中考复习：二次函数与三角形的存在性问题的解法

1、.二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为Px1，y，Qx2，y1线段对称轴是直线 2AB两点之间间隔 公式：中点公式：两点，那么线段PQ的中点M为。 2、两直线的解析式为与 假如这两天两直线互相垂直，那么有3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b21当k1=k2，b1b2 ，L1L22当k1k2， ，L1与L2相交3K1k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形一三角形的性质和断定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线

2、合一中线、高线、角平分线。断定：两腰相等，两底角相等，三线合一中线、高线、角平分线的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。断定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45。断定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。断定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。总结：1A、B两点，通过“两圆一线可以找到所有满足条

3、件的等腰三角形，要求的点不与A、B点重合即在两圆上以及两圆的公共弦上 2A、B两点，通过“两线一圆可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点不与A、B点重合即在圆上以及在两条与直径AB垂直的直线上。 二关于等腰三角形找点作点和求点的不同， 1、等腰三角形找点作点方法：以边为边长，作等腰三角形，运用两园一线法，在图上找出存在点的个数，只找不求。 2、等腰三角形求点方法：以边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后根据两点间的间隔 公式求出三点间的线段长度，然后分顶点进展讨论，如：两点A、B，在抛物线上求一点C，使得三角形ABC 为等腰三角形 解法：这是求

4、点法：先运用两点间的间隔 公式分别求出线段AB BC AC的长度， 第二步，作假设，1以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC 2以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC 3以点C为顶点的两条腰相等，即CA=CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步进展检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。如：两点A、B，在抛物线上求一点C，使得三角形ABC 为等腰三角形 解法：这是求点法：先运用两点间的间隔 公式分别求出线段AB BC AC的长度，第二步，作假设，1以点A为顶点的两条腰相等，即AB=AC 2以点B为顶点的两条腰相等，即BA=BC3以点C为顶点的两条腰相等，即CA=

5、CB 第三步，根据以上等量关系，求出所求点的坐标第四步，进展检验，这一步是非常重要的，因为求出的有些点是不符合要求的。三关于直角三角形找点和求点的方法 1、 直角三角形找点作点方法：以边为边长，作直角三角形，运用两线一园法，在图上找出存在点的个数，只找不求。所谓的两线就是指以边为直角边，过边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；一圆就是以边为直径，以边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点。2、详细方法 1；2三角形全等注意寻找特殊角，如30、60、45、903三角形相似；经常利用一线三等角模型4勾股定理；当题目中出现了特殊角时，优先考虑全等法 三、

6、二次函数的应用： 1、应用类型一、利用二次函数务实际问题中的最大小值：这类问题常见有面积、利润销售量的最大小值，一般这类问题的解题方法是：先表示出二次函数关系式，再根据二次函数的最值问题来求解即可。2、应用类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题:3、应用类型三、利用二次函数求跳水、投篮、网球等实际问题；四、等腰三角形的例题解析例题1、扬州抛物线y=ax2+bx+c经过A-1，0、B3，0、C0，3三点，直线l是抛物线的对称轴1求抛物线的函数关系式；2设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标；3在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形？假设存在，直接写出所有符合条件的

7、点M的坐标；假设不存在，请说明理由 解：1将A-1，0、B3，0、C0，3代入抛物线y=ax2+bx+c中，得到抛物线的解析式：y=-x2+2x+32点A、B关于直线l对称，连接BC，直线BC与直线l的交点为P；p点即为所求的点。设直线BC的解析式为y=kx+bk0，将B3，0，C0，3代入上式，得：直线BC的函数关系式y=-x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标1，2 3抛物线的对称轴为：x=1，设M1，m，A-1，0、C0，3，那么： MA2=m2+4， MC2=m -32+1=m2-6m+10， AC2=10；1MA=MC，那么MA2=MC2，得： m2+4=m2-6m+10，得：m=1

8、；假设MA=AC，那么MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=6；假设MC=AC，那么MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；设直线AC的解析式为y=k1x+b1k0，将A-1，0，C0，3代入上式，得Y=3x+3，与 直线x=1的交点坐标为1,6，所以：当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M1，1，1，-6 ，1，6，1，0易错点及方法总结：当以C为顶点的两条腰相等时，求出的点M有可能与AC共线，所以要进展检验，这一点非常关键。以其它两点为顶点的两条腰相等时，不可能存在共线问题，所以不用检验。五、

