数理方程第8讲ppt课件

1、此文件可在网址math.shekou下载第五章 贝塞尔函数5.1 贝塞尔方程的引出设有半径为R的薄圆盘, 侧面绝缘, 边界温度保持为零摄氏度, 初始温度已知, 求圆盘内的瞬时温度分布规律.这归结为求解下述定解问题:222222222222220,0, (5.1)|( , ),(5.2)|0.(5.3)txyRuuuaxyR ttxyux y xyRu用分离变量法解这个问题, 先令u(x,y,t)=V(x,y)T(t), 代入(5.1)得或22222VVVTaTxy22222(0)VVTxya TV 得22222( )( )0(5.4)0(5.5)T taT tVVVxy从(5.4)得2( )e

2、atT tA(5.5)称为亥姆霍兹(Helmholz)方程.为了求出这个方程满足条件222|0(5.6)xyRV的解, 将(5.5)与(5.6)写成极坐标形式:22222110,02 ,(5.7)|0,02 .(5.8)RVVVVRV再令V(r,q)=P(r)Q(q)代入(5.7)并分离变量可得22( )( )0,(5.9)( )( )() ( )0. (5.10)PPP 由于u(x,y,t)是单值函数, 所以V(x,y)也必是单值的, 因此Q(q)应该是以2p为周期的周期函数, 这就决定了m只能等于如下的数:0,12,22,n2,对应于mn=n2, 有Q0(q)=a0/2 (为常数),Qn(

3、q)=ancos nq + bnsin nq (n=1,2,).以mn=n2代入(5.10)得222( )( )() ( )0(5.11)PPnP这是n阶贝塞尔方程. 若再作代换r并记( )2rF rP则得222( )( )() ( )0r F rrF rrnF r这是n阶贝塞尔方程最常见的形式.由条件(5.8)及温度u是有限的, 分别可得( )0,(5.12)|(0)|.P RP 因此, 原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(5.11)在条件(5.12)下的特征值与特征函数.5.2 贝塞尔方程求解用x,y来表示自变量和函数值, 则n阶贝塞尔方程为22222dd()0,(5.13)ddyy

4、xxxnyxx其中n为任意实数或复数. 在本书中n只限于实数, 且由于方程的系数中出现n2项, 所以不妨假定n0.设方程有一个级数解, 其形式为201200(),0,(5.14)ckkc kkkyx aa xa xa xa xa00222201002020,0,()()(),()()(1)()(1)c kkkc kkkc kc kkkkkc kkkc kkkya xaxnyxn a xyck a xxyck a xyck cka xx yck cka x 22222220020220()0()()()()(1)()(1)()()0c kkkc kkkc kkkc kkkx yxyxnyxnyx

5、n a xxyck a xx yck cka xck ckckxna x化简后写成220()(1)()()0c kkkck ckckxna x22221012222()(1)()0,ccc kkkkcn a xcn a xckn aax要上式成为恒等式, 必须各个x幂的系数全为零, 从而得下列各式:1 a0(c2-n2)=0;2 a1(c+1)2-n2=0;3 (c+k)2-n2ak+ak-2=0 (k=2,3,) 1 a0(c2-n2)=0;2 a1(c+1)2-n2=0;3 (c+k)2-n2ak+ak-2=0 (k=2,3,)由1 得c=n, 代入2 得a1=0. 现暂取c=n, 代入3

6、 得 42.(2)kkaaknk因为a1=0, 由4 知a1=a3=a5=a7=0, 而a2,a4,a6, 都可以用a0表示, 即42.(2)kkaaknk因为a1=0, 由4 知a1=a3=a5=a7=0, 而a2,a4,a6, 都可以用a0表示, 即0024060202,2(22)2 4(22)(24),2 4 6(22)(24)(26)( 1)2 4 62 (22)(24)(22 )( 1)2!(1)(2)()mmmmaaaannnaannnaamnnnmam nnnm 由此知(5.14)的一般项为202( 1),2!(1)(2)()nmmma xm nnnma0是一个任意常数, 让a0

