初中数学胡不归问题

1、胡不归问题【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A-B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着胡不归?胡不归？何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的胡不归问题【问题背景】PA+kPB型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为PA+PBi和

2、最短问题，就可用我们常见的饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。【知识储备】线段最值问题常用原理：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短;【模型初探】（一）点

3、P在直线上运动I胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sinZMBN=k,P为角/MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BMBN的同侧，连接AP,则当PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定向PB的大小，过点P作PQLBN垂足为Q,贝UkPB=PBsin/MBN=PQ,本题求PA+kPB的最小值转化为求PA+PQ勺最小值（如图1-1-2）,即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3）,本题得解。思考：当k值大于1时，PA+kPB线段求和问题该如何转化呢?提取系数k即可哦！!【模型初探】（二）点P在圆上运动阿氏圆”问题如图所示2-1-1,的半径为r,点A、B都在

4、外，P为上的动点,已知r=kOB.连接PAPB,则当PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确2-1-2）在线段OBAB-图2-1-3上截取OC使OC=kr,则可说明ABPO与APCO相似，即kPB=PC本题求PA+kPB的最小值转化为求PA+PC勺最小值，即A、P、C三点共线时最小（如图2-1-3）,本题得解。【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足PA=kPB（k为）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆”。【模型类比】 胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sin/CAE过终点作所构角边的垂线 阿氏圆”构造共

5、边共角型相似ABAC构造线段构造PAB4CAP推出PA2即：半径的平方=原有线段典型例题一.选择题（共2小题）1 .如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E,且tan/EBA=且，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE3上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到2 .如图，ABC在直角坐标系中，AB=AC,A（0,272）,C（1,0）,D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为ZDX，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）y1ABOCA.（0,V2）B.（0,gC

6、.（0,gD.（0,学）二.填空题（共1小题）3.如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A,距离公路5小千米的地方有一居民点B,A、B的直线距离是10丹千米.一天,居民点B着火，消防员受命欲前往救火.若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B.（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.）第6页（共9页）评卷人得分三.解答题(共5小题)4 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,0),B(0,-6)，C(2,0),其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式

7、及其顶点坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD,则,PB+PD的最小值为;(3)M(x,t)为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；5 .如图，在ACE中，CA=CE,/CAE=30,。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.(1)试说明CE是。O的切线；(2)若ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。O的直径AB;(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD,当向CD+OD的最小值为6时，求。O的直径AB的长.第7页(共9页)6 .如图，已知抛物线y=k(x+2)(x-4)(k为常数，且k0)与x轴从左至8右

8、依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=-Ex+b与抛物3线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF,一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动7 .(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD卷PC的最小值和PD-次的最大值；(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD+|pC的最小值为,PD-9c的最大值为.(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,/B=60,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，那么PD+FC的最小值为,PD-的最大值为.第8页(共9页)8 .如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a*0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0m4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P