人教版九年级上圆中常见最值问题解法探索

1、圆中常见最值问题解法探索最值问题成为中考的典型考题，也是各章创新考题之一.下面就把圆中常见的最值问题归纳一下，供学习时借鉴.一、直径最大弦型最大值模型1 .最值的源体是圆的弦例1（2019年东营）如图1,AC是。0的弦，AC=5点B是。上的一个动点，且/ABC=45,若点MN分别是AGBC的中点，则MN的最大值是.解析：因为点M,N分别是BCAC的中点，所以MNAB,所以当弦AB取得最大值时，MN2就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB是直径时，AB最大，如图1,连接A0并延长交。0于点B',连接CB',因为AB'是。的直径，所以/ACB=90°.

2、因为/ABC=45,AC=5所以/AB'C=45°,所以AB'=<'5252=5J2,所以MN的最大52值为MN最大=512.所以应该填点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键2 .动点到定弦的最大值例2（2019?广元）如图2,ABC是。的内接三角形，且AB是。0的直径，点P为。上的动点，且/BPC=60,O0的半径为6,则点P到AC距离的最大值是解析：如图2,过0作0MLAC于M延长MOO0于P,则此时，点P到AC的距离最大,且点P至ijAC距离的最大值=PM因为OM_AC,ZA=ZBPC=60,。的半径为6,.3.3所以OP=

3、OA=6所以OM1OA=X6=343,所以PM=OP+OM=6+33,所以点P到AC22距离的最大值是6+3"3,所以答案为6+3J3.点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值.跟踪专练(2019年杭州)如图3,已知锐角三角形ABC内接于。O,OtXBC于点D,连接OA(1)若/BAC=60,求证：ODOA当OA=1时，求ABC面积的最大值。2(2)点E在线段OA±,OE=OD连接DE,设/ABC=rOED/ACB=rOED(m,n是正数)。若/AB(k/ACB

4、求证：m-n+2=0。S3参考答案：解析：(1)证明：如图3,连接OBOC因为OB=OCODLBC,所以/B0D=/CODhBAC=60,所以/OBD=0°,所以OD=1OB=10A22当点A,OD在同一直线上时，三角形ABC的面积最大。因为OA=1,由知，BC=2BD=/3,最大高为1+1=3,所以ABC的最大面积为：lx9xJ3=35。22224(2)因为OE=OD所以/OEDWODE=x因为/ABC=rOED=mxZACB=n/OED=nx所以/AOC=2mx/AOB=2nxZDOC=18°-mx-nx,因为/OED廿ODE廿EOD=180,所以x+x+2mx+180

5、°-mx-nx=180°,整理，得m-n+2=0。二、垂线段最短型最值模型(1)圆、弦上动点线段的最大值例3（2019?嘉兴）如图4,在。O中，弦AB=1,点C在AB上移动，连结OG过点C作CD，OC交。O于点D,则CD的最大值为.图4解析：如图4,连接OD在直角三角形OC邛，CD2OD2OC2,因为圆的半径是定值，要想使得CD长最大，只需满足OC的长度最小，因为AB是圆的弦，所以O到弦AB的最短距离是弦AB的弦心距，所以当OCLAB时，OC最短，此时点D恰好与点B重合，所以_2222AB211CD2OD2OC2一，所以CD的最大彳1为一.442点评：此类最值的特点有五：一

6、是有圆的定弦；二是动点之一必须在定弦上；三是能构造出直角三角形；四是等式有特点：动线段的平方和时定值即动线段2半径2-动线段2；五是运用点到直线的距离中以垂线段为最短，构造最长值（2）切线长的最小值例4（2019年眉山）如图5,在RtAOB中，OA=OB=42,00的半径为2,点P是AB边上的动点，过点P作。0的一条切线PQ点Q为切点），则线段PQ长的最小值为.解析：连接OQPQ是。0的切线，.OQLPQ根据勾股定理知PQ2PO2OQ2,。优定值，.PO最短时，PQ最短即当PQLAB时，线段PQ最短，.在RtAOB中，OA=OB=4/2,.AB=72oA=8.-.OP=AOgOB=4,PQ=2

7、>/3.AB点评：把握切线的性质，把握运动变化中定值，熟练用勾股定理表示切线长的长度，准确构造过切点的辅助线，注清楚当POLAB时，线段PQ最短是解题的关键.三、两点间线段最短型最值模型（1）直角三角形斜边的最大值例5（2019年湖北鄂州）如图6,在平面直角坐标系中，已知C（3,4）,以点C为圆心的圆与y轴相切.点A、B在x轴上，且OA=OB点P为。C上的动点，/APB=90,则AB长度的最大值为解析：如图6,连接OC,OP,PC当点O,P,C三点不共线时，则OC+PCOP当点O,P,C三点共线时，OC+PC=O1P综上所述OFKOC+PC且当点O,P,C三点共线时，PO取得最大值，所以

