圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 （占，力），（，为），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也 要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。X2 y2如：（1） _丁 + -与直线相交于A、B,设弦AB中点为M（xy）则有cr lr + 女=0。/ h222（2） ； = 1（。 0/ 0）与直线I相父于A、B,设弦AB中点为M（xo, yo）则 cr /厂有与-3k=。cr lr（3 ）y2=2px（p 0 ）与直线1相交于A、B设弦AB中点为M （x0,y0），则有2yk=2p,即 yok

2、=p.2典型例题给定双曲线- - + = 1 过A（ 2,1）的直线与双曲线交于两点R 及P2,2求线段巴8的中点P的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点石、入构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥。22典型例题 设P（x, y）为椭圆二+二=1上任一点，片（一。,0）,八（0。）为焦 a b-点,小用=（吩=求证离心率e = smy . sin a + sin f3（2）求IP尸+尸5|3的最值。直线与圆锥曲线位置关系问直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想，通过

3、图形的直观性 帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程丫2 = P（x + 1）（p0）,直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A、B,且OAJ_OB,求P关于t的函数f（t）的表达式。圆锥曲线的相关最值（范围）问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题,常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函 数，三角函数,均值不等式）求最值。（1），可以设法得到关于a的不

4、等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等 式二或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要 把4N AB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想:最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题， 关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px（p0）,过M （a, 0 ）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、 B,I

5、AB|W 2P（1）求a的取值范围：（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求4NAB面积的最大值,(5)求曲线的方程问题1 .曲线的形状已知一这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题己知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-l, 0 )和点B( 0 ,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。2 .曲线的形状未知-一一求轨迹方程典型例题已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=l,动 点M到圆C的切线长与|MQ |的比等于常数4(/1 0), 求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。(6)存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称

6、问题，可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决)22典型例题已知椭圆c的方程二十二=1,试确定m的取值范围，使得对于直线V = 4x + m,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用勺鼠=2二次=-1来处理或用向量的坐标 一七,运算来处理。典型例题已知直线/的斜率为k，且过点P（2,0），抛物线C.y1 = 4（x + 1）,直线/与抛物线C有两个不同的交点（如图）。求k的取值范围：（2）直线/的倾斜角6为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的

7、技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利 用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。 下而举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时,除了运用代数 方程外，充分挖掘几何条件，并结合平而几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线3x + 4y + m = 0与圆Y + y2 + x 2y = 0相交于p、Q两点,0为坐标原点，若O2LO。，求?的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在

8、有关斜率、中 点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y = x + l相交于P、Q两点,且OP_LO0,IPQI=业二求此椭圆方程。2充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两己知圆&： x2 +y2 -4x + 2y = 0C2： x2 +y2 -2y-4 = 0 的交点，且圆心在直线/：2x + 4y l = 0上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题. 这也是我们常说的三角代换法。22典型例题P为椭圆二十二=1上一动点，A为长轴的

9、右端点，B为短轴的上端点，求四a h边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法充分利用现成结果,减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦A B长的方法是:把直线方程），=履+ 代入圆锥 曲线方程中，得到型如ad+以+。= 0的方程，方程的两根设为x八，Xb，判别式为4, 则IABI= J1 + M - lxA -xfil= J1 + 12 .二二若直接用结论，能减少配方、开方等运算过1 a I程。例 求直线x-y + = O被椭圆x2 + 4），2 = 16所截得的线段A B的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都

10、涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线 的定义，可回避复杂运算。2 2例 耳、乃是椭圆全+ 3- = 1的两个焦点，人8是经过6的弦，若以8=8,求值I AAI + I 凡81 .4利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A（3, 2）为定点，点F是抛物线），2 =4x的焦点，点P在抛物线/ =4大上移动，若IPAI+IPFI取得最小值，求点P的坐标,锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一式。(2)与直线相关的重要内容倾斜角与斜率=tan a,a e 0,乃)点到直线的距离d=笔+ 8为+。夹角公式：y

11、/A2 + B2kk.tan a = |1+城(3)弦长公式直线)，=依+上两点4(0y),8(在)间的距离：AB = y/ + k2 |x, -x2|= +心(石+了)2 -铀电 或|从回=J1 + 51X -乃|(4)两条直线的位置关系乙=攵色=-1 /J?=勺=2且40打2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)27标准方程： + = 1(/? 0, n 。且 W n) in n距 离式方程:J(x + c)2 +y2 + J(xc)2 +) = 2a参数方程：x = acos 0,y = bsin0(2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：+ = l(/n m十

12、 1,十 120 1620 16两式作差有（X +工）3 ）+（ o +）=0包+旦=0（1）201654F(2,0)为三角形重心，所以由土 = 2,得x=3,由工+/一=0得 凡=2,代入(1)得攵=：直线BC的方程为6x 5y 28 = 042 )由 AB _L A C得 为士 + 以为 一 14(x +为)+ 16 = 0 (2)设直线 BC 方程为 y = kt + b,代入4/+5y* =80,得5/r-80- 4 + 5 公(4 + 5k2)x2 +0hkx+5b2 -80 = 0 bkb匹+/ =；-尸/也 4 + 5K8k兑 + 乃= /32 =4 + 5K加-80 A 24