9、直角三角形存在性问题汇总例1、如图：A0，1 B4，3是直线y=1/2x+1上的两点，点p是x轴上一点，假设ABP是直角三角形，那么点p的坐标是多少？解：1当BAP为90时，因为LAB: y=1/2x+1 LAP1: y= -2x+1 所以p11/2，02当PBA=90时，因为LAB: y=1/2x+1 LAP2: y= -2x+11 所以p211/2，03当APB=90时，如图过点B作BDX轴于D例2、攀枝花如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A-3，0，B1，0，C0，-31求抛物线的解析式；2假设点P为第三象限内抛物线上的一点，设PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；3设

10、抛物线的顶点为D，DEx轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得ADM是直角三角形？假设存在，请直接写出点M的坐标；假设不存在，请说明理由解：1由于抛物线y=ax2+bx+c经过A-3，0，B1，0，可设抛物线的解析式为：y=ax+3x-1，将C点坐标0，-3代入，得： a0+30-1=-3，解得 a=1，那么y=x+3x-1=x2+2x-3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；2过点P作x轴的垂线，交AC于点N设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得直线AC的解析式为：y= -x-3设P点坐标为x，x2+2x-3，那么点N的坐标为x，-x-3，PN=-x-3-x2+2x-3=-x2-3

11、xSPAC=SPAN+SPCN， 当x=-2/3 时，S有最大值27/8，此时点P的坐标为- 3/2，- 15/4；3在y轴上是存在点M，可以使得ADM是直角三角形理由如下：y=x2+2x-3=y=x+12-4， 顶点D的坐标为-1，-4，A-3，0，AD2=-1+32+-4-02=20设点M的坐标为0，t，分三种情况进展讨论：1A为直角顶点时，如图3，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即0+32+t-02+20=0+12+t+42，解得t=3/2， 所以点M的坐标为0，3/2；当D为直角顶点时，如图3， 由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即0+12+t+42+20=0+32+t-02

12、，解得t=- 7/2， 所以点M的坐标为0，- 7/2；当M为直角顶点时，如图3， 由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即0+32+t-02+0+12+t+42=20，解得t=-1或-3， 所以点M的坐标为0，-1或0，-3；综上可知，在y轴上存在点M，可以使得ADM是直角三角形，此时点M的坐标为0，3/2或0，- 7/2或0，-1或0，-3 例3、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0，在抛物线上求点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形 分析：定解法：有45可以考虑几何法。代数法虽然可以，但求解太费事，还有四次方。 解法1：1：BCQ=90；作QFy轴 因为：OC=OB=3

13、, OBC为等腰直角三角形。 所以：OCB=45；FCQ=45。那么QF=CF. 设Qx, x2-2x-3，那么 -x2-2x-3-3=x，解得： 所以 Q1, -4 2：CBQ=90；作QFx轴 易得：QBF=45；那么QFB为等腰直角三角形 设Qm，m2-2m-3, m2-2m-3=3-m，解得：m1=3舍去 m2=-2 Q-2,5 综上所述： Q1-2，5、Q21，-4解法：后面利用勾股定理建立方程过程略解法：如图，过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C CBO=45，EBO=45，BO=OE=3 点E的坐标为0，3 直线BE的解析式为12分由 解得 点Q1的坐标

14、为-2，513分如图144，过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2 CBO=45，CFB=45，OF=OC=3 点F的坐标为-3，0 直线CF的解析式为14分由 解得 点Q2的坐标为1，-4综上，在抛物线上存在点Q1-2，5、Q21，-4，使BCQ1、BCQ2是以BC为直角边的直角三角形点睛：解法1在设点的坐标时，要考虑长度转化为坐标时，坐标所处的象限。解法：关键抓住点是直线和抛物线的交点，所以可以联立两个解析式求交点坐标。值得学习的一种求交点的方法。例4、东营在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A0，2，点C1，0，如下图，抛物

15、线y=ax2-ax-2经过点B1求点B的坐标；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否还存在点P点B除外，使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？假设存在，求所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由解：1过点B作BDx轴，垂足为D，BCD+ACO=90，AC0+OAC=90，BCD=CAO，又BDC=COA=90，CB=AC， BDCCOA，BD=OC=1，CD=OA=2，点B的坐标为3，1；2抛物线y=ax2-ax-2过点B3，1，1=9a-3a-2，解得：a=1，抛物线的解析式为y=x2-x-2；3假设存在点P，使得ACP是等腰直角三角形，假设以AC为直角边，点C为直角顶点，那么延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1Mx轴，如图1，CP1=BC，MCP1=BCD，P1MC=BDC=90，MP1CDBC，CM=CD=2，P1M=BD=1，P1-1，-1，经检验点P1在抛物线 y=x2-x-2上；假设以AC为直角边，点A为直角顶点，那么过点A作AP2CA，且使得AP2=A