多元函数微分法及其应用习题及答案

1、第八章多元函数微分法及其应用(A)1.填空题若z fx,y在区域D上的两个混合偏导数2zoy x(2)函数zf x,y 在点 xo,yo处可微的条件是z f x, y在点偏导数存在。(3)函数zf x,y 在点 x0, y0可微是z f x, y在点Xo, y0处连续的则在D上，xo,yo处的条件。2.求下列函数的定义域zx招；uzarccosx23.求下列各极限lim x 0y 0sin xy .x(2)limx 0y 0xy22、1 cos(x y ) lim ；-；0 (x2y2)x2y24.设zxln xy3，求一及一x y x3z2y5.求下列函数的偏导数y _(1) z arctg

2、 (2) z6.x2uv t cosu ,In xy7.ext, y8.曲线9.求方程、a2 y b210.设 z ye2x2 3exy z 0求全导数色。dtdu cost，求。dt,在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角是多少2z2 1所确定白函数z的偏导数。 cxsin 2y ,求所有二阶偏导数。1111.设 zf x,y是由方程二zln 2确定的隐函数，求二，二。12.设 xyy x dye e ,求。dx13.设 zf x, y是由方程ezxy3 0确定的隐函数，求二x14.设 z2ye cosy ,求全微分dz o15.求函数z ln 2 x2 y2在点1,2的全微分。16.利用

3、全微分求2 2.98 24.01 2的近似值。17.求抛物面z x2y2与抛物柱面yx2的交线上的点P 1,1,2处的切线方程和平面方程。2218.求曲面X413上点P 2, 1,3处的切平面方程和法线方程。19.求曲线x4t 3z t3上点M 0 xo,yo,zo ,使在该点处曲线的切线平行于平面x 2y z20.求函数fx,yx2 y2的极值。21.求函数fx,ye2x y2 2y的极值。22.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸,方便材料造价最省1.求下列函数的定义域2(1) z arcsin x yln l

4、n10 x2(B)24y ； (2) ux2y2 1 4 x2y22. (1)设 f xy,- xy2,求y, xy。(2)设 f x, yx 2y ,求 f xy, f x, y3.求下列函数的极限limxy;(2) lim ex7x 0y 0.x2 y2sin e4.设x,yxy,当(x,y)当x,y0,00,0问 lim fx 0y 0x, y是否存在5.讨论函数的连续性,其中fx,yxsin x 2yx 2y0 ,x 2yox 2y6.二元函数f x, yxy22x y0 ,X, yx,y0,0在点0,00,0处：连续，偏导数存在;连续，偏导数不存在；不连续,偏导数存在；不连续，偏导数

5、不存在。7.z。 y8.2x3 3y2* f求 x9.2x3,3y2,2z卡f求 z2foz x10.设 zxyf22x y ,xf可微，求dt 。11.设 fxy,yz,xz 0 ,zz求,。xy12.设 z13.设 zf r cos ,rsin 可微，求全微分dz。14.设 zf x,y是由方程f x z, yz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz,并由此求15.求 z2 xy y的偏导数。、g x16.设 2x,求 dx, dyo1 dz dz317.设 u exyz,求一二。 xyz18 .求函数u19 .求函数uxyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14方向的

6、方向导数。2一 一2一 一2,在点 M 1,2, 2 沿 X t，y 2t，z 2t 在此点的 xyz切线方向上的方向导数。2220 .求函数u 史x一也在点P处沿方向n的方向导数。 z21 .判断题：(简单说明理由)(1) 士义 就是f x,y在h,y0处沿y轴的方向导数。yMy。(2)若f x, y在xo,yo处的偏导数,f 存在，则沿任一方向l的方向导数均存y y在。22222 .证明曲面x三y3 z3 4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常数。23 .证明：球面12: x2 y2 z2 1上任意一点a, b,c处的法线都经过球心。24 .求椭球面3x2 y2 z2 16上的一点

7、 1, 2,3处的切平面与平面z 0的交角。25 .设u, v都是x, y , z的函数，u , v的各偏导数都存在且连续，证明：26 .问函数u xy2z在P 1, 1,2处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最大值。22227 .求内接于椭球面 J 1的最大长方体的体积。a bc28 .某公司通过报纸和电视传媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广 告费x及电视 广告费y (单位：万 元)之间的关系 有如下 经验公 式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广口束崎029 .求函数f x,y ex y的n阶麦克劳林公

