集合及简易逻辑知识点归纳

1、知识点典型例题集合与简易逻辑集合1 .兀素与集合的关系：用或表小；2 .集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3 .集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集，点集(x,y)|y=x表小开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；4 .集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0,1,2,3,;描述法字母表示法：常用数集的符号：自然数集N;正整数集N*或N;整数集Z;有理数集Q实数集R;例1卜利关系式中止确的是()(A)(B)0(C)0(D)0xy3例2解集为.2x3y1例3设A4,2a1,a2,B9,a5,1a,已知

2、AIB9,数a的值.子集集合与集合的关系：用，=表示;A是B的子集记为AB;A是B的真子集记为ABo任何一个集合是它本身的子集，记为AA;空集是任何集合的子集，记为A空空集是任何非空集合的真子集；如果AB,同时BA,那么A=B;如果AB,BC,那么AC.n个元素的子集有2n个；n个元素的真子集有2n-1个；n个元素的非空真子集有2n2个.一、一一2一一例4设Mxxx20,xR,a=lg(lg10),则a与M的关系是()(A)a=M(B)Mua(C)aYM(D)Ma例5集合A=x|x=3k-2,kZ,B=y|y=3n+1,nCZ,S=y|y=6m+1,mCZ之间的关系是()(A)SUBUA(B)

3、S=BUA(C)SuB=A(D)SYB=A例6用适当的符号(、二、在、)填空：兀Q;3.14Q;RUR+R;x|x=2k+1,kZx|x=2k-1,kCZ。例7已知全集Ul=2,4,1-a,A=2,a2a+2.如果euA1,那么a的值为.交、并、补1 .交集AnB=x|xea且xeB;并集AUB=x|xeA,或xCB;补集CUA=x|xeU,且xA,集合u表示全集.2 .集合运算中常用结论：ABAIBA;ABAUBB瘫(AUB)(uA)I(?jB);期(AIB)(uA)U(?uB)card(AUB)card(A)card(B)card(AIB)例8设集合A=x|xCZ且-10WxW-1,B=x

4、|xCZ,且|x|W5,则AUB中的元素个数是()(A)11(B)1(C)16(D)15m4x3例9已知A=m|Z,B=x|N,22贝UAnb=例10已知集合M=y|y=x2+1,xCR,N=y|y=x+1,xCR,求MANo交、并、补例11若A=(x,y)|y=x+1,B=y|y=x2+1,则Anb=.例12设全集UR,AXx<6,则AI(euA),AU(UA).例13设全集U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=3,4,5B=4,7,8,求：(CuA)A(CuB),(CuA)U(CuB),O(AUB),Cu(AAB).1.绝对值不等式的解法：|Xa(a0)的解集是Xaxa,a0;|X

5、a(a0)的解集是xxa或xa,a0公式法：|f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x),|f(x)g(x)g(x)f(x)g(x).(2)几何法(3)定义法(利用定义打开绝对值)(4)两边平方2、一元二次不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a.0)的求解原理:二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解000二次函数yaxbxc(a0)的图象_2,yaxbx甘c2yaxbxc2yaxbxc义一元二次方程ax2bxc0a0的根有两相异实根x1,x2(x1x2)有两相等实根x1x22a无实根2axbxc0(aC)的解集xxx1或xx2x上2aRa

6、x2bxc0(a0)的解集xXxx2注：分式、高次不等式的解法：标根法14 .不等式x2axb0的解集是x2x3,则a,b15 .分式不等式20的解集为：.x73x16.求使J3lx二有意义的x取值围.12x14利用17.解不等式:|4x-3|>2x+1.“p或q”形式复合命题当pq同为假时为假，其他情况时为真即当p、q均为假时，p或q为假；当p、q中有一个为真时，p或q为真；“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反即当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。18.解不等式:|x-3|-|x+1|<1.19.解不等式:24xx1.3.四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“

7、若非p则非q"，逆命题为“若q则p"，逆否命题为"若非q则非p"。其中互为逆否的两个命题同真假，即x例25已知C0.设P：函数yC在R上单调递减.Q：不等式x|x2c|1的解集为R如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值围.20.已知方程2(k+1)3x22x+4kx+3k-2=0有两个负实根，数k的取值围.O1 .命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；2 .复合命题的形式：p且q,p或q,非p；（“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。“p且q

8、”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假即当q、p为真时，p且q为真；当p、q中有一个为假时，p且q为假。例21写出命题：“若x+y=5则x=3且y=2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。例22:“若ab5,贝Ia题.（填真、假）例23命题“若ab=0,则a、逆否命题为。例24：用反证法证明：已知x、y中至少有一个不小于1。2或b3”是命b中至少有一个为零”的充分条件必要条件一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.（否命题逆命题.）一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（原命题逆否命题.）4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。充分条件与必要条件1.定义

9、：当“若p则q”是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件；当“若p则q”的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件；当“若pq"，“若q则p”均为真时，称是q的充要条件；2.在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件,例26:x5x5或x2.(填例27:条件甲：x1且y2;条件乙：xy乙是甲的条件.例28"aw3”是cosa丰COS3”的（）)3,则哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象（A）充分不必要条件

10、（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件2例29已知p：方程x+ax+b=0有且仅有整数解，b是整数，则p是4的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件q：a,组成集合q,则当AB时，p是q的充分条件；BA时，p是q的充分条件；A=B时，p是q的充要条件；注：当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。小围推出大围；大围推不出小围.例17分析：关键是去掉绝对值.方法1:原不等式等价于4x3>04x32x或4x31(4x0,即3)2x1x>3,八1一一一，4,，x>2或x<-，原不等式的解集为133化法)分