13、+ 51代入式得解得4y H直线过定点(0 , -与，设D ( X , y),则9x x9y2+9x2-32y-16=0 所以所求点D的轨迹方程是/+（y-9）2 =（寿）“yw4）。4、设而不求法 例2、如图，已知梯形A BCD中河| = 2|8|,点E分有向线段近7所 成的比为双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当泊1时, 求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念 和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建 立直角坐标系g,如图，若设代入一 = 1,求得/，2 ；cr h进而求得.，再代入二-二=1,建立目标函数/(a,Ac

14、4) = 0, a b-整理/(e,=0,此运算量可见是难上加难.我们对人可采取设而不求 的解题策略，建立目标函数/(a/c=0 ,整理/%) = 0,化繁为简.解法一:如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立 直角坐标系反”,则CD_Ly轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为 焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A(-c,0)同跖儿),其中。=：11为双曲线的半焦距,才是梯形的高，由定比分点坐标公式得,_-c+22_U-2k ,劝A，= 1 + A = 2(2 + 1) =T+I设双曲线的方程为- = 1,则离心率e = aa由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标

15、和e = 代入双曲线方 a程得4=1,4 irW=14 U + l； U + lJ/r由式得7T = -1 ,b 4将式代入式，整理得2-（4-42）=1 + 22,故4 =e- + 1由题设泊4得，卧3 - 4-23 +2解得V7e/10所以双曲线的离心率的取值范围为,闻分析：考虑|A4,|AC|为焦半径，可用焦半径公式，卜|,|47|用C的横坐 标表示，回避。的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一,AE = (a+exE),AC = a+exc,与蛤,又11-犒=，代入整理一3e2 +1解得- -/+2 - 4y/ley/U）所以双曲线的离心率的取值范围为初,加5、判别式法例

16、3已知双曲线匚-二=1 ,直线/过点A(VIo),斜率为k,当 220攵1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线/的距离为右，试 求女的值及此时点B的坐标。分析1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此, 数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个 微观入手，对照草图，不难想到:过点B作与/平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 = ().由此出 发，可设计如下解题思路：/: y = k(x-j2)(0女1)直线在/的上方且到直线/的距离为V2解得k的值解题过程略.分析2 :如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表 达,即

17、所谓“有且仅有一点B到直线/的距离为右”，相当于化归的方 程有唯一解.据此设计出如下解题思路：简解:设点(乂齿7)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线/的距离为:履-2 +戈2 -、网於+ i(0女1)(*)于是,问题即可转化为如上关于入的方程.由于0 v k IX 心,从而有kx，2 +-41k | = -kx+，2 + - + 42k.于是关于x的方程(*) _ kx+42 + C + 弋 2k = 2(尸 +1)O (j2 + /=(72(2+1)-岳 + kx)叔r +1)-亚k+kx0O k _ 1 卜 2 + 24(72a2+1) - 瓜 b + (/2(6+1)-j _ 2 =

18、0.卜2(公+1)-岳+公0.由0 vk 0恒成立,于是(*)等价于(k2 -1* + 2k2(+1)-同卜 + 口2(心 +1)-y/-2 = 0.由如上关于工的方程有唯一解，得其判别式 =(),就可解得,2Mk =.5点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换,充分体现了全 局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C：/+2y2 =8和点P (4,1),过P作直线交椭圆于4 p AnA、B两点,在线段AB上取点、,使言=-冶，求动点Q的轨迹所在 rD JD曲线的方程.分析:这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰泮生往往不 知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此, 首

19、先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达， 最后通过消参可达到解题的目的.由于点03,），）的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线 AB的斜率女作为参数，如何将苍,，与攵联系起来？ 一方面利用点Q在AD An直线AB上；另一方面就是运用题目条件：声=-治来转化.由A、B、P、Q四点共线,不难得到L 4（* +必）- 2.%轴，要建立X与k的关系，只 8 一区+打）需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何 解决本题，已经做到心中有数.在得到x = /(&)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，

20、目的不过是得到关于X,的方程(不含A),则可由y =攵(a-4) + 1解得k = ，直接代入x = f(k)即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过 x-4程。简解:设),8(与，y,),。(乂)，)，则由丝=-也可得：口 = 上土PB QB 与 一 4 x2 - x解之得心FIF设直线AB的方程为：y = k(x-4) + 1,代入椭圆C的方程，消去y得 出关于x的一元二次方程:(2女2 +1 卜2 +我(1-4攵+ 2(1 - 4&)2 -8 = 0(2 )4Jt(4I)-x + xi = f、 2& +12(1-4)2-8M = 2公+1 .代 入 (1), 化 简 得：x = 3.k +

