数学考研基础阶段讲义1-3章

1、1高等数学第一章：求极限主讲人：杨超 老师1 函数极限（1） 定义： 时，若 ， t 使得对于适合 o t的一切 都满足不等式 o t 则称常数 t 为 t 当 时的极限，记为 lim t t或 t（当 ）. (2)性质(唯一性) 如果函数的极限存在,则极限必唯一。(局部有界性) 如果 lim t,则存在正常数 M 和,使得 x x 当 时,有 f x M(局部保号性) 若lim f x t,则在 x 的某个小邻域内存,f x 与A 同号。（3）判别定理准则若在 x 的某个小邻域内,有 f k g x h x 成立、且 limf limh x t,则有 limg x t。单调有界收敛原理:单调

2、有界函数必收敛。海涅定理: lim t的充要条件是:对于任何满足 lim 的数列都有lim t。 12（4）求极限时需要注意的左右极限的函数1当 x 时，极限式子中含ex （或 x 0 时，极限式子中含ex ）lim ex = +(不存在）, lim ex = 0x+x-当 x 时，极限式子中含arctan x 或arccot x .lim arctan x = p ,lim arctan x = -p22x+x-lim arc cot x = 0 ,lim arc cot x = px+x-求分段函数分段点的极限.2 数列极限（1） 定义：若 ， 蓠（整数），使得对于 蓠的一切 ，不等式 o

3、 t 都成立，则称常数 t 为数列 的极限，或说 收敛于 t，记为lim t或 tt t . t（2） 性质(唯一性) 收敛数列的极限必唯一。(有界性) 收敛数列必为有界数列。( 保 序 性 ) 若 lim th lim t , 且 a b , 则 存 在 N,当 n N 时,有xn yn。若数列收敛于 a，则其任何子数列也收敛于 a。若数列收敛于 a,则改变其中有限项数所得的新数列仍收敛于 a。（3）判别定理23准则:若存在 N 肘,xn yn zn,且lim lim t, 则lim t。 单调有界收敛原理:单调有界数列必收敛。a + b b - an定义求极限：f (x)dx = lim

4、f a +b3.定i nnan i=14.无穷小与无穷大(1)无穷小的比阶 ,设lim x若lim x ,lim x ,且 x a,则lim xa , x 是 x 的高阶无穷小;a c , x 是 x 的同阶无穷小;a 1, x 是 x 的等阶无穷小。（2）无穷小的性质 lim f (x) = A f (x) +a（a为无穷小）有限个无穷小的和乃是无穷小.有界函数与无穷小的积是无穷小.等价无穷小代换：若f (x) f1 (x) ， g(x) g1 (x) ，则34f (x) = lim f1(x) .limxg(x)g2 (x)x使用条件:x （3）等价无穷小的替换 1 cos x x2 si

5、n x x arcsin x x tan x x arctan x x2xln 1 t tex 1xax 1x ln tloga 1 t x 1 t x 1x1lim ex +1arctan 1例 1.1ex -1xx0： p221 n例 2. lim n tann 1： e3n 例 3. 设为a (k = 1, 2,r) 正的常数，求lim n an + an + ank12nn45： maxa1, a2 , ar x 3n 不可导点的个数为例 4. f (x) = lim n 1+n（A）1 4：（B）（B）2（C）3（D）例 5. lim111+n +1n3 + 23n + n3n： 0

6、例 6. lim111+n + n +1n2 + n + 2n + n + n22n： 121 npp2p1 + cos+ 1 + cos+n+ 1 + cos例 7. limn nnn： 2 2p561 2 2 2n 2例 8. limln n 1 +1 +1 +等于（ ）n n n n222（C） ln(1+ x)dx2（A） ln xdx（B）2ln xdx（D）11122ln (1+x）dx1：（B）例 9. lim111+1+n22 +n22n + n22n： p4第二章：一元函数微分学1. 导数的定义与可导f x 在 x x 处可导的充分条件是:f x 在点x 处左、右都可导,即f

