培优指数函数与对数函数.

1、指数函数和对数函数一、1.根式(1)根式的概念若xn= a,则x叫做a的n次方根，其中n>1且n C N*.式子%叫做根式，这里n叫做根指 数，a叫做被开方数.a的n次方根的表示:x= na (当n为奇数且n C N时)， xn=a?x= in/a (当n为偶数且nCN*时)(2)根式的性质a, n为奇数,11(%)n=a(ne N*),皆=a, a>0,回=a, a<0, n为偶数.2.有理数指数哥(1)哥的有关概念：m正分数指数哥：an= n/am(a>0, m, nCN*,且 n>1);负分数指数哥：a-m=m=(a>0, m, n N*,且 n>

2、;1);n 3 naVam0的正分数指数哥等于 0, 0的负分数指数哥无意义.(2)有理数指数哥的运算性质：CDaras=ar+s(a>0 , r, sC Q)；(ar)s= a2(a>0, r, sC Q)；(ab)r=al£(a>0, b>0, rCQ).3.指数函数的图象与性质y= axa>10<a<1图象定义域R值域(0, +8)性质过定点(0, 1)当 x>0 时，y>1 :当 x<0 时，0<y<1当 x>0 时，0<y<1 当 x<0 时，y>1;在R上是增函数在R上是

3、减函数对数概 念如果ax= N(a>0, aw1),那么数x叫做以a为底N 的对数，记作x=logaN.其中a叫做对数的底数A N 叫做真数性 质底数的限制：a>0,且aw1对数式与指数式的互化：ax=N? logaN=x负数和零没有对数,1的对数是三 log a1 = 0底数的对数是1： logaa=l对数恒等式：alogaN =N运 算 性 质loga(M N)= logaM + logaNa>0，且 aw 1, M>0, N>0.M loga = log.M logNlogaMn= nlogaM(n R)换 底 公 式公式：logab= logcb(a>

4、;0,且 aw 1; c>0,且 cw1; logca'''b>0)3 4,nn1推广：logamb logab; logab=.mlog ba2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图 象性 质定义域：(0,)值域：R过定点(1, 0)当 x>1 时，y>0当 0<x<1 时，y<0当 x>1 时，y<0当 0<x<1 时，y>0在(0, +8 )上是增函数在(0, +8 )上是减函数、选择题2 x2 5 x b一 一、1，、1.设函数 f(x),g(x)立，则实数b的取值范围是

5、()A. b 12 B . b 12 Cx2x 6，若f (x) g(x)对于任意实数 x恒成b 15 D . b 152.函数y f x是R上的奇函数，满足 f 3 xf 3 x,当 xC(0, 3)时 fx 2x ，则当 x e( 6,3)时，f x =()A. 2x 6 B.2X 6C.2xD.2x3.设1 < a < b < a 2,则在四个数 2, log ab, log ba, log a b a 2中，最大的和最小的分别是()(A) 2, 10g ba二、填空4.已知a > 0,5,已知函数 f x(B) 2, log a b a 2( C) log a

6、b, log b a ( D) log a b, log a b a 2xf ( X ) =ra-r，则 f() + f () + + f (303)ax 、a200420042004a的取值范围是lg a2 1 x2a 1 x 1的定义域为，则实数6,先将函数f ( x ) = ln匚的图像作关于原点的对称变换，然后向右平移 1个单位，再作关于y = x1 x的对称变换，则此时的图像所对应的函数的解析式是 。7.已知函数y = log 1 a x 2 + 2 x + ( a -1 )的值域是0, + 00 )，则参数a的值是。2三、解答题 2x b 18,已知定义域为R的函数f(x) f是奇

7、函数. 2x12(1)求 f(x);(2)判断函数f(x)的单调性(不必证明)(3)若对任意的t R,不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值范围9 .已知函数f(x)(y，x 1,1,函数内)/时3的最小值为h.(1)求h(a)的解析式；(2)是否存在实数 m, n同时满足下列两个条件： m n 3；当h(a)的定义域为 n,m时，值域为 n2,m2 ?若存在，求出 m,n的值；若不存在，请说明理由2)x 2(a 2)在区间a 2,2( a 2)上恒有定义，求实数 a的取2,10 .函数 f(x) log2ax (a值范围.11.(本题满分12分)已知函数f (x)lg

8、(x - 2),其中a是大于0的常数a(i)设g x x ,判断并证明g x在n,内的单倜性;(2)当a (1,4)时，求函数f(x)在2)内的最小值；(3)若对任意x 2,)恒有f(x) 0 ,试确定a的取值范围。2 ax .12. (12分)已知函数 f xx3 10gl为前函数，a为吊数.3 x 2(1)求a的值；(2)当x (3,4时，f x是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由；11 x .(3)设函数g(x) x3 (-) m,当m为何值时，不等式 f(x) g(x)在x (3,4有实数解?13 . (12 分)函数 y=f (x)满足 1g (1gy ) =1g

