高数大一上册总复习ppt课件

1、 总复习总复习 函数与极限函数与极限（一函数的定义（一函数的定义（二极限的概念（二极限的概念（三连续的概念（三连续的概念主要内容主要内容函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性1、求定义域的常用方法：、求定义域的常用方法：1.分式的分母不能为零。分式的分母不能为零。(分母分母0)2.在偶次根式中，被开方式在偶次根式中，被开方式 03.对数函数的真数对数函数的真数04.若干项组成的函数式，它的定义域

2、是各若干项组成的函数式，它的定义域是各项定义域的交集部分。项定义域的交集部分。自变量的取值要使自变量的取值要使左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf当当0 x时时 ,等价无穷小等价无穷小xxsinxxtanxex1- -xx)1ln(+ +22xcos1x- -利用等价无穷小可以简化某些极限的

3、运算利用等价无穷小可以简化某些极限的运算 xarctanxarcsinxx使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：使用洛必达法则求未定型的极限时，应注意以下几点：.00)1(未未定定型型或或是是否否属属于于每每次次使使用用法法则则，需需检检查查 (2) 如果有可约去的公因子如果有可约去的公因子, 或有非零极限的乘积因子，或有非零极限的乘积因子，可以先约去或提取出来求极限，以简化演算可以先约去或提取出来求极限，以简化演算 .时时，不不存存在在但但不不是是 )()(lim)3()(0 xgxfxxx)()(lim)(0 xgxfxxx 不不能能判判定定此时应使用其它方法求极限此时应使用其它

4、方法求极限.,也不存在也不存在n消去零因子法消去零因子法 ( (通过约分、通过约分、 通过有理化通过有理化) )n无穷小因子分出法无穷小因子分出法n利用无穷小的性质利用无穷小的性质n复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则n无穷小和无穷大之间的关系无穷小和无穷大之间的关系解解例例.321lim221- -+ +- -xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小- -x)1)(3()1)(1(lim321lim1221- -+ +- -+ + - -+ +- -xxxxxxxxx31lim1+ + + x

5、xx.21 )00(型型n( (消去零因子法消去零因子法) )n 通过约分通过约分例例 求求22011limxxx+- 22220022111111limlim11xxxxxxxx+-+-+2022lim11xxxx+201lim11xx+12解：解：型型00n(消去零因子法消去零因子法)n 通过有理化通过有理化小结小结: :为非负整数时有为非负整数时有和和当当nmba, 0, 000 + + + + + + +- - - , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当当当当无穷小分出法无穷小分出法: :以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次

6、幂除分子子, ,分母分母, ,以分出无穷小以分出无穷小, ,然后再求极限然后再求极限. .例例.147532lim2323- -+ + + + xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx- -+ + + + - -+ + + + .72 n(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)小结常见极限类型求解方法：小结常见极限类型求解方法：型型 1型型01型型10型：型：00型：型： 0 0 分子、分母同时除以最高次方分

7、子、分母同时除以最高次方消去分子或分母趋于零的因式消去分子或分母趋于零的因式0 型型0 -型型通分进行求解通分进行求解 连续与可导连续与可导1、连续与可导、连续与可导的的某某个个邻邻域域内内有有定定义义，在在点点设设函函数数0)(xxf)()(lim00 xfxfxx=假设假设则称函数则称函数)(xfy=在在0 x 点点延续延续.)(0的的连连续续点点称称为为xfx【注】【注】)()(lim00 xfxfxx - - , )()(lim00 xfxfxx + +延续延续.)()(lim000hxfhxfh- -+ + .)()(lim000 xxxfxfxx- - - xxfxxfxyyxxx

8、x - - + + )()(limlim00000 或或 0|xxy )(0 xf 0 xxdxdy 或或0)(xxdxxdf 或或导数导数2.2.右导数右导数: :单侧导数单侧导数1.1.左导数左导数: :;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - + + - - - - - - - -;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx - - + + - - - + + + + +2、间断点分类、间断点分类：（一第一类间断点（一第一类间断点(左、右极限均存在左、右极限均存在)但不相等但不相等;2.跳跃间断点

9、跳跃间断点1.可去间断点可去间断点00+-均存在均存在与与,)(lim)(limxfxfxxxx存在存在 ,)(lim0 xfxx（二第二类间断点（二第二类间断点( 左、右极限至少有一个不存在左、右极限至少有一个不存在 );()(lim00 xfxfxx 但但;)()(lim00处处无无定定义义在在存存在在，但但或或xxfxfxx振荡间断点振荡间断点无穷型间断点、无穷型间断点、 导数与微分导数与微分求求 导导 法法 那么那么基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy + + 高阶导数高阶导数切线方程为切线方程为法线方程为法线方程

