2(4k2:=8 8 =16,当且仅当4k2,21k2k2本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查X2存在实数 X Xi,X,X2

14、，使得仆巧弋凫1，且仁吋，则实数a a的最大值为（）Xi52e第1010页共 2323 页【答案】A A【解析】根据f Xi-扌 T 求得Xi的值. .将g X2= 1转化为In X2二a x?e -3，根 据y=l nx和y =a x e -3的图像在| e, e2有交点，求得实数a的最大值. .【详解】由f Xi；扌=1化简得e” - - - Xi- e 1，由于y = et, y = -t 1只有一个交点x20,1， 所以X1e = 0，故X1=e.g(x )的定义域为(0,+沁)，由1勻一匡e，得X12e _ x2_ e. . 由g(X2)=1化简得In X2=a(X2+e)-3. .

15、分别画出函数y = ln x和y=a x e -3的图像如下图所示，由图可知，a的最大值即直线y=a x e -3斜率的最大值为kAB=二，故选 A.A.e_(e)e了 -【点睛】本小题主要考查含有指数式的方程的解法，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，考查函数零点问题，综合性较强，属于中档题二、填空题1313 .某篮球运动员罚篮命中率为0.750.75,在一次罚篮训练中连续投篮5050 次，X X 表示投进的次数，则D(X)=_. .【答案】9.375(75 / 8)第1111页共 2323 页【解析】根据二项分布方差计算公式计算出结果 第1212页共 2323 页项的

16、系数的求法，属于基础题. .1515.需均为单位向量，且它们的夹角为60:设a,b满足a+epb =ei me(m R)，则|a -b|的最小值为【答案】-iLil2141【解析】 根据a+仓=的几何意义判断a在一个半径为一的圆上，根据22彳+ T4-I-IHb=e,me(m R)判断b的终点在过e,的终点且平行于e2的直线上. .根据圆和直线的位置关系，以及|a-b|的几何意义，求得|a-b|的最小值. .【详解】11a - -e2，即a与-q两个向量终点的距离为，即a的终2221呻+ T _点在以-氏的终点为圆心，半径为 的圆上.由于b二e me2(m R)，根据向量加法4 T1a +色=

17、，即2【详由于X满足二项分布，故D X =50 0.75 1 -0.75 =9.375. .【点本小题主要考查二项分布的识别，考查二项分布方差计算公式，属于基础题11414.(2x-)n(n(n 为正整数) )的展开式中各项的二项式系数之和为128128,则其展开式中含xx x 项的系数是_. .【答案】-560【解析】根据二项式系数之和求得n,根据二项式展开式的通项公式求得含x项的系数. .【详依题意可知2n=128，解得n -7,2x-x7展开式的通项公式为r7 -rirrC7 (2x) (x ) =(1)亍C；x7r,当7-2r =1时r = 3，故含x项的系数343为(-1 )x2 x

18、C7= 560.【点本小题主要考考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定由于第1313页共 2323 页的平行四边形法则可知，b的终点在过ei的终点且平行于e2的直线上. .画出图像如下图所示. .由于,e均为单位向量，且它们的夹角为60，故圆心到直线的距离第1414页共 2323 页EB = OC sin60=3,|b|表示a,b两个向量终点的距离，所以最短距离也即2聞1的最小值为AB|冲一芥粤【点睛】本小题主要考查平面向量减法模的几何意义，考查平面向量加法运算的平行四边形法则，考查考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强,属于中档题 三、解答题1616

19、如图所示，正方体ABCD-ABiGiGDi的棱长为 1 1,M,N为线段BC, CCCCi上的动点，过点A1,M , N的平面截该正方体的截面记为S S,则下列命题正确的是 _当BM =0且0：CN 1时，S S 为等腰梯形;当M,N分别为BC, CCCCi的中点时，几何体ADiMN的体积为 ;12第1515页共 2323 页313当 M M 为BC中点且CN时，S S 与CiDi的交点为 R R,满足CiR464当 M M 为BC中点且0剟9CN 1时，S S 为五边形；5当BM二1且CN =1时，S S 的面积上6. .33【答案】【解析】对五个命题逐一画出图像，进行分析，判断出其中的真命

20、题，由此得出正确命题的序号【详解】对于，画出图像如下图所示，过N作NNi/AB，交CiDi于Ni，截面为ABNNi，由于NN/CDi/A,B，所以CN =DiNi，故：BCN三.：AiDiNi，所以BN二人恂，即截面S为等腰梯形故正确对于，以D为空间坐标原点，DA, DC, DDi分别为x, y,z轴，建立空间直线坐标系,M f,1,0则第1616页共 2323 页.fi I则AI1，。，1,Di。，叩，N 0-,第1717页共 2323 页-,0,-. .设平面A,DiN的法向量为.2 2DiAi=1,0,0QN =0,1,I,I,MN =2，n二x,y,z,I n = x = o则）n D