8、式，并写出余项30 .利用函数f x,y xy的2阶泰勒公式，计算1 11.02的近似值(C). xy1.证明limx 022y 0 x y2.设fX, y |x y|x,y ,其中 x, y在点0,0 ,邻域内连续，问(1) x, y在什么条件下,偏导数fx 0,0,fy 0,0存在；(2) x, y在什么条件下，f x,y在0,0处1.填空题可微。3.设yf x,t而t为由方程x, y,t 0所决定的函数，且 x, y,t是可微的，试求曳。dx4.设zz x, y由 z ln zX t2eydt一 、2t0确定，求一-o x y5.从方程组x2 yx6 .设 z uaxx, y e20,

9、x y试确定常数a , b ,使函数z z x, y能满足方2程：一二x y x7 .证明：旋转曲面f Vx2 y2 (f 0)上任一点处的法线与旋转轴相交。8 .试证曲面.x , yzz a ( a 0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a。9 .抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。10 .设x轴正向到方向l的转角为，求函数fx,y x2 xy y2在点1,1沿方向l的方向导数，并分别确定转角，使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于00第八章多元函数微分法及其应用(A)中求出 ux , vx , u 2 , v 2 o1 x

10、 x若z f连续，则在D上,2x,y在区域D上的两个混合偏导数 x y2zoy x(2)函数zf x, y 在点 xo, yo处可微的必要条件是zf x, y在点xo, yo处的偏导数存在。(3)函数zf x, y 在点 x0, y0可微是z f x, y在点x0,y0处连续的充分条x,y |x 0,y 0, x2y ,如图 1 所示(2) u0,即x, y不同时为零，且1,件。2 .求下列函数的定义域解：设定义域为D,由 y 0和 x yy 0 ,即 x /日y ，行zarccos22x y解：设定义域为D,由x,y,z |z222x y ,x3 .求下列各极限(2). xylimy 0 x

11、y 1 1解：原式 limx 0 y 0sin xy y xy解：原式limx 0 y 0xy( xy 1 1)(.xy 1 1)( xy 1 1)lim xy 1 12y 022、1 cos(x y )1222-2-(x y )x y2222x y.224x y2 x y2 sin -解：原式 lim 22-x 022y o x y 2334.设z xln xy ,求一-及今 x y x y解：一z In xyxx - ln xy 1 xy3 z-2x yo,2二义12x xy x2.3z x 1 z 1一，2-2x y xy y x y y 5.求下列函数的偏导数(1) z arctg x

12、d2解：-二一工Ex y x x x y y 1x类似地二一J y-x2x 1 y y x x yx z ln xy解：In x In y x x1 1 1 12 Inx In y x 2x In xy同理可证得:z 1y 2y Jn xy2 3 xy ze解：- xxy2z3e x2 3 xy z2 3 xy2z3 y z e2xy ze y2 3xy z3 xy2 z32xyz e2 3xy ze2 3xy z z23xy2 xy2 z3 z e6.设z2 uvtcosu , uv ln t ,求全导数生。dt解： uzuv2 tcosuv2tsin u一 uv2 tcosu v2uv依复

13、合函数求导法则,t全导数为cosudz dtdu z dv出 v出7.设u解：du8.曲线解： xln2tex ytt sin u ettsin eu dxx出u dyy出2et sint2x429.求方程今 a2 y b2z dt t dt 12uv 一 t2 te tcosuIn tt cosesin t+du求。dtu dzz dtcost ex sin t在点(2,4,5)处的切线对于X轴的倾角是多少1 tg ,故2,4,52 z2 c1所确定白函数z的偏导数。解：关于X求导，得到2x 2z22a czx 0 ,即 zx2c x2a z关于y求导，有2y b22z zy 0 ,即 zy

14、 c2 u .2b z10.设2xye xsin 2 y求所有二阶偏导数。xy解：先求一阶偏导数，得z2x .八一 2ye sin 2y , xz e2x 2xcos2 y y再求二阶偏导数，得2z2 x2x . 八2 ye sin 2y2x4ye ，2ye2x sin 2 y2e2x 2 cos2y,2x e2xcos2y2e2x 2cos2y ,2 z-2 y2x一 ey2x cos2 y4xsin2y11.设 zf x,y是由方程lnW确定的隐函数，求 yz。 y解一：记Fx当Fzx, y,zFy0时,解二：（提示）z2 yFzz-2x使得- xFxzx22zF2Fzyx z2- z直接