7、 x tx f x x t o limx limo tx t67注:可将x 广义化为 x ,且上述等式里,中减项函数的自变量与被减函数的自变量之差刚好是分母的形式;当所求极限是 型,但却不满足洛必达法则的条件,此时一般借助 于导数的定义。注意：遇到以下几种情况，需要借助导数定义去求导：被求导的函数太复杂被求导函数中含有抽象函数被求导函数不符合求导法则2. 求导公式(1)四则运算法则（1） ( f + g) =f + g（2） ( fg ) = f g+ fgf g- fg（3） ( f ) =gg 2 (2)复合函数求导: 注:区分清楚哪些是中间变量,哪些是自变量。1 o1 (3)反函数求导:

8、(4)参数方式求导78 ,那么dy dy dx ; 2 若 x x t hy y tdxdtdt2 o (5)函数求导 x d xx ;adx 2 o ;21 1 21 t tt （6）.高阶导数归纳法利用莱布尼茨公式求利用泰勒公式去求函数在某点的各阶导数，其步骤为： 1）写出 t 在点 处的泰勒公式 to t t t t t o t 2）通过化简或者变量代换或利用已知的泰勒公式把 t 间接展开为： t t t1 o t t t t o t 3）根据函数的泰勒公式的唯一性，相同的次幂前系数相同，可得 t t t t t h 分段函数的分段点89例 1.设1- cos x, x 0f (x) =

9、 xx2 g (x), x 0其中 g(x) 为有界函数，则 f (x) 在 x = 0 处（ ）（A）极限不存在（C）连续，但不可导：（D）（B）极限存在，但不连续（D）可导f (h2 )例 2.设函数 f (x) 在 x = 0 处连续，且lim= 0 ，则（ ）h2h0（A） f (0) = 0 且 f-(0) 存在在（C） f (0) = 0 且 f+(0) 存在在：（C）（B） f (0) = 1且 f-(0) 存（D） f (0) = 1且 f+(0) 存例 3.设函数 t 在 连续，则下列命题错误的是（）（A）若 lim t 存在，则 . （B）若lim t to 存在，则 .

10、（C）若lim t 存在，则 存在. 910f (x) -f (-x) 存在，则 .（D）若limxx0：（D）例 4.设 f (x) = (ex -1)(e2 x - 2)(enx - n) ，其中n 为正整数，则f (0) =.(-1)n-1 (n -1)!- n)，求 f (1) =例 5.设 f (.+ 2)(x + n)(-1)n-1 (n -1)!(m +1)!f 3 (1+ x) - f 3 (1)f (1) = 2, f (1) = 2, ，则极限lim例 6.若.xx0241 n f a + n 例 7.设 f (x) 可导，且 f (x) 0 ，求lim n f (a )e

11、 f (a )10.f (a)11f 2例 8.设 y =2 ，求dy . 24(2x -1)2dx：(2x +1)41- x，求 y (0) .例 9.设 y = lnx2 +1- 32例 10.设方程exy + y2 = cos x ，确定 y 为 x 的函数，求 y(x) .- sin x + yexyxexy + 2 y例 11.设函数 y = y(x) ，由方程确定ln(x2 + y) = x3 y + sin x ，求 y(0) .1，求 f ( n) (x) .例 12.设 f (n -13： -4sin 4 x +pn-1221112x = ln(1+ t 2 )dy d 2

12、y例 13.设，求,. y = arctantdx dx211+ t 2：, -2t4t3x = arctantd 2 y例 14. 设，求dx2t =1 .y = 3t + t3： 48例 15.求心形线r = 2(1- cosq) 在对应的q= p点处的切线方程.2： x + y - 2 = 0第三章 一元函数第一节 原函数的定义与性质1.原函数定义如果在区间 I 上，可导函数 F (x) 的导函数为 f (x) ，即 F(x) = f (x)1213在区间 I 成立，那么函数 F (x) 就称为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。2.原函数性质（1）如果 f (x) 在区间 I 上