10、为).)(000 xxxfyy- - - -).()(1000 xxxfyy- - - - - -)0)(0 xf0)(0 xf若若处处的的在在点点则则曲曲线线)(,()(00 xfxMxfy 切切线线方方程程为为法法线线方方程程为为0 xx 0yy )(0 xf若若处处的的在在点点则则曲曲线线)(,()(00 xfxMxfy 切切线线方方程程为为法法线线方方程程为为0 xx 0yy 1 1、求导法则、求导法则(1) (1) 函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2) (2) 反函数的求导法则反函数的求导法则.)(1)(),()(xxfxfyyx 则有则有的反函数为的反

11、函数为如果函数如果函数(3) 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的导导数数为为则则复复合合函函数数而而设设(4) 对数求导法对数求导法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法然后利用隐函数的求导方法求出导数求出导数.适用范围适用范围:.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu(5) 隐函数求导法则隐函数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导和对数求导法则复合函数求导法则直接对方程两边求导和对数求导法则,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若

12、参参数数方方程程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd - - (6) 参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则2、导数与微分的关系、导数与微分的关系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点可微的充要条件是函数可微的充要条件是函数在点在点函数函数3、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud- -

13、 + + 4、 微分的基本法则微分的基本法则基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221- - - - - - - - dxxxarcddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(+ +- - + + - - - - - 微分中值定理1、

14、罗尔定理、罗尔定理 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, （2在开区间在开区间 内可导内可导, ),( ba),()()3(bfaf ,),( 内内至至少少存存在在一一点点那那末末在在ba使使得得0)( fxyabo)(xfy AB罗尔定理的几何解释：罗尔定理的几何解释：1 2 C;,)()1(上上是是一一条条连连续续曲曲线线在在baxfy ;),()2(轴轴的的切切线线内内处处处处有有不不垂垂直直于于曲曲线线在在xba;)3(度度相相同同曲曲线线在在两两个个端端点点处处的的高高.是是水水平平的的，上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CA

15、B在在该该点点处处的的切切线线如下图如下图:2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理)()()(abfafbf- - - - 如果函数如果函数 )(xf满足条件：满足条件：（1在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续, （2在开区间在开区间 内可导内可导, ),( ba那末至少有一点那末至少有一点),(ba 使得使得).()()( fabafbf - - -或或拉格朗日中值定理几何解释拉格朗日中值定理几何解释:.,ABCAB平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切线线上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧ABxoy)(xfy ba1 2 1C 2C 例例上上满满足足在在区区间间验验证证函函数数 2

16、, 0cos)( xxf拉格拉格 朗日中值定理朗日中值定理.解解 ,2, 0cos)(上上连连续续在在区区间间因因为为函函数数 xxf内内可可导导，在在)2,0( 满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理故故)(xf.的的条条件件xxfsin)(- - 而而02)0()2(- - - ff)0cos2(cos2- - 2- - ，由由 2sin- - - - 2arcsin 解解得得)2, 0( )()()( fabafbf - - -. 并求并求函数的单调性、最值和极值、凸凹性1、函数的单调性、函数的单调性定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减

17、少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法(2)单调区间求法单调区间求法导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 指出：利用函数单调性的判定可以证明某些不等式指出：

18、利用函数单调性的判定可以证明某些不等式. .例例证证.tan,20 xxx 试证试证时时当当 .tan)(xxxf- - 设设,2,0)(连连续续在在显显然然 xf内内可可导导，在在 2,0 1sec2- -x )(xfx2tan 0 .2,0)(上上单单调调增增加加在在故故 xf,20时时当当 x)0()(fxf 0 .tanxx 时时，当当即即20 x2、函数极值的求法、函数极值的求法定理定理1(1(必要条件必要条件) )留意：留意：逆定理不成立逆定理不成立. .例如例如0)0(03 yxxy处处在在.03的的极极值值点点不不是是函函数数但但xyx o3xy 阐明：阐明： 对于连续函数对于

19、连续函数,导数不存在的点也可能是函数导数不存在的点也可能是函数yxo| xy 例如，例如，.0|处处有有极极小小值值在在函函数数 xxy.0处处不不可可导导但但在在 x称称为为的的点点使使00)(xxf .驻点驻点函数在定义域中的驻点及不可导点统称为函数在定义域中的驻点及不可导点统称为 极值可疑点极值可疑点.指出：指出： 连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值连续函数仅在极值可疑点上可能取得极值.的极值点的极值点. 定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x+ +- - -+ +( (是极值点情形是极值点情形) )xyoxyo0 x0 x+ +- - -+ +(不是极

