常微分方程的符号解ppt课件

1、常微分方程的符号解常微分方程的符号解华东师范大学华东师范大学 李志斌李志斌参考文献 Differential Equations and Computer Algebra M.F. Singer, editor, Academic Press, 1991. 计算机代数与微分方程会议论文集，意大利，1990.5 设设 为一函数域，对于为一函数域，对于 中给定的中给定的函数函数 ，一阶常微分方程一阶常微分方程BAYY 的解为的解为AABYeeBA,问题问题: 如何设计算法获得闭形式的解？如何设计算法获得闭形式的解？ 设设 为多项式，考虑一阶常微为多项式，考虑一阶常微分方程分方程假设假设希望求出此方

2、程的多项式解，如何设计算法？希望求出此方程的多项式解，如何设计算法？TSR,.TZSZR.),deg(,),deg(,),deg(lxTnxSmxR 基本思想基本思想 根据方程本身确定多项式解的次根据方程本身确定多项式解的次数。将次数确定的多项式解带入方程，数。将次数确定的多项式解带入方程，利用待定系数方法得到一个线性代数利用待定系数方法得到一个线性代数方程组，通过解代数方程组获得原微方程组，通过解代数方程组获得原微分方程的多项式解。利用这个算法可分方程的多项式解。利用这个算法可以求得多项式解，或证明没有这样的以求得多项式解，或证明没有这样的解。解。 设设 为有理式，为有理式，R.H.Risc

3、h 于于1969年提出了一个计算一阶常微分方年提出了一个计算一阶常微分方程程有理函数解的算法。其基本思想是：由有理函数解的算法。其基本思想是：由 的分的分母计算出母计算出 的分母，进而将问题转化为多项式系数的分母，进而将问题转化为多项式系数的一阶常微分方程。利用的一阶常微分方程。利用 Risch 算法可以计算出算法可以计算出有理函数解，或证明没有这样的解。有理函数解，或证明没有这样的解。BA,BYAY BA,YRisch 思想思想 当当 给定后，分别对其分母给定后，分别对其分母作无平方因子分解作无平方因子分解其中其中 两两互素，则可计算未知函数两两互素，则可计算未知函数 分母因子分母因子的重数

4、的重数 ，使得，使得 BA,iiiiiiDBDA)(den,)(deniiD)(den),(denBAY.)(deniiiDY)(den)(den)(den)(den)(den)(den2BBAYYAYYYYYnnnnn 将将 的上述形式代入原方程，得的上述形式代入原方程，得 两端同乘两端同乘 其中其中 ，则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。则可将原方程化作多项式系数的一阶常微分方程。iiiDYBA,2maxiiiiiRisch 思想思想.1112xxYxY2) 1(1,1xxBxA考虑一阶常微分方程考虑一阶常微分方程此时此时 的分母的无平方因子的的分母的无平方因子的分解为分解为.)

5、1()(den,) 1()(den2101xxBxxA21) 1()(denxxY设设 依照算法可计算得依照算法可计算得1 /,max, 0, 0; 0; 1, 1min; 2, 0; 01 /,max, 1, 1:5; 1:4; 0, 1min:3; 1, 1:2; 0:1222222222222222111111111111111DWDWWDWDWMWMMMM 于是于是 的分母为的分母为 . 记记 的分子为的分子为 ,代代入原方程得入原方程得xZxZxx)(2去分母得去分母得YY) 1( xxZ2222) 1(1) 1() 1() 12() 1(xxxxZxxZxZxx. 1/,max,

6、1/, 12:D3; 0)1(,min, 1, 1, 2:D2; 1, 1, 0:D1mnmnmnrspprsmnmlnlplnmrsp 设设 应用计算多项式应用计算多项式解解 次数的算法次数的算法Z,),1(xTxSxxR于是于是 为待定常数。为待定常数。babxaZ,. 0) 1(22xbaxbxaxaxax代入方程，得线性方程组代入方程，得线性方程组 由此解得由此解得 于是原方程的解为于是原方程的解为前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。前者为齐次方程的通解，后者为非齐次方程的特解。.11) 1() 1(xxbxxbxbY,1 ba1212222xxYxxY利用利用 Risch

7、Risch 算法可计算常微分方程算法可计算常微分方程的通解为的通解为.) 1( 321232xxxdYP212 L11 P212 L-3P213 L2P213 L9，12，17P214 L13P216 L11P216 L13 ddnddnAYBAYB2ddddndddnBDYBYYDBBDYBYDB211nnddnnddYAYAYBAYAY, 1min:, 1min:111111/DWDWddYYYYMichael F. SingerProfessorDepartment of Mathematics North Carolina State UniversityRaleigh, NC 276

8、95-8205 设设 考虑两种情形考虑两种情形 ,),deg(pxZ 1. 即即 , ),deg(), (degxSZxRZ., 1maxlpnpm 故故 .),1(minnlmlp. 1 mn,1),(degpnpmxSZRZ,1),(degpnpmxSZRZ 2. 即即 , ),deg(), (degxSZxRZ. 1 mn假假设设假假设设 . nlp. ),(lc),(lcxRxSp那那么么那那么么 D2: 求求 的次数的次数 ,且令且令D3: 假设假设 ,且且 为整数为整数,则令则令 D1: 令令 ,并设并设 的首项系数为的首项系数为0:p计算多项式解次数算法计算多项式解次数算法 ln

9、m,) 1(,min:mlnlp1 nmmnrsmnrspp,max:SR,nmsSrR)(lc,)(lcTSR, 设 为 分母中无平方部分的某个不可约因子。于是dndnBDBBADAA, 假定 为有理函数，又设 也是 的分母的因子，期望确定 使得 可以表示成dnYDYYBA,DDYYYdnddnndddndnBDBAYDYAYDDYYDYDYY21 将将 的上述形式代入原方程，得的上述形式代入原方程，得 注意注意 为无平方因子，它与上式中其余各个为无平方因子，它与上式中其余各个部分互素，因此与下式也互素部分互素，因此与下式也互素DYBA,ddndnDYYDYDYYY 由此可以证明由此可以证明当当当当当当1011时，时，时，时，