13、连续，则 f (x) 在区间 I 上存在原函数。如果 f (x) 在区间 I 内有原函数， f (x) 在区间 I 内却不一定连续。（2） F (x) 是 f (x) 在某个区间上的一个原函数，则 F (x) + C 也是f (x) 的原函数。（3）F (x) 和G(x) 均是 f (x) 在同一区间上的原函数，则 F (x) 和G(x)仅相差一个常数.典型例题例 1.设 f (x) 的原函数为sin x ，求 xf (x)dx .x： cos x - 2sin x + C .x1314第二节 不定的定义与性质1.不定的定义在区间 I 上， f (x) 的原函数的全体为 f (x) 的不定，即

14、如果F (x) 是 f (x) 在区间 I 上的一个原函数，则有 f (x)dx = F (x) + C .2.不定性质（1）设函数 f (x) 及 g(x) 的原函数存在，则 f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dx（2）设函数 f (x) 及的原函数存在， k 为非零常数，则 kf (x)dx = k f (x)dx第三节 不定的计算技巧1.利用基本 kdx = kx + C表计算不定1415xu+1 x dx = u +1 + Cn(u -1) 1 dx = ln x + C(x 0)xax a dx = ln a + C(a 0,a 1)xexdx = ex + Cs

15、in xdx = -cos x + Ccos xdx = sin x + Csec2 xdx = tan x + Ccsc2 xdx = -cot x + C11+ x2dx = arctan x + C1dx = arcsin x + C1- x2典型例题例 1.（1） 1516： - 1 ln2x2 - 2x +1 + C（2） tan2xdx： tan x - x + C2.利用第一类换元法计算不定设 f (u)du = F (u) + C 且u = j(x) 可微，则 f j(x)j(x)dx = f j(x)dj(x) = F j(x)+ C .几类常见的凑微分形式（1） f (ax

16、 + b)dx = 1 f (ax + b)d (ax + b)a（2） f (sin x) cos xdx = f (sin x)d (sin x)（3） f (cos x)sin xdx = - f (cos x)d (cos x)1dx = -f (tan x)d (tan x)（4） f (tan x)cos2 x1dx = -f (cot x)d (cot x)（5） f (cot x)sin2 x（6） f (ln x) 1 dx = f (ln x)d (ln x)x1617（7） f (e)d (ex )（8） f (xn )xn-1dx = 1 f (xn )d (xn )

17、(n 0)nf 1 1f 1 d 1 dx = -（9） x （10） f ( x )dx =2 fx )d ( x )(1x（11） f (arcsin x )1dx = f (arcsin x )d (arcsin x )1- x21f (arctan x )(arctan x )d (arctan x )dx = -f（12）1+ x23.利用第二类换元法计算不定设 x = j(t) 严格单调并且可微，且j(t) 0 可微，若 f j(t)j(t)dt = F(t) + C ，则 f (x)dx = F(t) + C(t =j-1(x) .11例 2.（1） 2 e dxxx1： -ex

18、 + C1718（2） cosxdxx： 2sinx + C第二类换元法主要针对无理根式，常见的变换形式由：（1） a2 - x2 : x = a sin t ; x = a costet - e-t（2） a + x : x = a tan t ; x = a cot t; x = asht22sht=2et + e-t（3） x - a : x = a sect ; x = a csct; x = acht22cht=2（4） n ax + b : n ax + b = tax + bax + b= t（5） n: ncx + dcx + d，有时倒代换 x = 1 也t（6）当被积函数含

19、有m ax2 + bx + c : n ax + b = t奏效。x2例 3.（1） dx2a - x21819a22x1arcsin-xa2a - x + C22：（2） ： - arctan) 2 + Cx1+ x4.利用分部发计算不定若u = u(x) 与v = v(x) 可微，且u(x)v(x) 具有原函数，则有u(x)v(x)dx = u(x)v(x) - u(x) d v(x).若被积函数时三角函数、指数函数、对数函数与多项式之间的乘积时，通常用分布部分法.例 4.（1） x2 cos3xdx： 132cos 3x -sin 3x + C27（2） x2 ln2 xdx1920：

20、1 ln23 + C 35.有理函数的不定的计算技巧（1）有你函数 P(x) ：Q(x)P* (x)P* (x)先化为多项式和镇分式之和，再把分解为若干个部分Q(x)Q(x)分式之和。（2）三角函数有理式的：1）如果被积函数 R(sin x, cos x) 是关于sin x 和的一次分式时，可利用万能公式：设t = tan x21 - t 22tsin x =1+ t 2, cos x =1+ t 22t2tan x =, dx =dt1- t 21+ t 22）如果被积函数 R(sin x, cos x) 是关于cos x 的奇函数，即R(sin x, -cos x) = -R(sin x,

21、 cos x) ，可设t = sin x ；20213）如果被积函数 R(sin x, cos x) 是关于sin x 的奇函数，即R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) ，可设t = cos x ；4）如果 R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x) ，可设t = tan x ；5）若被积函数是sinn x cosm x ，且n 和m 中至少有一个数为级数（不妨设m = 2k +1, k Z +, n Z + ），可设t = sin x ；6）如果被积函数是sin mx sin nx 或sin mx cos nx 或cos mx c

22、os nx ，则利用积化和差公式，然后在求不定；7）被积函数是sinn x cosm x ，且n 和m 都是偶数，可由三角公式= 1 (1 + cos 2 2= 1 sin 2x 2sin2代入被积函数化简，一般情况是含有sin 2x 或cos 2x 的奇数次幂，则用方法 6）求之； 另一种情况是仍含有sin 2x 和cos 2x 的偶数次幂，则继续使用上述方法化简，转化为以sin 4x 和cos 4x 为变数的幂数相乘每以此类推.例 5.（1） x +1+ C： lnx + 22122（2） (2223第四节 定定义1.定设函数f (x) 在a,b 上有界，在a,b 中任意若干个分点 xn

23、= b ，把区间a,b 分成n 个小区间23a =2 24n ，各个小区间的长度为1,D0, DD1n-1把每一个小区间 xi-1, xi 上任取一点xi (xi-1 xi xi ) ，作函数值f (xi )n与小区间长度Dxi 的乘积 f (xi )Dxi (i = 1, 2,) 并作和 S = f (xi )Dxi 。i=1记l= maxDn ，若果不论对a,b 怎样分法，也不论在区间 xi-1, xi 上点xi 怎样取法，只要当l 0 时和S 总趋于确定的f (x) 在区间a,b 上的定积极限 I ，这时我们称为这个极限 I 为函数b），记作f (x)dx ，即分（简称anbf (x)d

24、x = I = limf (x)Dxiial0i=1其中 f (x) 叫做被积函数， f (x) dx 叫做被积表达式，x 叫做变量， b 叫做上限， a 较做下限， a,b 叫做区间。2.定的几何意义b设 y = f (x) 在 a,b 上连续， f (x)dx 表示介于曲线 y = f (x) ， xa2425轴，直线 x = a 及 x = b 各部分面积的代数和。3.可积的必要条件f (x) 在a,b 可积，则 f (x) 在a,b 上必有界。若函数4.可积的充分条件（1） 若函数 f (x) 在a,b 连续，则 f (x) 在a,b 上可积；（2） 若函数 f (x) 在a,b 上有

25、界，且 f (x) 只有有限个间断点，则f (x) 在a,b 上可积，或函数 f (x) 在a,b 上只有有限个第一类间断f (x) 在a,b 上可积；点，则（3）分段连续函数是可积的；f (x) 是a,b 上的单调有界函数，则 f (x) 在a,b 上可积。（4）若（5）初等函数在其定义区间内的任意一子区间上都是可积的.5.定（1）定性质及定理关于被积函数的可加性bbbf (x) g(x) dx =f (x)dx g(x)dxaaa（2）定关于区间的可加性：2526bcbf (x)dx =f (x)dx +f (x)dxaac（3）定的数乘型质：bbbkf (x)dx = kf (x)dxd

