三角函数的周期性教案完美版

1、三角函数的周期性教案刘刚(新沂市第一中学)(1)知识与技能了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性；会求一些简单函数的周期.(2)过程与方法通过经历周期函数定义的生成过程及最小正周期的推导，培养学生观察、归纳、推理、论证的逻辑思维能力；通过周期函数的应用，提高学生的分析问题与解决问题的能力(3)情感、态度与价值观通过对周期函数的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；通过合作学习的方式，培养学生团结协作的精神及学习数学的兴趣难点重点：周期函数的定义及正弦、余弦、正切函数的周期性难点：周期函数的概念及最小正周期的意义问题教学法、合作教学法、多媒体课件一.问题情境：我们生活中

2、有很多周而复始的现象：如“日出日落”，“月亮的阴晴圆缺”，“潮汐”现象等，数学中也有很多这样的例子，如：情境1:今天是星期二，7天后呢？14天后呢？情境2:观察摩天轮的转动情境3:观察一个函数图象2 .学生活动：问题1:上面的几个例子有什么共同特征呢？通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2时，所得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性.不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和很多的非三角函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：三角函数的周期性.问题2:如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？3 .建构数学一般地，对于函数f(x),如

3、果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(xT)f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.注意以下几点：“T是非零常数”；“每一个x值”，而不是“某一个x值”练习：判断下列说法是否正确，并简述理由：22(1) x一时，sin(x)sinx,则一一止不是ysinx的周期；3337.22(2) x时，sin(x)sinx,则一一止是ysinx的周期.633周期是可以推进的问题：一个周期函数的周期有多少个？若T是yf(x)的周期，那么2T也是yf(x)的周期.这是因为f(2Tx)fT(Tx)f(Tx)f(x)因此：若T是yf(x)的周期，kZ且k0,则

4、kT也是f(x)的周期.即2是函数ysinx和ycosx的周期，那么2k(kZ且k0)也是ysinx和ycosx的周期.对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.问题：函数ysinx的最小正周期是多少？函数ycosx的最小正周期是多少？注：今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.四.数学应用例1.若钟摆的高度h(mm万时间t(s)之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期；(2)求t=10s时钟摆的高度例2.求下列函数的周期(1) f(x)3sinx(2) f(x)sin2x1(3) f(x)2sin(-x)24变式练习：求下

5、列函数的周期：(1) f(x)cos(2x-)31(2) f(x)3sin(-x)总结一般规律：1 .求下列函数的周期：1(1) f(x)sin(2x)(2)f(x)cos(x)523222 .若函数f(x)sin(kx)的最小正周期为二,求k的值.53问题：正切函数f(x)tanx是周期函数吗？思考题：1 .下列函数是周期函数吗？如果是，能找出它的最小正周期吗？(Df(x)5/、1x是有理数2 f(x)“0娓无理数2 .f(x)sinx(x0,4)是周期函数吗？3 .已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？五.回顾小结1 .

6、周期函数的定义2 .最小正周期的定义3 .三角函数的最小正周期的求法课外思考：f(x)是周期为1的周期函数，若f(1)1,则f(2009)f(x)是定义在R上且周期为3的奇函数，若f(1)2,分别求出f(7)、f(8)、f(9)的值.1 .第26页练习第4题2 .第44页习题第1题教学设计说明1. 本节课的教学指导思想观察、归纳和推理是发现知识、获得知识的基本思维形式，拉普拉期曾说过：“发现真理的主要工具也是归纳和类比”.归纳思维在形成创新意识中具有重要的地位，归纳思维往往获得的是开拓性的创造(再创造).三角函数的周期性是三角函数中的一个重要问题，在教学过程中，通过问题设疑、多媒体动态演示等教

7、学措施，创设问题情境,引导学生从特殊的、个别的属性，通过联想、类比，归纳出具有普遍性的一般的整体性质.体现了学生充分感受和理解知识的产生和发展过程，促使学生积极思维、主动探索、勇于发现、敢于创新.通过从特殊到一般的思维训练，让学生主动地获取新知识，并在获得新知识的过程中，形成良好的思维品质，发展学生的思维能力.2. 关于教学过程的设计1 .美国心理学家布鲁纳指出：“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动.”思维永远是从问题开始的，因此，本节课采用了逐步设疑、诱导、解疑，指导学生去发现的方法，使学生始终处于兴奋的状态之中.2 .函数周期性概念的教学是本节课的重点.概念教学是中学数学教学