8、连接OC并延长，交。C上一点巳以O为圆心，以OP为半径作。Q交x轴于A、B,此时AB的长度最大，过点C作CD!x轴，垂足为D,因为C(3,4),所以OC=5因为以点C为圆心的圆与y轴相切，所以。C的半径为3,所以OP=OC+PC=5+3=8因为/APB=90,AO=OB所以PO是直角三角形PAB斜边上的中线，所以AB长度的最大值为16,所以应该填16.点评：准确构造含有动点，且有一条定线段的动态三角形是解题的关键，利用动态三角形的存在性和三点一线型，综合确定线段的最值是解题的核心，这种确定最值的思想非常重要，应用也非常广泛，务必熟练驾驭，做到准确找动态三角形，准确定共线线段，确实把最值准确定出

9、.(2)动态三角形中位线长的最大值1 2例6(2019年乐山)如图7,抛物线yx4与x轴交于A,B两点，P是以点C(0,3)为4圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQB最大值是()41-7(A)3(B)上(C)7(D)42 2解析：如图7,连接BC,PC,PB,当点B,P,C三点不共线时，则BC+P6PEJ;当点B,P,C三点共线时，且点P与点B位于圆心点C的两侧，此时BC+PC=PB综上所述PB<BC+PC所以当点B,P,C三点共线时，PB取得最大值，所以连接BC并延长，交。C上一点P,此时PB1 2的值取大.因为抛物线y-x4与x轴交于A,B两点，所以点A

10、(-4,0)，点B(4,0),所以4OA=OB=4因为点C(0,3)，所以OC=3,PC=2,BC=5,所以PB的最大值为：PB=PC+CB=2+5=70为点O是AB的中点，点Q是PA的中点，所以OQ是三角形PAB的中位线，所以OQ=1PB,2OQW最大值为7,所以选C.2点评：构造动态三角形时，以PB为核心是解题的关键，确定了PB的最大值，问题就顺利得解.解答时，要注意，当动点位于两定点之间时，线段取最小值；当动点位于两定点之外时，线段取得最大值.一定要熟记！感兴趣的读者，不妨计算一下OQ的最小值.(3)动态线段的最小值例7如图8,AB为半圆O的直径，点C在半圆0上,AB=8,/CAB=60

11、,P是弧BC上的一个点，连接AP,过点C作CELAP于点D,连接BD,在点P移动过程中，BD长的最小值为解析：如图8,连接BG则AC=4,取AC的中点E,连接DE,BE,根据两点间线段最短原则，得DE+BABE,所以当B,D,E三点一线时，BD有最小值，且最小值为BE-DE,而DE=2,过点E作EMLAB于点M,则AM=1,EM=/3,所以BE=，EM2_BM2J349=2后,所以BD=2jl3-2.点评：取AC得中点，利用直角三角形的性质，构造动态三角形BD弱解题白关键.计算时,把握两个技能，一是求斜边上的中线长；二是构造直角三角形求定线段的长.一定熟练掌握这种构造三角形的基本方法.四、将军

12、饮马型最值模型例8（2019广西）如图9,AB为。的直径，BCCD是。的切线，切点分别为点B、D,点E为线段OB上的一个动点，连接ODCEDE已知AB=2j5,BC=2当CE+DE勺值最小时,CE则的值为（）DE解析作点D关于直径AB的对称点F,连接CF交AB于点E,连接ED,此时CE+DEm直最小,根据题意，得OBK'g,BC=2,所以OC=3连接BD,交OC于点G所以DG=CDgOD5OC3所以BD=45,根据题意，得OD2OH2BD2BH2,设OH=x所以,35x2（逑）2（右x）2,解得x=痣，所以DH=HF=20,易证EB8EHF399CECEBC29所以EFDEHF20=一

13、,所以选A.310五、阿式圆型最值模型例9(2019年日照)如图10,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A,C两点，抛物线y=x2+bx+c经过AC两点，与x轴的另一交点为B.(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MAMBBC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC®积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC勺面积；(3)如图11,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PGPA,当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.解析：(1)直线y=-5x+5,x=0时，y=5,1-C(0,5),y=-5x

14、+5=0时，解得：xfl+b+c=O0+0+c=5=1,，A(1,0),二,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,y=x2-6x+5解得：I"45,.抛物线解析式为1c二5当y=x?6x+5=0时，解得：Xi=1,x2=5,1-B(5,0)(2)如图10,过点M作MHLx轴于点HI,/A(1,0),B(5,0),C(0,5)AB=5-1=4,OC=5,.Saabc=AB?OC=X4X5=10,二.点M为x轴下方抛物线上22的点，设M(nm26m+5(1<mK5),.MH=|m26m+5|=mf+6m5.S»B产二AB?MHk二X4(m+6m5)=-2mi+12m-10=-2(m3)2+82222一S四边形ambc=Saabc+Saabm=10+2(m3)+8=2(m3)+18