9、3x+1g (3 x),(1)求 f (x);(2)求f (x)的值域；(3)求f (x)的递减区间.214 .已知二次函数g(x) ax 2ax b 1(a 0)在区间2 , 3上有最大值4,最小值1.(I )求函数g(x)的解析式；f(x) 3I°x(n)设x.若f(2 ) k20在x 1, 1时恒成立，求K的取值范围.1. D2. B3.A，20034.25. a6.y = e5T一或a 13x试卷答案7.1 -五8.解(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以 1f0,即万从而有f(x)0,解得b 1 a2x12x 1(2)由(1)知 f(x)22x 12x1 2.3分(3)2x

10、的单调性可推知 f (x)在R上为减函数- 1A2x 1解法一：由(1)知f(x)2x 1 212x 1,.3分由上式易知f (x)在R上为减函数，又因f(x)是奇函数，从而不等式_2_ _ 22f(t 2t) f (2t k) 0 等价于 f(t因f(x)是R上的减函数，由上式推得 t22t)2t-_ 2f(2t k)2t2 k._ 2f ( 2t k).2分即对一切tR 有 3t22t9.解析：.1分记 g(x)当当当4 12k0,解得kk 0,从而1 3(1)由y t21.1 xf(x) (3),x 丁1'知 f(x)2at 3,则g(x)的对称轴为t3时，g(x)的最小值h(a

11、)28 2a3时，g(x)的最小值h(a) 12a 3时，g(x)的最小值h(a)36a3 a21人-,3，令 t31 f(x)-,33综述，282a1 a9332 1h(a) 3 a2-a 3126aa3(2)当 a 3时，h(a)6a 12 .故m n 3时，h(a)在n,m上为减函数.所以h(a)在n, m上的值域为h(m),h(n) 9分h(m) n由题，则有h(n) m2所以m n 6 ,这与m210.解析：设 g(x) ax6m 126n 122,两式相减得6n 6m2mn(a3矛盾.故不存在满足题中条件的m,n的值.22)x 2(a 2),则 f(x) log2ax(a 2)x

12、2(a 2)在区间a 2,2( a 2)上恒有定义即g(x) 0在a 2,2( a 2)上恒成立.当a 0时，g(x) 2x 4 0于2, 4上恒成立. a 2当a 0时，g(x)的对称轴 0, g(x)在a 2,2( a 2)上单调增加，所以,2a 一一2 一g(a 2) (a 2)(a 3a 4) 0 ,由 a 2 0, a2 3a 4 0,所以 a (0,).,一， , g(a 2) 0当a 0时，g(x) 0于a 2,2( a 2)上恒成立，则g(),g2(a 2) 0由 g(a 2) (a 2)(a2 3a 4) 0, a2 3a 4 0,得a 2 0 ,即 a 2 ； 22由 g2

13、(a2) (a2)(2a5a 3) 0 ,得 2a5a 30,3 .3. 一斛得a一或a1 ,所以，2 a 或1a 0.4 25 综上，a ( 2, -) (1,) .11.解析：(I) -BU Ml III aja(iy证明：由(I)知：I JdI,令I 一 ii a- ： M L f + r Zli h ina »! «.im因III ）?于3, 4上的每一个x的值，不等式 !恒成立，a即：I恒成立io分BU.BBMK I HI因由（II）知： I在R上单调递增,12分12.(1)增函数，用定义证明.a -(2)设 u(x) x 2 ,当 a (1,4) , x 2,)

14、时 xa由(1)知u(x) x a 2在2,)上是增函数 x. f(x) lg(x a 2)在2,)上是增函数a f(2) lg2. f(x) lg(x a 2)在2,)上的最小值为 x(3) 对任意x 2,)恒有f(x)1对X 2,)恒成立22a 3x x ,而 h(x) 3x x(x 2)22,)上是减函数1 h(x)max h 2, a 2Cl) d s -I( 2) 4 1-L13.13考点： 对数的运算性质；指数函数综合题；对数函数的图像与性质.专题：函数的性质及应用.分析： (1)由 lg (lgy ) =lg3x+lg (3-x),可得 1g (lgy) =lg3x (3-x)

15、, 0<x<3. 1gy=3x (3-x),即可得出.(2)令u=3x (3-x) =一3 (直- 3) +21,在(0,3)上单调递增，在 封，3)上单调递 2422减；而10u是增函数，即可得出f <f工)<f (?), 2(3)由(2)可知：函数f (x)的递减区间为3) .解答： (1) lg (lgy) =lg3x+lg (3-x),lg (lgy) =lg3x (3-x) , 0<x< 3. lgy=3x (3-x),.f (x) =y=103x'3 x), xC (0, 3).(2)令u=3x (3-x) =-3 (直一 W)3H 在CO,之)上单调递增，在之，3)上单调递 2422减；而10u是增函数.f (0) <f G) <f (1),27，f (x)的值域为(1. 1 0 4 (3)由(2)可知：函数f (x)的递减区间为3).点评：本题考查了对数的运算法则、二次函数与指数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.214.解：(I) ; g(x) a(x 1) a 1 b，函数g(x)的图象的对称轴方程为x 124a 0，g(x) a(x 1) a 1 b 在区间2, 3上递增