26、x = b - aaac（4）若在a,b 上f (x) 0 ，则bf (x)dx 0 (a b)a（5）若在a,b 上 f (x) g(x) ，则bbf (x)dx g(x)dx (a b)aabbf (x) dx (a b)f (x)dx（6）aa（7）设M = max f (x), m = min f (x), ，则xa ,bxa ,bbm(b - a) f (x)dx M (b - a) (a a ，如果极限设函数blimf ( x)dx 存在，就称此极限值为 f (x) 在a, +) 上的反常，b+ab+记作limf ( x)dx = af ( x)dx ；时也称反常af (x)dx

27、收敛，ba否则发散.类似地，若 f (x) 在区间(-,b上连续，取a 1 ，则 p 1 , 收敛a1- pdx+p=xp -1 p 1，收敛a（2）若a 1 ，则= lna p 1 ,1- p收敛dx+ax ln pxp -1 p 1，收敛（3）若c a,b ，则b 1dx ; 0 k 0 ; 收敛bx e dx =k lxl 0 ; 发散ap +- x2- x2）edx = p;edx =.（52-04.反常（1）设的计算与技巧f (x) 在区间a, +) 上连续， F (x) 在a, +) 中连续，且3435f (x), x a, +)F(x) =+a若lim F (x) 存在，则反常f

28、 (x)dx 收敛，且x+af (x)dx = F (x)+ = lim F (x) - F (a)ax若lim F (x) 不存在，则发散.xf (x), g(x) 在区间a, +) 上连续的导数，若lim g(x) f (x) 存（2）设x+在，则af (x)g(x)dx 收敛，且+f (x)g(x)dx =+f (x)g(x)dx+ -f (x)g(x)aaaf (x) 在区间a, +) 上连续，j(t) 在a,b 中连续的导数且（3）设单调，j(a) = a, lim j(t) = + ，则xb-+j(t) j(t)dtf (x)dx x = j(t)faa这里的b可以使有限的，也可以

29、使无限的.典型例题dx+2（ k 为常数）例 1.计算x(ln x)k例 2.下列反常发散的是（ ）3536（A） 1 dx1 11dx（）B-1 sin x-11- x2+- x2（）edx（）CD0a：（A）第七节1.奇偶函数的的重要公式与结论性质a若 f (x) 在 -a, a 时奇函数，则f (x)dx = 0 ；- aaa若 f (x) 在 -a, a 上是偶函数，则f (x)dx = 2f (x)dx .- a02.周期函数的性质设 f (x) 是以T 为周期的函数， a 为常数，则有a+TTaf (x)dx =f (x)dx0a+nTa其中n 为正整数. 特别f (x)dx =

30、nf (x)dx003637a+TTasin x dx =sin x dx0a+TTacos x dx =cos x dx03.对称区间上函数的定f (x) 在-a, a上连续，则若aaf (-x)dxf (x)dx =f (x) +- a0p4p4cos xx sin x常用于计算如dx 或dx 的定.pp x x1+ e1+ e-444.几个常用的定变换公式f (x) 在-1,1 连续，则设p2pf (sin x)dx =f (cos x)dx200pppxf (sin x)dx =f (sin x)dx200ppxf (sin x)dx = pf (sin x)dx200ppf (sin

31、 x)dx =2f (sin x)dx2005.闭区间上函数定变换3738bb设 f (x) 在 a,b 连续，则f (x)dx =f (a + b - x)dxaa6. n 阶正余弦函数定 n -1 n - 323, n为奇数p2pnn - 2xdx =cosxdx =sinnn2 n -1 n - 31 p ,2 200n为偶数nn - 2第八节 定1.一般步骤的元素法变量及其变化区间，如a,b（1）确定（2）设想把区间a,b 分成n 个小区间，任取其中一小区间并记为x, x + dx ，求出相应于这个小区间的部分分量DU 的近似值.如果DU 能近似表示为a,b 上的续函数在 x 处的值 f (x) 与dx 的乘积，就把 f (x)dx 称为量U 的元素且记作dU ，即dU = f (x)dx ；（3）以所求量U 的元素 f (x)dx 为被积表达式，在区间a,b 上作定b，得U =f (x)dx ，即为所求量U