15、对方程- zln两边求偏导数，并明确z是x、y的函数，即可 y12.设 xy eyex,求包。dx解：令 F x, y xy ey ex,贝U Fxy ex, Fy x ey ,则dyFxy exyodxFyx e13.设z f x, y是由方程ez z xy30确定的隐函数，求二，二， x y9解：方程两边对x求偏导数，有0 ,即 ez 1 _zy30x3解得z yx 1 ez类似地，方程两边对y求偏导数,解得c 2z 3xyzy 1 e再求二阶混合偏导数，得3y2 1 ezez2把上述上的结果代入，使得：y22z 23 zz 3y 1 e xy e3x y1 ez、I、，2A ， 14 .

16、设z ye cosy,求全微分dz。ex2sin y ,所以全微分为z77斛：由于2xye , xyz . z ._x2 .x2.dz 一 dx - dy 2xyex dx exsin y dy。x y15 .求函数z In 2 x2y2在点1,2的全微分解：x 1,22x2_zT 22-，2 x y 1,27 y 1,22y222 x y1,2一,24所以 dz dx dy。7716.利用全微分求, 2.98 xFx x, y, z 二，4.01 2的近似值。解：设 z vx2 y2 ,贝全微分 dz X x y y 2222x y X y由近似关系z dz,得22-22xyx xyy x

17、y_22 x 22yx y x y上式中取 x3,x0.02, y4,y 0.01 ,得2.98 24.01 2. 32 42 20.0240.01.324232425 0.012 0.008 4.99617.求抛物面因此，所求近似值2 2.98 24.01 2 4.996。y2与抛物柱面yx2的交线上的点P 1,1,2处的切线方程和平面方程。解：交线方程2 x2 x2 ,只要取x作参数，得参数方程:yx,2x ,2 xdydx2xdz 2xdx4x3 ,于是交线在点P 1,1,2处的切线向量为T 1,2,6 0切线向量为言法平面方程为x0,即 x 2y 6z 15 0。218.求曲面43上点

18、P 2,1,3处的切平面方程和法线方程。Fy x, y,z2y ， Fz x, y,z解：记 F x, y, z于是曲面在点P处的法线向量为n Fx 2, 1,3,Fy 2, 1,3,Fz 2, 1,31, 2,2y322从而，切平面万程为1x2 2 y 1- z 30,即x2y-z6 0,法线33方程为U 二122 319.求曲线x 4t y t,1 处，A 2e 0, B 0, C 2e, AC B2 z t3上点M 0 X0,y0,Z0 ,使在该点处曲线的切线平行 3于平面x 2y z 6。解：曲线在点M0 x0,y0,z0处的切线方程为x x0 yy0x t y t0z z0z t0又

19、切线与平面x 2y z 6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有422x t0 1 y t0 2 z t0 1 0,即一4t0 3t00,得 t033所以M0点的坐标为8,4,。9 92720.求函数f x, y 4 x y x2 y2的极值。九 x, v 4 2x 0解：解万程组，求得驻点2, 2 ,由于Afxx 2, 22 0fy x,y4 2y 02B fxy 2. 20 , C fyy 2, 22 , AC B 0 ,所以在点2, 2处，函数取得极大值，极大值为f 2, 2921.求函数f x, y2xe xy2 2y的极值。解：解方程组fx x, y fy x, y2x _2

20、,e 2x 2y 4y 1e2x 2y 20，得驻点1, 12A fxx x, y4e2x x y2 2y 1 , Bfxy xy4e2x y 1 , Cfyy x, y2e2x在点4e2,所以函数在点1, 1处取得2极小值，极小值为f 1, 1-02222.要建造一个容积为10立方米的无盖长方体贮水池，底面材料单价每平方米20元，侧面材料单价每平方米8元。问应如何设计尺寸，方便材料造价最省解：设水池的长为x米，宽为y米，高为z米，则材料造价为u 20xy 16xz x y ,(x 0, y 0, z 0) , xyz 10,*从解出z 10代入,得uxy120xy 160 , (x 0, y

21、 0),于是问题就成 x y0时的最小值,由极值的必要条件，有u x u y20y20x1602x160-2y0；0.解此方程组得x y据题意存在最小造价,2,x是唯一驻点，所以当x 2, y-5 ,2, z 时,2水池的材料造最小。(B)1.求下列函数的定义域(1) z arcsin2x y ln ln 104y2解：设定义域D o 使 arcsin x有意义的区域为:y2 1 ，y2 1,使 ln ln 104y2有意义的区域为：10 x24y24y29x, y | y故定义域D 1x2 y24 x2解：设定义域为Do由根式性质可知，必须0,且 4 x2 y2 0 ,即y2 10解得:02

22、2,0Tx y 1 或04 x2y222D x, y |1 x y 4。如图 302.xyx解：设uvv求 f x,y ,u1 v则得f x y,由此u,vuv1 vu2 11 v从而x, yx y,xy1 xyxy3.(2)设 f x, y解：f xy, f x, y求下列函数的极限2 x22y,xy求 f xy, f2f x,yx, yxy 2 x 2y2x 4y xy.y2lim 1x y解:解:lim ex x 0 y 0原式4.设f1y2 sin122x ylim12 x ysin e122ex yx,yxy2 y0 ,当(x,y)0,0问网f x,y是否存在解：取沿直线lim f

23、x, y y xx 0lim当x,y0,0x的途径，当Px x1x4 x2 x x21x, y0,0时,1,原式 lim xy沿抛物线y Vx的途径，当P x,y 0,0时，有lim_ f x, yy xy 0. x x lim y x x xx 0可见，沿两条不同的途径,函数的极限不同，故极限lim f x, y不存在。x 0y 0xsin x 2y5.讨论函数的连续性，其中f x,yx 2yx 2yo0 , x 2y解：在 0,0 处，lim f x, yx 0y 0limx 0y 0sin 2x y2x y0 f 0,0所以f x, y在0,0处连续若x 2y0 0,则取路径x 2y ,

24、 y0则lim f x, yx 2yx x0lim xx 2 yx x0sin x 2yx 2y2yxf x0,y0因此，间断点为直线x 2y ,除0,0以外的其他点6.二元函数f x, yxy22x y0 ,x, y 0,0 ,一 ,，y ,在点0,0处：连续，偏导数存在;x,y 0,0连续，偏导数不存在；不连续，偏导数存在；不连续，偏导数不存在解：应选22y ,x10.设 zxyf x事实上，由于limx 0y kx 0xy22x y1 k* x 2随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而f x, y在点0,0处不连续，又fx 0,0limx Ix 0x /2 y2 028.设uf 2x3

25、 3y2 2z ,求上, x2ff x, y在0,0处的偏导数存在7.设 z 1 x2y，求-z,卫。 x y解：令u 1 x2 y , v y ,于是z uv ,得zzuz vxu xv xvuv1 2xy uvln u 0 2xy2 1 x2y y 1v 12 v vu x u In u 1解： 6x2 f 2x1 x y In 1 x y。 3y2 2z , 一2- 12xf 36x4 f xx9.设uf 2x3,3y2,2z，求 f , z解： z2f3 ，2fz x12x2 f31f可微，求dt 。解:dzdxx先求yfxyf12x f22xxfxyf12y f22y所以dzyf2x

26、2y fif2yfxfdx11.设 fxy, y z,xz解：关于x求导，而zFi yzF2 F3xFiF3 z F2行：yFi 2F3F2相仿地,可得 yF212.设0,解：令dz13.设_2-2x y f12 r2xy f1xf 2 xy2。，求-z, xFsx xF2 xF3求dzf1f2 dy 0yz,z。 y(*)xxzzxlnyziny z 1zyx 1 z Ixz y In ydx zdy ,于是在 1,1,1 处 dzdy oz f r cos,r sin可微，求全微分dz o解：dz df r cosr sinf1d r cosf2d r sincos drr sin df1

27、sin dr r cos d f2f1 cosf2 sindrf2 cosf1 sinrd 014.设z fx,y是由方程fx z,yz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导 数，求dz,并由此求-z和-z。解：方程两边求全微分,f1d x z f2d yzf1dx f1dz f2 zdy udz 0 ,即f1dx zf2dyfiyf2 dz。，当 iyf20时，解出dzfiJdxyf2zf27dyf1yf2由此得到f1f1yf2zyf1zf2oyf215.求 zy2 xy的偏导数。解：令uy的复合函数。v 1vu于是,z v 1vu x2x uvlnuxy2x2yy Inv 1vu 2yuv

28、 In u xxy2xy222x yxln16.设 x2 xdx，求一，dzdydz解：所给方程组确定两个一元隐函数:y z ,将所给方程的两边对z求导，得dx dy d 1dz dzdxdy小2x2y 2zdzdz112x 2y2 y z0的条件下dxdz17.设解:2z 2ydy2x2zexyz,xyzyze18.求函数u解：L 9|L| 13,因为十dzxyzyexyz z exyz xyzexyzxyz exyzxyzxyz1 xyz e zxye z 1 xyz e xy2 2 2 xyz3xyz xyzexyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14方向的方向导数。5,4

29、1,14 24,3,12cos13cos313coso13-cos xu一 cosyu -cosz4 yz 133一 xz1312一 xy135,1,2121398o1319.求函数uM 1,2,2t4在此点的切线方向上的方向导数。解：因曲线过M1,2,2点，所以t0x t0y t。4, z t08,切线的方向余弦为1,4,又uxUz8272272272y2 y892 z2 32 z827类似地,uy二27o24320.求函数u6x2 8y2在点P处沿方向n的方向导数。解：gradu则 u8y6xz； 6x 8y2 P8y22 c 2 x 8y-2z,14gradu n0 ,曲面的外侧法线向量

30、为煮工,疝房2,3,121 .判断题：(简单说明理由)fx,yyxo,y0就是f x, y在x0, yon 4x,6y,2z P 2 2,3,1117处沿y轴的方向导数。解：错。因前者是双侧极限，后者是单侧极限。(2)若f x, y在xo, y0处的偏导数,存在，则沿任一方向l的方向导数均存y y解：错。由于偏导数仅刻画了xo,yo处沿任一方向的变化率,22222.证明曲面x y3 z3证：令 F x, y, z x2 3 y23f x,y在x,yo处沿x轴或y轴的变化率，要确定函还应要求此函数在 Xo, y。处可微。4上任意一点的切平面在坐标轴上的截距的平方为常z23 4 z r o由于曲面

31、Fx, y,z0的法向量是Fx,Fy,Fz ,故曲面上任一点x, y,z处法线方向向量为2x13,2y331213,-z 33,设 X,Y,Z为点x, y, z处切平面上任一点，则切平面方程为23y2 -y -z 3 Z3111x 3X y 3Y z 3Z 4,其截距式为X14x 3Y14y 3Z14z 3由此得截距的平方和为:2 32 32 316 x y z164 6423.证明：球面三:y2 z2 1上任意一点a, b, c处的法线都经过球心。证：令 F x, y, zy2z2 1 ,则 a,b, c E ,x2x a,b,c 2a， a,b,c2y|a,b,c 2b，三 a,b,cz2

32、z a,b,c 2c,法线方程为: a,b,cx2aa丁 黄，于是任一法线都过原点。24.求椭球面3x2 y2 z2 16上的一点1, 2,3处的切平面与平面z 0的交角。解：设 Fx, yz 3x2 y2 z2 16 ,则法向量为 Fx 6x , Fy 2y , Fx 2z ,在1, 2,3处的法向量n6, 4,62 3, 2,3 。又平面z 0的法向量n10,0,1 ,由平面夹公式:cos3 02 0 3 11,(3) ( 2) 32、12arccos2225 .设u , v都是x , y , z的函数，u , v的各偏导数都存在且连续，证明:rgad(uv) vgradu ugradv。

33、证：graduvuv .vu Ixxv yu vzu kzu. vI xuv. v . vk u I j kzx y zvgradu ugradv26 .问函数u xy2z在P 1, 1,2处沿什么方向的方向导最大，并求此方向导数的最 大值。解： graduux,uy ,uzy2z,2xyz, xy2gradu 2,4,1是方向导数最大值的方向。1, 2,2grav242 12 幅 是此方向导数的最大值。22227.解:求内接于椭球面 L 1 餐 1的最大长方体的体积。a b2 c2设P x, y,z是内接长方体在第一褂限内的顶点，由对称性，长方体的体积为:V 8xyz ( x 0, y 0,

34、 z 0) (* 1)222由于P x, yz在椭球面上，故x, y , z应满足条件：-zy 1,于是问题即求函 a b c数（*1）在约束条件（*2）下的条件极限问题。引入L 函数222x y z .F x, y,z, 8xyz r 1a b c2 xFx 8yz 0, (1) aFy8xz0,(2)令bFz8xy学0,(3)c222Fxr93 1 0 (4)a b c得：8xyz 2 ,得唯一解:3由题意，所求的最大体积存在故以点a b c ,3,3,3）为一个顶点所作的对称于坐标面的内接于椭球面的长方体的体积最大0最大体积为V 8abe8abc.33 .3928.某公司通过报纸和电视传

35、媒做某种产品的促销广告，根据统计资料，销售收入R与报纸广告费x及电视广告费y （单位：万元）之间的关系有如下经验公式:R 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2,在限定广告费为万元的情况下，求相应的最优广 告策略。解；作 L 函数：Fx,y,z 15 14x 31y 8xy 2x2 10y2 x y 1.5Fx 13 8y 4x 0令 Fy 31 8x 20y0Fx y 1.5 0得 2x 6y 9,得唯一解：x 0, y 1.5。x y 1.5又由题意，存在最优策略，所以将万全部投到电视广告的方案最好。29.求函数f x,y ex y的n阶麦克劳林公式，并写出余项。0,0fx 0,0

36、1 ，fy 0,0fxmvn m Q0 入 yex yRn12x 2!(030.利用函数f x, y解：在点1,1处将f 1,11, fx 1,1fxx 1,1fyy 1,1xy lnx,y1,12xy y21)。x, yy 1 yx1,111.0210.10.10.021n!Rnkx yk!Rn所以中y的2阶泰勒公式，计算1xy展开成三阶泰勒公式:1,11 ,11, fyfxy 1,11.102。1,1 xyIn x1,1y 1 yx(C)11.02的近似值。0,ln1,1-2 x 2!R2所以0,取22x y2.x2y202y时，就有1 证明叭2证明：因为x2 y2 2dxy ,即|xy|

37、y2 y 0 x y所以 lim I xy 0。x 022y 0 x y2 .设 f x, y | xy | x,y ,其中 x,y在点0,0 ,邻域内连续，问(1) x, y在什么条件下，偏导数fx 0,0 , fy 0,0存在；（2） x, y在什么条件下，f x,y在0,0处可微分析：从定义出发，进行推演f 0 x,0 f 0,0解：（1） lim -ximxf 0 x,0 f 0,0xx x,00lim X 0 xlim x,0x 0limx 00,0x,00,0lim f 0,0 y f 0,0y 0yyim0y 0,ylim 0, yy 00,0limy 0f 0,0 y f 0,

38、0ylimy 00,y0,0若0,00,则偏导数fx0,0fy 0,0存在，且fx0,0fy 0,0x,0 y f 0,0y I x, yI xx* 2y|2 y x| | y| 2,22x y故若 0,00,当x20时，有ffx 0,0 x所以当3.设yf x,t而t为由方程x, y,t 0所决定的函数，且x, y,t是可微的，试fy 0,0 y求dx。分析：可依隐函数求导法则求出dyodx解；由y f x,t ,得dy f f dt dx x t dx由 x, y,t 0 ,得dydx5 ot dx将(2)代入，行dydx_ _ dyx y dx4.设z解：对fx tf7%z x, yln

39、 z解得：- xInx 2.、et dt 0确定,y求上。x yx2原式两边对解得t2dt0,2 x zez 1y求导,2 ze yz 1(1)式两边对y求导得z x2.一 e z 1 ze yz 1 2以(2)式代入即得:0两边关于x求导,(2)x2zex5.从方程组2xx2 ez 1中求出1Ux，Vx ，Ux2 ， vx2。z的函数，将方程组对x求偏导，得uxVxu uxV Vx0 (*)解得uxVx再将方程组（*）对x求偏导数，得ux2 Vx21 u2解得:6.设Vx2ux22VxVVx2x, y解：- x2 uxV2Vx uax e2Vx2x VV u u2u xV uVby,试确定常数a , b ,