21、JN = y z = 02令y=1，则z = 2，故n二0,12. .则点M到平面A1D1N而DXDN=0,臥一贰,VM对于,PC1所以CM11C R PC二，故PC-肓由于CiR/AB，所以苗寸A B1PB|1，GR =-，故判断错误. .的距离为h二_ 1二/5占D-N一3乂2工 战D-N 6 1 J5J_=，故命题正确. .延长MN交B-C-的延长线于P，连接A-P交C-D-于R，由于C-P/CM，第1818页共 2323 页对于，延长CiN，交B1B的延长线于Q，连接AQ, ,交AB于P，则截面S为四边形S血PM18即，故SPMCAA - SQA1C1. .在三角形QA1C1中，APM

22、G. .由于PM I /AAC / /AC，所以QMQG輕=A，面积比等于相似比的平方,EG 3对于，当CN =0时，截面S为三角形ABC，故判断错误. .第1919页共 2323 页SQA1C199第2020页共 2323 页【点睛】本小题主要考查正方体的截面有关命题的真假性判断，考查锥体体积算，考查三角形面积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，综合性较强，属于中档题 1717 已知数列an是公比为q的正项等比数列，bn是公差d为负数的等差数列，满d足,bib2b3=21,b1b2b 315. .a2a3a1(1 1)求数列an的公比q与数列bn的通项公式；求数列 bn的前 1010 项

23、和S101【答案】(1 1)q= ,bn=112n(2 2) S So=50=502【解析】(1 1)利用等差数列的性质， 求得b2,然后利用db2b3=315列方程求得d的值,AC!=. 2、QAi二QCi|二SQAiCi1 - .11 .22S_8S8 .222，所以SPMC1A1SQA1C12249942. 229-13，边 AGAG 上的高为2综上所述，本小题正确的命题有 . .第2121页共 2323 页112小进而求得bi,bn.利用基本元的思想化简，求得q的值 （2 2）先找到bn_0的a?a3a?分界点，先对正项部分求和，然后利用等差数列前n项和公式，求得负项的绝对值的和，由此

24、求得Sio的值. .【详解】(1)由已知，d d d =31 = 21，得b? = 7又bb2b3=b2-dd = 7-d 7 7 d =343-7d2=315得：d 2或 2 2 (舍)，D =7 2 =9,bn=-2n 111 1-2- -=-a2a3a2所以，2q2q -0, q - -1(舍)或1综上，q , d=-2, bn=11-2 n. .2（2 2）设 的前 n n 项和为Tn；令bnzo,，12no，于是S T=5（b1+b5）于是，S5T5252易知，n 6时，=-To-丁5 = -0- 25 =25所以，S So=50=50【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数

25、列前n项和公式，考查含有绝对值的数列求和的方法，属于中档题. .1818 伴随着科技的迅速发展，国民对“ 5G5G 一词越来越熟悉，“ 5G5G 全称是第五代移动电话行动通信标准，也称第五代移动通信技术。20172017 年 1212 月 1010 日，工信部正式对外公于是又订奁是公比为q的等比数列，故1 12aq-2a1bn0, b6|b7|bo = -tfe b7一一b1o第2222页共 2323 页布，已向中国电倌、中国移动、中国联通发放了5G5G 系统中低频率使用许可。20192019 年 2 2月 1818 日上海虹桥火车站正式启动5G5G 网络建设。为了了解某市市民对“5G5G的关

26、注情况，通过问卷调查等方式研究市民对该市300300 万人口进行统计分析， 数据分析结果显示：约60%60%的市民 掌握一定 5G5G 知识（即问卷调查分数在8080 分以上）”将这部分市民称为“ 5G5G爱好者”某机构在“5G5G 爱好者”中随机抽取了年龄在15-4515-45 岁之间的 100100 人按照年龄分布（如图所示），其分组区间为:（15,20，（20,25,（25,30，（30,35,（35,40，（2 2）估计全市居民中 3535 岁以上的“ 5G5G 爱好者”的人数；（3 3）若该市政府制定政策：按照年龄从小到大，选拔45%45%的“ 5G5G 爱好者”进行 5G5G 的专

