最新二项式知识点+十大问题+练习1(含答案)

1、1二项式定理：(a+b)n =C：an +器叫川| +cnan=br +川+C：bn(N),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 Cnr (r =0,1,2,n). 项数：共(n+1 )项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第r 1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用Tri二C；anbr表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a - b)n与(b - a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，

2、是升幕排列。 各项的次数和等于 n . 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是 需,4,扩，,cn,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令 a=1,b = x,(1+x)n =丄 +cnx+C：x2 十川 +C：xr 十川+C；xn( n nJ令 a=1,b = x, (1x)n =COUx+Cfx2川+C；xr +|卄+(1)nC；xn( n5. 性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等。 二项式系数和：令a =b =1,则二项式系数的和为 C： CC；C： 川 Cn = 2n ,变形式 cn +Cn2 +川 +Cnr

3、 +川 +Cnn=2n-1。 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a =1,b = -1，则 Cn0 -C1 C； -C'(-1)nC： =(1-1)n = 0 ,从而得到：c0 +C； +C：i = cn +C； +IH+Cn2卅 + = 1x:2n = 2n_l2 奇数项的系数和与偶数项的系数和：nOnOlnl2n22nOn12n(a x) Cna xCna_xCna_x. Cna xa0a1xa2xanxnOOn1n22n_2nnOn21(x a) Cna xCnax 一 Cna xCna xanxa2x a1x a0令x = 1,贝ao- ai-

4、a2 a3 a* = (a T)令x - -1,贝卩a0_aj a2-a3HI an = (a _1)n得,a0 a2 玄川| an二一卩（a （奇数项的系数和） 2一得,a1 a3 玄5川 an = 一 （偶数项的系数禾口 ）2n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n n 1如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cj2 , Cn2同时取得最大值。 系数的最大项：求（a bx）n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项f Ar .1 一 A系数分别为AA,Am，设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。I A

5、> AAr 1 - Ar 川2题型一：二项式定理的逆用；例：CnCn6 c362川-Cn6nJ1二.练：C1 - 3C2 9C；屮| - 3nJC =.题型二：利用通项公式求 xn的系数；例：在二项式（4 1 3 x2）n的展开式中倒数第 3项的系数为45 ,求含有x3的项的系数?1练：求（x2）9展开式中x9的系数？2x题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？2jx1 6练：求二项式（2x）6的展开式中的常数项？2x1练：若（x2 +）n的二项展开式中第 5项为常数项，则 n =.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式（X-3、X

6、）9展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若（X_寻）n展开式中偶数项系数和为 -256，求n .Jx练：若（3 1 - 5 12）n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。题型六：最大系数，最大项；1例：已知（ 2x）n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展2开式中二项式系数最大项的系数是多少？练：在（a b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？x 1练：在（）n的展开式中，只有第 5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？2皈例：写出在（a -b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？1例：若展开式前

7、三项的二项式系数和等于79，求（一 2x）n的展开式中系数最大的项？2练：在（1 - 2x）10的展开式中系数最大的项是多少？题型七：含有三项变两项；25例：求当（x 3x 2）的展开式中x的一次项的系数？练：求式子(xV 2)3的常数项?题型八：两个二项式相乘;例：求（1 - 2x）3（1 -x）4展开式中x2的系数.练:求(13 x)6(1）10展开式中的常数项练：（四川省雅安中学2015届高三开学考试数学理3） （2x 1）4的展开式中含x的奇次方项的系数和等于（）A.44 B. 25C.41D.40题型十：赋值法；_A例：设二项式（331 -）n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系

8、数的和为 s,若xp s二272 ,则n等于多少？练：若"3（X - '的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少？I Jx丿例：若（12x）2009 二 a。yx1 V2X2 V3X3 | a2009X2009 （x R）,则学-的值为练： 若（x2）5 =a5x5 +a4x4 +a3x3 +a2x2 +6X1 +a0,贝Ua +a2 +a3 +a4 +a5 =.11.（山东省潍坊市第一中学 2014届高三1月期末考前模拟数学理 10）若292311x 1 ix3 i； =a0 - a1 -a2 x2 i 亠a3 x 2 i 亠 亠 a“ x2,贝Va-i a2

9、亠 亠的值为（A） 0（B） -5（C） 5（ D） 255题型十一：整除性；2n _2*例：证明：3-8n-9（nN ）能被64整除训练题：1. （山东省潍坊市第一中学2014届高三1月期末考前模拟数学理 11）某班同学准备参加学校在寒假里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五 个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一则不同安排方法的种数是A.48B.24C.36D.642. （ 2014-2015江西省景德镇高三第二质检数学理13）（仁x）

10、（2 x丄）5的展开式中的常数x项为.3. （福建省莆田一中、泉州五中、漳州一中2015届高三上学期三校联考数学理13）从6名候选人中选派出3人参加A、B、C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有 种.4. （ 2015年2月甘肃省部分普通高中高三第一次联考理15）从某校数学竞赛小组的10名成员中选3人参加省级数学竞赛，则甲、乙2人至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 （用数字作答）.1、(x 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、 设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f(1) f(-1) 2)11/-102422、 C03C32C2

11、 一3七补-2、4n3、 (貉5+十)20的展开式中的有理项是展开式的第 项*3、3,9,15,214、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是554、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+5、求(1+x+x 2)(1-x) 10展开式中x4的系数、5> (1 x X2)(1 - X)10 = (1 - X3)(1 - X)9 ,要得到含X4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9 展开式中的项c9(-x)4作积，第一个因式中的一X3与(1-X) 9展开式中的项C；(-x)作积，故 X4的系数是C9 C9 -135.6

12、、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展开式中x3的系数+10 116、 (1X) (1 x)2 (1X)10x)1 x) = (x 7 _(x 1，原式中 x31(1+x)X实为这分子中的X4，则所求系数为c7l7、 若f (x) = (1 - x)m - (1 x)n(mn ：二N)展开式中，x的系数为21,问m n为何值时， x2的系数最小？222222221 23997、 由条件得 m+n=21, X 的项为 CmX +CnX，则 Cm+Cn= (n- )+.因 n N,24故当n=10或11时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x2的系数最小*8、自然数n为偶数时，求证：1 2C1 c2 2C3 C： 2cn cn = 3 公-18、原式=(cn cn c2cn4- cn) -(cncnc5- cnj2n-2nj3.2nj9、求8011被9除的余数+9、 8011 = (81 1)11 二。011 _畀8110 C1081 _1 =81k _1(k Z),11 k 乙 9k-1 Z,. 81 被 9 除余 8、10、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x的系数10、(x2 3x 2)5 =(x 1)5(x 2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1，含x的项为C5 =5x，在(2+X)5展开式中，常数项为25=32,含x的项为