20、值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :);()()1(xfxf 的的定定义义域域，求求导导数数确确定定函函数数的的极极值值可可疑疑点点；求求出出函函数数)()2(xf极极值值，在在极极值值可可疑疑点点处处是是否否有有，确确定定按按定定理理)(2)4(xf分分成成若若干干个个部部分分区区间间，用用极极值值可可疑疑点点将将定定义义域域）（3号号；在在每每个个部部分分区区间间上上的的符符并并确确定定)(xf 定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求求导导数数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()()3

21、(判判断断极极值值点点该该点点的的符符号号在在在在驻驻点点左左右右的的正正负负号号或或检检查查xfxf .)4(求求极极值值步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;留意留意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)3 最大值、最小值问题最大值、最小值问题实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:1)建立目标函数建立目标函数;2)求最值求最

22、值;（或或最最小小）值值函函数数值值即即为为所所求求的的最最大大点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 4、函数的凸凹性、函数的凸凹性方法方法1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即为拐点即为拐点点点变号变号两近旁两近旁xfxxfx .

23、)(,(,)()2(000不不是是拐拐点点点点不不变变号号两两近近旁旁xfxxfx 方法方法2:.)()(,(, 0)(, 0)(,)(00000的拐点的拐点曲线曲线是是那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 不定积分积分法积分法原原 函函 数数选选择择u u有有效效方方法法基基本本积积分分表表第一换元法第一换元法 第二换元法第二换元法直接直接积分法积分法分部分部积分法积分法不不 定定 积积 分分几种特殊类型几种特殊类型函数的积分函数的积分1、原函数、原函数定义定义原函数存在定理原函数存在定理2、不定积分、不定积分(1) 定义定义CxFdxx

24、f+ + )()(2) 微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的. )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( + + CxFdxxF)()( + + CxFxdF)()( dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()( dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质(4)、基本积分表、基本积分表 + + kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1- - + + + + + Cxdxx + + Cxxdxln)3( + + dxx211)4(Carctgx+ + - - dxx211)5(Cx

25、 + +arcsin xdxcos)6(Cx + +sin xdxsin)7(Cx + +- -cos dxex)10(Cex+ + xdx2cos)8( xdx2secCtgx+ + xdx2sin)9( xdx2cscCctgx+ +- - dxax)11(Caax+ +lnCaxarctgadxxa+ + + + 11)12(22Cxaxaadxxa+ +- -+ + - - ln211)14(22Caxdxxa+ + - - arcsin1)15(22Caxaxadxax+ + +- - - - ln211)13(224、第一类换元法、第一类换元法3、直接积分法、直接积分法由定义直接利

26、用基本积分表与积分的性质求不由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法定积分的方法.常见凑微分公式常见凑微分公式 ：(2) xdxdxcossin- - (3) xdxdxsincos (5) |ln1xddxx (6) )(1baxdadx+ + (1) )(212baxdaxdx+ + )(d11bxndxxnn+ + - -(4) xxdsec)7(2xdtan例例. 求求.dtan xx解解: xxxdcossin - - xxcoscosdCx + +- - |cos|ln?dcot xx xxxsindcosCx + + sinln xxsinsind xxdtan类似类

27、似.)12(: + + dxxtan求求思思考考5、第二类换元法、第二类换元法. 1nbax + +被被积积函函数数含含有有根根式式nux 可采用令可采用令当被积函数含有两种或两种以上根式当被积函数含有两种或两种以上根式 时，时，. 2lkxx,为各根指数的最小公倍数）为各根指数的最小公倍数） （其中（其中n2222. 3axxa - -或或被被积积函函数数含含有有根根式式.1. 4tx 采用倒代法，令采用倒代法，令当分母的阶较高时，可当分母的阶较高时，可不定积分的分部积分公式：不定积分的分部积分公式：uvvuvudd - - 1. 适用被积函数为：两类函数相乘；适用被积函数为：两类函数相乘；

28、6、分部积分法、分部积分法2. “(反对反对)幂幂(指三指三)” ，前为，前为 u定积分定积分阐明：阐明： badxxf)( badttf)( baduuf)(即即2. 规定规定 - - baabdxxfdxxf.)()()1( aadxxf0)()2(3. 可积的充分条件：可积的充分条件：,)(. 1 badxxf是是一一个个数数定定积积分分它只取决于积分区间它只取决于积分区间和被积函数，和被积函数， 而与积分变量用什么字母表示无关而与积分变量用什么字母表示无关.上连续上连续在在当当,)(baxf断点，断点，或只有有限个第一类间或只有有限个第一类间 假设假设 f (x) 在在a,b上连续，则积分上限函数上连续，则积分上限函数 dttfxxa )()(在在a,b上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数 dttfxxa)()()(xf 1、积分上限函数及其导数、积分上限函数及其导数其他变限积分求导其他变限积分求导: