理论力学第5章第6节泊松括号与泊松定理ppt课件

1、第五章第五章分析力学分析力学拉格朗日拉格朗日哈密顿哈密顿本节导读本节导读 泊松括号的定义泊松括号的定义 泊松括号的性质泊松括号的性质 泊松定理泊松定理 量子泊松括号量子泊松括号5.6 泊松括号与泊松定理泊松括号与泊松定理如果函数如果函数是正则变量是正则变量q, p 和时间的函和时间的函数数1 1 泊松括号的定义泊松括号的定义),;,;(2121sspppqqqt则它对时间的导数为则它对时间的导数为HtqHppHqtppqqttss,dd11其中其中, H叫做泊松括号叫做泊松括号.因为因为p, q都是相互独立的都是相互独立的, 所以所以0 ,pqqpqqpp这样这样, ,正则方程也可以简化为正则

2、方程也可以简化为), 2 , 1( , ,sHqqHpp如果函数如果函数在运动中保持为常数在运动中保持为常数, ,那么那么0,Ht如果函数如果函数也是正则变量和时间的函数也是正则变量和时间的函数, ,泊松括号泊松括号 , , 定义为定义为sqppq1,2 2 泊松括号的性质泊松括号的性质是常数cc , 0, ) 1 (, )2(njjnjj,11, , )3(则如 , )4(t,t,t )5(0, , , , )6()( 0)( 1, )7(pq0, )8( , )9(例例1 1 计算泊松括号计算泊松括号Ly,Lz,Lz,LxLy,Lz,Lz,Lx和和Lx,Ly; Lx,Ly; Lx,L2,L

3、y,L2 Lx,L2,Ly,L2 和和Lz,L2.Lz,L2.这里这里L L是质点的角动量是质点的角动量. .解解: : 这里广义坐标这里广义坐标q1=x,q2=y, q3=z; q1=x,q2=y, q3=z; 广义动量广义动量p1=px,p2=py, p3=pz; p1=px,p2=py, p3=pz; 先计算泊松括号先计算泊松括号Ly,Lz,Ly,Lz,即即,xyzxypxpxpzp, xzxxyzyxxyzxypxpypzpxpxpxpzpypxpxpzpyyxxyyxyxyxzppxpzppzxppxzxppzxpzp,0,yzxyyzyzyzpxpxppxxppxxxppxxpxp

4、0,xxxxxxxxxxpypzppzyppyzyppzypzpzxzzxxzxzxzyppypxppxyppyxyppxypxp,xyzzyLzpypLL, 同理同理zyxyxzLLLLLL , , ,0, ,222222zyyzyzzyzzxzxzyyxyxyzxyxzxyxxxxLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL同理同理0, ,22LLLLzy3 3 泊松定理泊松定理泊松定理泊松定理:如果函数如果函数, 都是相空间中的运动常数都是相空间中的运动常数, 则它们的组则它们的组合合, 也是相空间中的运动常数也是相空间中的运动常数.由于由于2212112121),;

5、,;(),;,;(CpppqqqtCpppqqqtssss0, 0, HtHt所以由泊松括号性质由泊松括号性质(6)知知0t,t , , , , , , HHHH利用泊松括号的性质利用泊松括号的性质, 得得0 ,dtd, ,t H显然显然,也是运动常数也是运动常数. 还可以通过类似的关系得还可以通过类似的关系得到更多的运动常数到更多的运动常数.4 4 量子力学中的泊松括号量子力学中的泊松括号 在经典力学中在经典力学中, 两个力学量同时具有确定的值并两个力学量同时具有确定的值并不成为问题不成为问题. 可是可是, 在量子力学中这却是个问题在量子力学中这却是个问题. 力学力学量在量子力学中是用算符或

6、矩阵表示的量在量子力学中是用算符或矩阵表示的, 两个算符或两个算符或矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵的先后次序矩阵的乘积一般是与这两个算符或矩阵的先后次序有关的有关的.两个力学量两个力学量X和和Y是否可以同时具有确定的值是否可以同时具有确定的值就看它们的量子泊松括号就看它们的量子泊松括号 1 YXXYi是否为零是否为零. 如果两个力学量的经典泊松括号为零如果两个力学量的经典泊松括号为零, 则它们的量子松则它们的量子松括号也为零括号也为零, 在量个力学中它们是可以同时确定的在量个力学中它们是可以同时确定的. 比如比如, 任任意两个广义坐标可以同时确定意两个广义坐标可以同时确定, 任意两个广义动量也可以同任意两个广义动量也可以同时确定时确定, 一个广义坐标和对应的广义动量不能同时确定一个广义坐标和对应的广义动量不能同时确定,一个一个广义坐标和非对应的广义动量可以同时确定广义坐标和非对应的广义动量可以同时确定. 又比如又比如, 角动角动虽的任意两个分量不能同时确定虽的任意两个分量不能同时确定, 但角动量的一个分量和角但角动量的一个分量和角动量的平方可以同时确定动量的平方可以同时确定.小小 结结泊松括号泊松括号sqppq1,如果函数如果函数在运动