21、 2(3)与 y = k(x- 4) + 1 朕立，消去左 彳导：(2a- +-4) = 0.在(2)中，由 = -64代+64攵+ 240,解得2-顺2+、历结合(3)44可求得 16-29 .16 + 2、历99故知点Q的轨迹方程为：2x+y-4 = 0( 16-2丽 j 0,解得 k1 |,所以-1|,从而有所以44 + + 2工学,解得A 5-25.结合。40），则”1又AF - FB = （。+ c）（。- c） = 1 =。2 c2 /. a2 =2故椭圆方程为+ + )3 = 1(H )假设存在直线/交椭圆于P,Q两点，且尸恰为APQW的垂心, 则设尸(英,弘),0。2，为)，A

22、/(O,1),F(1,O) , ikPQ = 1,y = x + in；、彳导,3x2 + 4 mx + 2加2 2 = 0r+ 2厂=2.丽.无=0 =玉( D + %(y -1) 又 K =七 + m(i = 1,2)得玉(x2 -1) + (x2 + ?)(玉 + m 1) = 0 即2xrq + (% + x2)(w-l) + m1 m = 0由韦达定理得r 2m2-2 4？ /1、) n2(m-1) + m- 一团=03344解得加=,或? = 1 (舍)经检脸7 =，符合条件.点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向 量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原

23、点，焦点在坐标轴上，且经过 (q42,0)、8(2,0)、C 1, 一三点、.I 27(I)求椭圆上的方程：(U)若点。为椭圆石上不同于A、8的任意一点，F(-l,0),H(l,0), 当。尸内切圆的面积最大时，求)用/内心的坐标；思维流程：设方程为心+，旷=1得到的方程由椭圆经过A、B、C三点(I)解出7,(H)由A3匹内切圆而积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大。为椭圆短轴端点AD/77而枳最大值为追SADFH =；乂周长X%切园得出。点坐标为解题过程：(I )设椭圆方程为储+犷=1 (m 0, 0),将4(-2,0)、8(2,0)、C(l,3代入椭圆石的方程，得4? = 1,2?29

24、 解得? = -, = 一. 椭圆上的方程二+1=1 .m + -n = 43434(U ) I FH 1= 2,设ADFH 边上的高为 SWF = L X 2x h = h2当点。在椭圆的上顶点时，/?最大为6,所以SgM的最大值为设。尸的内切圆的半径为/?,因为)/的周长为定值6.所以，SDFH =3口乂6 乙所以R的最大值为4 .所以内切圆圆心的坐标为(0.4)点石成金:S、的内切网| 二 ； X 的周长X Q的内加|例8、已知定点C(-1Q)及椭圆/+3卡=5,过点。的动直线与椭圆相交于A 8两点.(I)若线段A3中点的横坐标是-；，求直线A8的方程；(n)在x轴上是否存在点助使加 利

25、为常数？若存在，求出点 m的坐标;若不存在,请说明理由.思维流程：(I)解:依题意,直线A8的斜率存在,设直线AB的方程为产女。+1), 将y = A(x + l)代入x?+3y2=5,消去y 整理得(3k2 + l)x2 +6k2x3k2-5 = 0.设 A(n，y)，仇如 治)，则，A = 36k& -4（3/12 +1）（3抬-5）0, 6k 2由线段A8中点的横坐标是二，得中= _一二=_解得22 3K + 12k=。,符合题意。所以直线A8的方程为x-/3y + l = 0 ,或x +乔)，+ 1 = 0.(U )解:假设在x轴上存在点M。儿0),使苏痂为常数. 当直线A3与x轴不垂

26、直时，由(I ) 知3攵2一5%+占=一内而所 以 M4 A/公=（$ -7）（当-7）+ ）丫2 =（X 一?）（X2 0 + 公。1+1）（工2 +D= (k2+V)xx2 +(如一6)(四+)+公+/.将代入,整理得za 2 0(2/7/ )(3k +1) 2/726/7z + 143(3尸+1)ii7注意到AMM8是与攵无关的常数，从而有67 +14 = 0, ?=)此时 4M4M8 = .9当直线A3与x轴垂直时，此时点A, 8的坐标分别为1LL)、(一l-),当? = _:时，亦有=综上，在工轴上存在定点卜史苏利为常数.点石成金：就屉毁省工/(2m-)(3k2+1)-2m-3k?+

27、1+ nr6/7z + 14=m2 +2m-.3 3(3公+1)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M (2,1),平行于OM的直线/在y轴上的截距为m (m NO), /交椭S)于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(U)求m的取值范围；(DI)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：设椭圆方程为下菱心)椭圆方程为=1(II);直线/平行于()M,且在y轴上的截距为m又 K)m二；二. /的方程为：丁 = 3+?21x2 + 2mx + 2nr -4 = 0=x + m2直线1与椭圆交于A、 B 两个不同点，/. A = (2m)2 -4(2m2-4)0,解得- 2 m 炉 +8?入+ 4(/ -3) = 0。，则A = 64A 2 _ 6(3 + 4k2 )面 _ 3) 0,即3 + 4父一J 0,Smk4(/?2 -3)3 + 4K 又 v y2 = (Hj + /n)(te + 7/7)= k 2xyx2 + ink (x +x2) + nr =因为以A3为直径的圆过椭圆的右顶点。(2,0),-1. /. yy2 + xx2 - 2($ +x2) + 4 = 0 .3(?2-4%2) 4(/-3)15mk ，八