7、取一个确定的值, 就得(5.13)的一个特解. 把a0取作01,2(1)nan这样选取a0可使一般项系数中2的次数与x的次数相同, 并可以运用下列恒等式:(n+m)(n+m-1)(n+2)(n+1)G(n+1)=G (n+m+1)这样(5.14)中一般项的系数变成221( 1),(5.15)2!(1)mmnmamnm 代入(5.14)得(5.13)的一个特解2120( 1)(0).2!(1)nmmnmnxynmnm用级数的比率判别法(或称达朗贝尔判别法)可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数, 称为n阶第一类贝塞尔函数,n阶第一类贝塞尔函数阶第一类贝塞尔函数:220( )

8、( 1)(0).2!(1)(5.16)nmmnnmnxJxnmnm至此, 求出了贝塞尔方程的一个特解Jn(x).当n为正整数或零时, G (n+m+1)=(n+m)!, 故有220( )( 1)(0,1,2,).2!()!(5.17)nmmnnmmxJxnm nm取c=-n时, 用同样方法可得(5.13)的另一特解220( )( 1)2!(1)(1,2,)(5.18)nmmnnmmxJxmnmn 比较(5.16)式与(5.18)式可见, 只要在(5.16)的右端把n换成-n, 即可得到(5.18)式. 因此不论n是正数还是负数, 总可以用(5.16)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当n不为整数时

9、, 这两个特解Jn(x)与J-n(x)是线性无关的, 由齐次线性常微分方程的通解的结构定理知道, (5.13)的通解为y=AJn(x)+BJ-n(x),(5.19)其中A,B为两个任意常数.当然, 在n不为整数的情况, 方程(5.13)的通解除了可以写成(5.19)式以外还可写成其他的形式, 只要能够找到该方程的另一个与Jn(x)线性有关的特解, 它与Jn(x)就可构成(5.13)的通解, 这样的特解是容易找到的. 例如, 在(5.19)中取A=cot np, B=-csc np, 则得到(5.13)的一个特解显然, Yn(x)与Jn(x)是线性无关的, 因此, (5.13)的通解可写成y=A

10、Jn(x)+BYn(x).(5.21)由(5.20)式所确定的函数Yn(x)称为第二类贝塞尔函数, 或称牛曼函数.( )cot( )csc( )( )cos( )sinnnnnnY xn Jxn JxJxnJxn(n整数).(5.20)5.3 当当n为整数时贝塞尔方程的通解为整数时贝塞尔方程的通解这时JN(x)与J-N(x)已不能构成贝塞尔方程的通解了. 为了求出贝塞尔函数的通解, 还要求出一个与JN(x)线性无关的特解.定义第二类贝塞尔函数为222424( )( 1)2!(1)( 1)2!2(1)!2(2)!2!( 1)( )NmmNNmm NNNNNNNNNNxJxmNmxxxNNNJx

11、求上式的极限可得( )cos( )( )limsinnnJxJxY x(n为整数) (5.22)2100200( 1)2212( )( ) ln( !)12mmmmkxxY xJxcmk21021100021(1)!( )( ) ln!22( 1)1112!()!11(1,2,3,), (5.23)nmnnnmnmmn mmkkmnmxxY xJxcmxm nmkkn 根据这个函数的定义, 它确是贝塞尔方程的一个特解, 而且与Jn(x)是线性无关的(因为当x=0时, Jn(x)为有限值, 而Yn(x)为无穷大).综上所述, 不论n是否为整数, 贝塞尔方程(5.13)的通解都可表示为y=AJn(

12、x)+BYn(x).其中A,B为任意常数, n为任意实数.5.4 贝塞尔函数的递推公式考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系.在(5.17)中令n=0及n=1得:24602426322235713572121( )122 (2!)2 (3!)( 1),2 ( !)( )22 2!2 2!3!2 3!4!( 1)2!(1)!kkkkkkxxxJxxkxxxxJ xxk k 取出第一个级数的第k+2项求导数, 得222112222222121d(22)( 1)( 1)d2(1)!2(1)!( 1)2!(1)!kkkkkkkkkxkxxkkxk k 这个式子正好是J1(x)中含x2k+1这一项的负值,