11、析：把右边看成常数c,就同|axbc(c答案见下一页c,14x-3<-(2x+1)x>2或x<§,.原不等式的解集为例18分析：关键是去掉绝对值.方法当1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)x1时，x30,x10(x当1<x3时，(x3)(x1)13)(x1)1.一1x|x>2或xJ3.方法2:(整体换元转0)一样|4x-3|>2x+1-1x|x>2或x<-.31.1.4<11x124x-3>2x+1或x3数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案例1选A；例2填(2,1)注：方程组解的集合应是点集.例3解：.A

12、IB9,，9A.若2a19,则a5,此时A4,9,25,B9,0,4,AIB9,4，与已知矛盾，舍去.若a29,则a3当a3时，A4,5,9,B2,2,9.B中有两个元素均为2,与集合中元素的互异性矛盾，应舍去.当a3时，A4,7,9,B9,8,4，符合题意.综上所述，a3.点评本题考查集合元素基本特征确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。例4c例5c例6，u,u,例7填2例8c例9例10解：.M=y|y=x2+1,xCR=y|y>1,N=y|y=x+1,xR=y|yR/.MAN=M=y|y>1注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认

13、清集合中元素的特征。MN均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M,N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合y|y=f(x),xCA应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合(x,y)|y=x2+1,xCR是有本质差异的，后者是点集，表示抛物.2线y=x+1上的所有点，属于图形畴。集合中兀素特征与代表兀素的字母无关，例如y|y>1=x|x>1。例11填注：点集与数集的交集是.例12埴,R例13解：CuA=1,2,6,7,8,CuB=1,2,3,5,6,.(CUA)n(CUB)=1,2,6,(CuA)U(

14、CuB)=1,2,3,5,6,7,8,AUB=3,4,5,7,8,AAB=4,.CU(AUB)=1,2,6,CU(AAB)=1,2,3,5,6,7,8例14a5,b6;例15原不等式的解集是x|7x353例16xR|3&x或x0322当x>3时，(x3)综上，原不等式的解集为也可以这样写:解：原不等式等价于解集为力，的解集为(x1)x|xx(x113)(xx|<x<32方法2:数形Z合：从形的方面考虑,-4<1R，x|x)3或1)11x3(x3)(x1)1或x3(x3)(x1)的解集为x|x3,原不等式的解集为x|x>-.不等式|x-3|-|x+1|<

15、;1表示数轴上到3和-1两点的距离之差<54小于1的点.-1O123例19答:例20解:原不等式的解集为x|1x>2.x|xW0或1<x<2要原方程有两个负实根，必须1或2k1，实数k的取值围是3例21解：逆命题：若否命题：若x+y逆否命题：若x3例22答：真解：逆否：a=2且b=3例23答：若a、b都不为0,则abwo2(k1)00Xix20x1x20k|-2<k<-1k10k2k24k2(k1)3k202(k1)八2或一<k<1.31k10或k12f一或k13则x+y=5(真)2(真)5(假),则a+b=5,成立，所以此命题为真例24解：假设

16、x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y>2矛盾，假设不成立，x、y中至少有一个不小于1注反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件(不能同时成立，但必有一个成立)，所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。例25解：函数y cx在R上单调递减0 C不等式x |x 2c| 1的解集为R函数y x2 x 2c, x > 2c,2 c,x 2c,函数y不等式|x x 2c | 1的解集为 R 2c一.1 .则0 c< 1.如果P不正确，且Q正确，则c21.|x 2c|在R上恒大于

17、1.x | x 2c |在R上的最小值为2 c.11 c .如果P正确，且Q不正确，21.所以c的取值范围为(0, -1,).2例26答：x5x5或x2.例27答既不充分也不必要解：.“若x+y=3,则x=1或y=2”是假命题，其逆命题也不成立.命逆否命题：“若x1或y2,则xy3”是假命题，否命题也不成立故xy3是x1或y2的既不充分也不必要条件.例28选B例29选A1、当别人说你“有缺陷”时，你就“疯狂地战胜它”吧!疯狂就是：当别人抱怨时你练习。当别人疑惑时你坚信。”“Practicewhileothersarecomplaining.Believewhileothersaredoubti

18、ng.从一个人的“反弹爆发力”上，我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍。她因为身高只有1米5,曾经被省队和国家队都拒绝过，她父亲就对她说：“你个子矮，就必须把球打得快，这样才有进攻性；你个子矮，别人跑一步，你就要跑两步，所以你一定要跑得快。”因为她要克服个子矮的弱点，所以在训练时，她比任何人都要付出多两倍的努力，每天要换几次衣服，晚上趁别人睡下时，还要再悄悄躲进训练房苦练到晕倒为止。邓亚萍说：“我打球打赢了还不一定能进国家队，更别说输了。所以我打球很凶狠，那是逼出来的。”假如你感觉自己有某方面缺陷弱点时，你就疯狂地战胜它吧，像邓亚萍一样，当别人休息时你练习；当别人疑惑时你坚信；当别人放弃时你坚持苦练短

19、处，把短处变得更快、把短处变得更狠，从而把短处变成长处！邓亚萍说：“我不比别人聪明，但我能管住自己。我从小就形成了一旦设定目标，就绝不轻易放弃的习惯。也许，这就是我能赢得成功的原因。”当你看到这里时，也请怒吼一声：“我要管住自己的软弱！一旦设定目标就绝不放弃！(NeverGiveUp)成功就是坚持!文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复,只能自己阅读！文档附件上传成功，但与已有文档重复，只能自己阅读！

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