8、的一项重要内容，由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻.因止匕，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过引导，使学生对概念的理解逐步深入.3 .通过基础训练题和思考的练习，掌握解决周期问题的方法，形成技能，提高学生分析问题和解决问题的能力.1.3三角函数的诱导公式（名师：杨峻峰）一、教学目标（一）核心素养.（二）学习目标1 .牢固掌握五组诱导公式.2 .理解和掌握公式的内涵及结构特征，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及包等证明.3 .通过诱导公式的推导，培养学生的观察能力、分析归纳能力.4 .渗透把未知转化为已知以及分类讨

9、论的数学思想.（三）学习重点熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明.（四）学习难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识，诱导公式的推导、记忆及符号判断.二、教学设计（一）课前设计1.阅读教材第23页至第27页，填空：（1）如图，的终边与角的终边关于原点对称;（2）如图，的终边与角的终边关于x轴对称:（3）如图，的终边与角的终边关于y轴对称;（4）如图，一的终边与角的终边关千直线y=x对称；2(4)（5）诱导公式：公式二：sinsin,coscos,tantan公式三：sinsin,coscos,tantan；公式四：sinsin,coscos,tantan公式五：sin一

10、2cos,cos2sin；公式/、：sin2cos,cos2sin2,预习自测1.下列选项错误的是（）A.利用诱导公式二可以把第三象限的三角函数化为第一象限的三角函数B.利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.C.sincos.2D.若为第四象限角，则sincos.答案：C.（二）课堂设计1 .知识回顾(1)任意角的正弦、余弦、正切是怎样定义的?在角的终边上任取一点Px,y,贝Usiny,cos_x,tan2222XyXy当P为角的终边和单位圆的交点时，有sin=ycosa=xtan.x(2)诱导公式一:sink2sin;cosk2costank2tan,kZ(3)终边相同的角的

11、同名三角函数值相等，即公式一.利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2)内的角的三角函数值.对于任何一个0,2内的角,以下四种情况有且只有一种成立:(其中为锐角)活动结合图象，探究角结合图象思考:所以，我们研究，2与的同名三角函数即可2 .问题探究探究一角与角之间的关系与角终边之间的关系锐角的终边与角的终边位置关系如何?它们与单位圆的交点的位置关系如何?任意角与呢？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论:无论为锐角还是任意角，的终边都是的终边的反向延长线;角的终边与单位圆的交点关于原点对称.活动结合定义，辨析角与角三角函数之间的关系设任意角的终

12、边与单位圆的交点坐标为Pix,y,由对称可知，角的终边与单位圆的交点坐标为F2x,y.由三角函数的定义得:siny,cosx,tancosx,tan之间的关系、与角终边之间的关系siny,从而，我们得到诱导公式二:sinsin,coscos,tantan.探究二角、与角活动结合图象，探究角结合图象思考:任意角、的终边与角的终边位置关系如何?它们与单位圆的交点的位置关系如何？引导学生充分利用单位圆，并和学生一起讨论：任意角的终边与任意角的终边关于x轴对称，与单位圆的交点也关于x轴对称；任意角角的终边与角的终边关于y轴对称，与单位圆的交点也关于y轴对称. 活动类比探究一，辨析角、与角三角函数之间的

13、关系引导学生类比探究一的方法，得到：公式三：sinsin,coscos,tantan.公式四：sinsin,coscos,tantan.探究三理解公式的内涵及结构特征 舌动互动交流、初步实践引导学生观察分析公式三的特点，得出公式四的用途：可将求角的三角函数值转化为求角的三角函数值.四：k2kZ,、的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步简记为：函数名不变，符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的是任意角. 舌动巩固基础，理解升华例1利用公式求下列三角函数值.11(1)cos225;(2)sin；3一、16，、一(3)sin;(4)cos2040.3【知识点

14、】公式一四.【数学思想】化归思想【解题过程】解：(1)cos225cos180+45cos45(2)sinsin4一33sin一316.163.(3) sinsinsin5-sin333321(4) cos2040cos2040cos120cos18060cos602【思路点拨】利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.【答案】(1)理；正；(3)立；(4)sin18070cos7207012sin70cos70sin70cos70cos70sin70cos70sin70.2222通过例1运用讲解，引导学生归纳，任意角的三角函数转化为锐角三角函数的一般步骤：变式训练化简.1+2sin2

15、90cos430sin250cos790【知识点】公式一四.【数学思想】【解题过程】解.1+2sin290cos430sin250cos7901+2sin36070cos36070【思路点拨】利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角三角函数.【答案】1探究四角一与角之间的关系2活动探究角一与角之间的关系2设任意角的终边与单位圆的交点坐标为Pix,y.由于角-的终边与角的终边2关于直线y=x对称，角-的终边与单位圆的交点B与点Pi关于直线y=x对称，因此点P2y,x,从而有:cosx,siny;cosy,sinx.所以得到公式五：sincos,2cos-sin.2活动探究角与角之间的关系2我们可

16、以类比探究-与角三角函数之间的关系，进行角-与角之间22关系的探究.另一方面，由于-，是否可以结合公式四及公式五推22导出角-与角三角函数之间关系呢？请学生进行推导.2可以得到公式六：cossin一cossin我们可以用下面一段话来概括公式五、六：正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.进一步可以简记为：函数名改变，符号看象限.活动探究角与角2例2证明：（1）sin2（2）cos3-【知识点】诱导公式四、五.【数学思想】【解题过程】证明：（1）sinsin23（2）cos-cos【思路点拨】将3-变形为2【答案】（1）cos；（2）之间的关系s

17、in一sincos；22一cossin22i利用公式四、五进行转化后，能否进一步归纳概括诱导公式.诱导公式一四，函数名称不改变，这些公式左边的角分别是2kkZ,（可看作0）.其中2k,0是横坐标轴上的角，因此，上述公式可归结为横坐标轴上的角边的角分别是-2结为纵坐标上的角,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例2,这些公式左,3-，其中;，是纵坐标轴上的角，因此这些公式可归,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的，故而所有的诱导公式可用十个字来概括：纵变横不变，符号看象限.舌动灵活应用,融会贯通例3化简sin2cosacos11cos22cosasin3sinsin9_2【知识点】诱

18、导公式一六.【数学思想】【解题过程】sin2cos解：cosacos一2asin3sin11cos2.9sin2sincossincos5cossinsinsin42sincoscos一2cossinsinsin一2sin一tancos【思路点拨】合理利用诱导公式，抓住负化正，大化小，化到锐角终了”的原则.变式训练已矢口cos一6求sin-3的值.【知识点】诱导公式六.【数学思想】【解题过程】.2sin3=sin一2=cos一6当两个角的和或差是-的整数倍时，它们的三角函数值可通过诱导公2式联系起来.3.课堂总结有关角的终边对称性1) 的终边与角的终边关于原点对称；2) 的终边与角的终边关于y

19、轴对称；3) 的终边与角的终边关于x轴对称；4)-的终边与角的终边关于直线y=x对称.利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.其化简方向仍为：负化正，大化小，化到锐角终了纵变横不变，符号看象限.(三)课后作业基础型自王突破1. sin210()B.C.32D.【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】sin210sin(18030)sin30【思路点拨】根据诱导公式求值.2. cos(240)A.C.、3D.【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】cos(240)cos240cos(18060)cos60【思路点拨】根据诱导公式求值.【答案】D.

20、3. cos6C:3C2D.【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】coscos()66.3cos62【思路点拨】根据诱导公式求值.【答案】C.114. tan(-)A.豆2B.1C.D.【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.11【斛题过程】tan()tan(4【思路点拨】根据诱导公式求值.5tan4tan(tan4，一3一5. 右sin(万)一，则sin(万【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】因为sin(-)cos3.所以sin5cos【思路点拨】根据诱导公式求值.6.已知角终边上的一点P(1,2),则sin(450【知识点】任意角的三角函数定义、诱导公式

21、.【数学思想】化归思想.【解题过程】sin(450)sin(90)【思路点拨】根据诱导公式求值.【答案】叵.5能力型师生共研7.已知cos(万),则sin(13【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】5方法一：由cos()sin一，得sin213方法二：sin()sin()cos(【思路点拨】根据诱导公式求值.5一,所以sin()sin13、5.)一,135一;13【答案】-13一，28.已知cos()一，则sin33【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】sin(-)sin(23、2)cos(T)-；33【思路点拨】观察一3与一

22、关系，根据诱导公式求值.6探究型多维突破9.现有下列三角函数:4sin(n)n3N;sin(2n)nN;sin(2n1)nsin(2n1)一3nN.其中函数值与sin的值相同的序号是3【知识点】诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】_4sin(n)33T.32,n为偶数；sin(2n,n为奇数sin(2n1),51一sin一；sin(2n6622sin3【思路点拨】奇变偶不变，符号看象限.【答案】.10.已知角是第三象限角，且f(a)sin()cos(2)tan()tan()sin()化简f();(2)若sin()1，一1,求f()的值;517(3)若7，求f()的求；【知识点】同角三角函数关系、诱导公式.【数学思想】化归思想.【解题过程】(1)f()sincostantansin(2)因为sin(sin1，一,所以sin51一，_一，因为角是第三象限角,5所以f()cos21sin(3)f()coscos("65cos6【思