13、且知J0(x)的第一项导数为零, 故得关系式01d( )( ).(5.24)dJxJ xx 将J1(x)乘以x并求导数, 又得即2413222132122222222dd( )dd22 2!( 1)2!(1)!( 1)22 ( !),1( 1)22 ( !)kkkkkkkkkxxxJ xxxxk kxxxkxxxk 10d( )( )(5.25)dxJ xxJxx以上结果可以推广, 现将Jn(x)乘以xn求导数, 得2220211210dd( )( 1)dd2!(1)( 1)( )2!()nmnmnnmmnmnmnnnmmxx Jxxxmnmxxx Jxmnm即1d( )( ).(5.26)d

14、nnnnx Jxx Jxx同理可得1d( )( ).(5.27)dnnnnxJxxJxx 将(5.26)和(5.27)两式左端的导数求出来, 并经过化简, 则分别得11( )( )( ),( )( )( ).nnnnnnxJxnJxxJxxJxnJxxJx 将这两式相减及相加, 分别得到11112( )( )( ),(5.28)( )( )2( ).(5.29)nnnnnnJxJxnJxxJxJxJx用(5.28)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来, 如果我们已有零阶和一阶贝塞尔函数, 就可以做到.第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同的递推公式111111d( )(

15、 ),dd( )( ),d2( )( )( ),( )( )2( ).nnnnnnnnnnnnnnx Y xx Yxxx Y xx YxxnYxYxY xxYxYxY x 5.5 函数展成贝塞尔函数的级数5.5.1 贝塞尔函数的零点贝塞尔函数的零点1 Jn(x)有无穷多个单重实零点有无穷多个单重实零点, 且这无穷多且这无穷多个零点在个零点在x轴上关于原点是对称分布着的轴上关于原点是对称分布着的, 因因而而Jn(x)必有无穷多个零点必有无穷多个零点;2 Jn(x)的零点与的零点与Jn+1(x)的零点是彼此相间的零点是彼此相间分布的分布的, 即即Jn(x)的任意两个相邻零点之间必的任意两个相邻零点

16、之间必存在一个且仅有一个存在一个且仅有一个Jn-1(x)的零点的零点;5.5.2 贝塞尔函数的正交性贝塞尔函数的正交性( )( )0222( )2( )11d0,(5.40)()(),22nnRmknnnnnmnmrJJrrrRRmkRRJJmk通常把定积分( )20dnRmnrJrrR利用2.6中关于特征函数系的完备性可知, 任意在0,R上具有一阶连续导数及分段连续的二阶导数的函数f(r), 只要它在r=0处有界, 在r=R处等于零, 则它必能展开成如下形式的绝对且一致收敛的级数( )1( )(5.42)nmmnmf rA JrR即( )( )200( )ddnnRRkknknrf r Jr

17、ArJrrrRR( )202( )11( )d()2nRkknnnkArf r JrrRRJ5.6 贝塞尔函数应用举例例例1 设有半径为设有半径为1的薄均匀圆盘的薄均匀圆盘, 边界上温度边界上温度为零摄氏度为零摄氏度, 初始时刻圆盘内温度分布为初始时刻圆盘内温度分布为1-r2, 其中其中r是圆盘内任一点的极半径是圆盘内任一点的极半径, 求圆内温度求圆内温度分布规律分布规律.解解 采用极坐标系采用极坐标系, 定解条件与定解条件与q无关无关, 温度只温度只能是能是r,t的函数的函数, 可归结为求解下列定解问题可归结为求解下列定解问题2221201,01,0, (5.44)|0,0,(5.45)|1

18、,01.(5.46)rtuuuarttrrruturr 由物理意义, 还有条件|u|0, 令l=b2那么此时方程(5.47)的通解为22( )e,atT tC1020( )()().F rC JrC Yr因u(r,t)有界, C2=0, 再由(5.45)得J0(b)=0, 即b是J0(x)的零点. 以mn(0)表示J0(x)的正零点, 那么b=mn(0)(n=1,2,3,),综合以上结果可得 Fn(r)=J0(mn(0)r),2(0) 22(0) 2()()(0)0( )e( , )e().nnatnnatnnnT tCu r tCJr从而利用叠加原理, 可得原问题的解为2(0) 2()(0)01( , )e().n