27、业知识深度培养，将当选者称成按照上述政策及频率分布直方图，估计该市“ 5G5G 达人”的年龄上限. .【答案】（1 1）a =0.05（2 2）32.4（万人）（3 3）估计该市“5G5G 达人”的年龄上限为 2828 岁【解析】（1 1）根据频率之和为1列方程，解方程求得a的值. .（2 2）先求得全市 “5G5G 爱好 者”的人数，通过频率分布直方图频率分布直方图计算出3535 岁以上“5G5G 爱好者”的频率，用人数乘以频率得到所求. . （3 3） 前两组频率和为0.27， 前三组频率和为0.57,故年龄 上限在125,301，利用小长方形的面积和为0.45列方程，解方程求得这个年龄上

28、限 . .【详解】（1 1）依题意：（0.0140.04 0.06 a - 0.02 0.016） 5 =1所以，a =0.05根据题意全市“ 5GO5GO 子者” 300 60%二180（万人）由样本频率直方图分布可知，3535 岁以上“5G5G 爱好者”的频率为（0.02 0.016） 5 =0.18, ,第2323页共 2323 页据此可估计全市 3535 岁以上“5G5G 爱好者”的人数180 0.18 = 32.4（万人）样本频率分布直方图中前两组的频率之和为0.014 0.04 5二0.27：45%前 3 3 组频率之和为0.014 0.04 0.065二0.57 45%所以，年龄

29、在 25-3025-30 之间，不妨设年龄上限为m. .第2424页共 2323 页由0.27亠-250.06 = 0.45, ,得m =28. .所以，估计该市 “5G5G 达人”的年龄上限为 2828 岁. .【点睛】本小题主要考查频率分布直方图得知识，考查频率分布直方图某组高的计算，考查频率的计算，属于基础题 佃.如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD.四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD/BC,:ABD是边长为 1 1 的等边三角形，M M 为线段BD中点，BC =3. .求证：AF _ BD;(2)(2) 求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；BN(3

30、)(3) 线段BD上是否存在点 N N,使得直线CE/平面AFN?若存在，求 的值；若不BD存在，请说明理由. .【答案】(1 1)见解析(2 2)二 3 3 ( 3 3)线段 BDBD 上存在点 N,N,使得直线CE/平面 AFNAFN ,14且型=2，详见解析. .BD 3【解析】(1 1)根据面面垂直的性质定理证得AF_平面ABCD，由此证得AF _ BD. .(2 2)取AD中点O,EF中点K,连接OB,OK，证得OB,OD,OK两两垂直. .分别以OB,OD,OK为x, y, z轴建立空间直角坐标系，通过计算直线MF的方向向量和平面【详解】 (1)(1)证明：因为ADEF为正方形，所

31、以AF _ AD.CDE的法向量计算出线面角的正弦值 (3(3)通过向量共线设出N点坐标，求得AN, CD的坐标，根据AN/CD列方程，解方程求得BNBD的值，由此证得存在N点符合题意B第2525页共 2323 页又因为平面ADEF平面ABCD,第2626页共 2323 页且平面ADEF-平面ABCD二AD,所以AF_平面ABCD.所以AF _ BD取 ADAD 中点 O,EFO,EF 中点 K K，连接 OBOB , , 0K.0K.于是在ABDABD 中，OB _ 0D，在正方 ADEFADEF 中OK _ 0D，又平面ADEF_平面ABCD，故0B_平面AFEF，进而OB _ 0K, 即

32、OB, OD, 0K两两垂直.设直线MF与平面CDE所成角为二,sin二-|cos：MF , n1址n| 3| MF | n| 14要使直线CE/平面AFN，只需AN / /CD,3,0,EI0-,1|,M| 丁二,0 ,F.0,：,1J4，4丿3所以MF = -，一,1 ,CD =iI44丿3 5-2,2-,0 , DE =(0,0,1)设平面CDE的一个法向量为n = (x, y, z),CD n =0DE n =0运50 x y =0即22z = 0令x = -5，则y = 3，则n =(-5, ,3,0).-3T,yn,zn分别以OB,OD,OK为 x x 轴，y y 轴,z,z 轴第

33、2727页共 2323 页设BN=.BD, 0,1则lx.-第2828页共 2323 页331nyn,Zn- U) )2 2 2，所以AN二二3,12 2 22解得二0,13【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查利用空间向量法求线面角的正弦值，考查利用空间向量法求解存在性问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题2 22020 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆E :77= 1(a b 0)的上顶点为 A A，左、右a b焦点分别为F1,F2，直线AF2的斜率为-.3，点P,Q在椭圆 E E 上，其中 P P 是椭圆上3一动点,Q Q 点坐标为(-1,一). .2(1)(1)求椭圆 E

