2.1.1椭圆的定义与标准方程ppt课件

1、仙女座星系星系中的椭圆星系中的椭圆“传说中的飞碟传说中的飞碟生活中的椭圆“嫦娥二号于2019年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空 2F1F MM 探求：探求： 2F1FM 在在平平面面内内到到两两定定点点的的距距离离之之和和等等于于定定长长( (大大于于两两定定点点距距离离) )的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做椭椭圆圆。要要素素：( (1 1) )平平面面内内( (2 2) )两两定定点点 不不重重合合 ( (3 3) )常常数数大大 于于两两定定 点点的的距距离离 2F1FM 在在平平面面内内到到两两定定点点的的距距离离之之和和等等于于定定长长( (大大于于两两定定点点距距离

2、离) )的的点点的的轨轨迹迹叫叫做做椭椭圆圆。思思考考：与与圆圆相相比比其其定定义义有有何何联联系系与与区区别别？oyx 1F 2F),(yxM oyx 1F 2F),(yxM M F F 1 F F 2 归纳概念归纳概念回忆圆标回忆圆标准方程推准方程推导步骤导步骤 提出了问题就要试着解决问题提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y表示曲线上任意一点表示曲线上任意一点M的坐标的坐标;2、写出适合条件、写出适合条件 PM） ;3、用坐标表示条件、用坐标表示

3、条件PM），列出方程），列出方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy准绳：尽可能使方程的形式简单、运算简单；准绳：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简简约约”)如图，建立直角坐标系如图，建立直角坐标系xOy，使使x轴经过点轴经过点F1、F2，并且，并且点点O与线段与线段F1F2的中点重合的中点重合.设点设点M(

4、x, y)是椭圆上任一点，是椭圆上任一点，椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c(c0).2. 椭圆标准方程的推导：椭圆标准方程的推导：讲授新课讲授新课oyx 1F 2F),(yxM xF1F2M(x , y)0y设M (x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . M与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样化简？）（问题：下面怎样化简？）aMFMF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxMFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程2

5、22222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程(ab0).12222byax椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：是是F1(c, 0)、F2(c, 0)，且，且c2a2b2.它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦

6、点轴上，焦点讲授新课讲授新课oyx 1F 2F),(yxM 讲授新课讲授新课 如果使点如果使点F1、F2在在y轴上，点轴上，点F1、F2的坐标是的坐标是F1(0,c)、F2(0, c)，则椭圆方程为：则椭圆方程为：(ab0).12222 bxayoyx 1F 2F),(yxP oyx 2F 1F ),(yxP12222 byax12222 bxay如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？ 椭圆的方程 012222 babyax与与 222210yxabab 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上 椭圆标准方程中椭圆标准方程中x2项的分母较大；项的分母较大；

7、椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上轴上 椭圆标准方程中椭圆标准方程中y2项的分母较大项的分母较大椭圆的方程OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：椭圆的标准方程的特点：（1椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。椭圆的标准方程椭圆的标准方程定义定义图形图形方程方程焦点焦点a、b、c之之间的关间

8、的关系系 0 12222 babyax 0 12222 baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a (2a|F1F2|)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)a2=b2+c2分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上 22221.153xy ，则a ，b ；22222.146xy ，则a ，b ；5346口答：则a ，b ；则a ，b 37 169. 322yx6 147. 422yx2例.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434)3(22 yx解：(1)椭圆方程具有

9、形式12222byax其中1, 2ba因此31422bac两焦点坐标为)0 , 3(),0 , 3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42 a,10|21 PFPF如图:求满足下列条件的椭圆方程解：椭圆具有标准方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程为192522yx例4. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程8|21FF1169144222 yx）11625122 yx）答答:在在 x 轴上轴上(-3,0)和和(3,0）答答:在在 y 轴上轴上(0,-5)和和(0,5）1132222 mymx）答答:在在y 轴上轴上(0,-1)和和(0,

10、1)焦点在分母大的那个轴上。焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。哪个轴上，写出焦点坐标。2.用定义判断下列动点用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。的轨迹是否为椭圆。(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为的距离之和为6的点的轨迹。的点的轨迹。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为4的点的轨迹。的点的轨迹。(4)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹为椭圆。的轨迹为椭圆。因因|MF1|+

11、|MF2|=4=|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不是椭圆的轨迹不是椭圆 (是线段是线段F1F2)。，故故点点MM的的轨轨迹迹为为椭椭圆圆2 22 2| |F FF F| |3 3| |MMF F| | |MMF F| |因因2 21 12 21 1 (3)到到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为的距离之和为3的点的轨迹。的点的轨迹。因因|MF1|+|MF2|=4|F1F2|=4，故点，故点M的轨迹不存在。的轨迹不存在。例例1、椭圆的两个焦点的坐标分别是、椭圆的两个焦点的坐标分别是(4, 0 )、( 4 , 0 )，椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。求椭圆的标准方程。 12yoFFMx解：解： 椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为: 1=by+ax22221=9y+25x22) 0ba (例例2、两个焦点的坐标分别是、两个焦点的坐标分别是0，-2）、（）、（0，2） 并且椭圆经过点（并且椭圆经过点（-3/2，5/2）,求椭圆的方程。求椭圆的方程。解：已知焦点为解：已知