34、 E 的标准方程； 作直线 I I 与 x x 轴垂直，交椭圆于H , K两点(H ,K两点均不与 P P 点重合) ),直线PH,PK与 x x 轴分别交于点M , N. .求|OM | |ON |的最小值及取得最小值时点P P 的坐标. .2 2【答案】(1 1) y1(2 2)|OM | |ON |的最小值为4，此时点 P P 的坐标为(2,0) 43或(-2,0)【解析】(1 1)根据直线AF2的斜率求得a = 2c,b =、3c，将Q点坐标代入托运方程，解出c的值，进而求得a,b的值以及椭圆方程. .(2 2)设出P,H ,Q三个点的坐标，由直线PH的方程求得M点坐标以及OM，由直线

35、PK的方程求得N点坐标以及ON利用基本不等式求得OM + ON的最小值 根据基本不等式等号成立的条件以及绝对值的性质，求出P点的坐标 XnCD十空一5,0)，由AN/CD得2 2.3. 3-扎2 2-211 k+ 22-52所以线段 BDBD 上存在点 N,N,使得直线CE/平面 AFNAFN，且BN 2BD 3第2929页共 2323 页【详解】第3030页共 2323 页(1)(1)由直线AF2的斜率为一.3可知直线的倾斜角为120. .在Rt. QAF2中，AF?O = 60, ,于是a = 2c, b =3c, ,椭圆已百鸽“,将Q-1，!代入得-12 2所以，椭圆E的标准方程L _L

36、 =143设点P Xo,yo,H X1,y1,Q为，- .于是，直线PH : y-yyo一“x Xo，令y = 0, x0 X1所以|OM |=|yoX1一y1Xoyo y1yoy1yoX1yz直线PK : y - yox - Xo，令y = o, x =xo X1yo+ y1所以|ON冃込止yo + %|OM | |ON LZIOM|ON IyoX1 yo=2yx1-y/oyo y1yxr y/oyoy1=22 2yo/ ；pyxo22yo一y13x(3x又y；=3 -一, y12= 3-. .代入上式并化简24433Xoix2 d-3x214丿v4丿=4即|OM | |ON |4,第313

37、1页共 2323 页当|OMyx1 yNyx1+y1Xoy。 y1y。纱yoX1-ygyo *y1yoX1- xo= o根据题意：为=冷，若=o亦与题意不符,冃ON |(即) ) 时 取 得 最 小时，化简得(I )yoxy/oyoy1=0第 2o2o 页共 2323 页所以yo =0，此时X。= 2或_2根据题意：3Xi= X。，若3xox o,xox - -4，而2剟x。2, 2：为：2综上，x。=2或_2,点P的坐标为(2,。)或(-2,0)【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线斜率的概念，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及利用基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属

38、于难题 a2121 .已知函数f (x) In x. .x(1)(1)讨论 f f (X)(X)的单调性；i . . e-23 In( x i)令g(x)二f(x，当a=2,x i时，证明：g(x). .ei + l n(x + i)【答案】(i i)详见解析(2 2)详见解析【解析】(i i)先求得函数的定义域，然后对函数求导，对a分成am o, a：。两种情况,讨论函数的单调区间 ( 2 2 )用分析法，将所要证明的不等式转化为而证得题目所给不等式成立【详解】 (i)(i) f f (x)(x)的定义域(。，：)，f (x)二当a-o时，f (x) o，则 f f (x)(x)在(o,当a

39、 a：o时，令f (x) O可得。：x：-a;yxi yiXoy。一yoXiyiXoy。yi时，化将yo=32 2，yi代入并化简得:所以XoXi -4不成立，即yoXi-yix。yo yiyoXiyiXoy。yi不成立i -x -(x i)ln(x i) e，2i+l n(x+i)，利用构造函数的方法结合导数，证得i - X X i In X i :2 e2，以及o,，由此证得成立，进x + i i+l n(x+i):) )上单调递减;2 2yoxi= yix。=0第 2o2o 页共 2323 页令f (x)：o可得x兮-a；第3434页共 2323 页则 f(x)f(x)在(0, -a)上单调递增，在(-a, ：)上单调递减。r,/、e+3 + 1 n(x+1)*、刚、当a=2时，要证明g(x)成立，即证:1+1 n(x +1)1 -x -(x 1)1 n(x 1) e22-x 111 n(x 1)令(x) =1 _x _(x 1)1n(x 1),(x) - _2 _1 n(x n 1), ,令(x)0,0：x：e -1, (x) 0, x -e -1所以，(x)在0,e -1单调递增；在e-1j：递减. .1(1又由已知x -1(工-1,可知(x)在1上为减函数e