教案微分中值定理

1、教案微分中值定理dardization office IMB 5AB-IMBK 08- IMB 2C一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在M刈上每一点都有不垂直于工轴的切线，旦 两端点的连线与X轴平行的不间断的曲线/(X)来说，至少存在 一点C,使得其切线平行于X轴，CAB从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点， 由此得到启发证j月罗尔定理。为应用方便，先介绍费马(Fermat) 引理回画费马引理设函数/在点儿的某邻域U(x0)内有定义并且在X。处可导如果对任意让(/(%)有/(x)H)(或/(幻2/)那么/1)=0证明：不妨设心服)时，八力)“勇)(若/(心於。),可以类似地此

2、表2学时填写一份，“教学过程不足时可续页证明).于是对于 + Ax w U征)，有/(x0 + Ar)« f(xQ),从而当Ax > 0时,/(4+刈-/(4)«0；而当 Axv0 时,根据函数/W在4处可导及极限的保号性的得/ Uo)= /-(A-o)= Bm C"-曳20 ,所以/ (%)=0,证毕.>o Ax定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数/满足：(1)在闭区间m用上连续(2) 在开区间(,)内可导(3)在区间端点处的函数值相等，即 /=/那么在(。内至少在一点夕使得函数/在该点 的导数等于零，即/4) =

3、0证明：由于在S上连续，因此必有最大值M和最小值川，于是有两种可能的情形：(I) M=m,此时/ 在,以上必然取相同的数值M,即 fM = M.由此得f'a)=o.因此，任取我(。,3,有rc)=o.M >m,由于= 所以M和机至少与一个不等于/a)在区间端点处的函数值.不妨设时黄/(若，"/,可类似 证明)，则必定在他加有一点4使 用)=".因此任取有/(A-) </(?)，从而由费马引理有/'=0 .证毕【例1】验证罗尔定理对/(幻=/-21-3在区间-1.3上的正确性解显然/。)= /一2工-3=3)(1+1)在T,3上连续,在(-L3)

4、上可导,且/(-I)=上3) = 0,又7(x) = 21-1),取4=1, (1 e (1,3),有说明：1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成 立；2使得定理成立的j可能多于一个，也可能只有一个.【例2】证明方程.-5x+l = 0有且仅有一个小于1的正实根.证明：设x) = x'-5x + l,则/(只在0上连续，旦/(0) = 1,/(1) = -3.由介值定理存在,% £(0,1)使/(.%) = 0,即为方程的小于1的正实 根.设另有七£(0),X| wx(),使外)=0.因为/(%)在为之间满足 罗尔定理的条件，所以至少存在一个(在与内之

5、间)使得rq=o.但/'a)= 5(-l)<0,(xe(0.1),矛盾，所以，%为方程的唯一实根.二、拉格朗日(Lagrange)中值定理在罗尔定理中，第三个条件为件ii)/() = /S),然而对一般的 函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这 样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理： 定理2 ：若函数满足：(i)x)在/上连续；(II) /(x)在/)上可导；7.，则在(/)内至少存在一点七，即/一/=re一。)V若此时，还有/(a) = /S),“=(&) = 0。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证 明之。

6、证明：上式又可写为(1)/(x) =二/("%_)(2)作一个辅助函数：=> 广.)_")/(")=0或b-a") 一 /()显然，尸(幻在。,切上连续，在(。口)上可导，且=尸(幻=尸3),所以由罗尔中值定理.在3初内至少存在一点打使 得尸侑)=0。又(幻=/'(X)-二”")(3)(4)也可写成f(b) f3 = f'4)(b G注1 ：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；2：定理中的结论，可以写成/(b) - fa) =- a) (a << b),此式也称为拉格朗日公式，其中4可写成：=f(b) - /

7、(«) = fa + e(b-ay)(b - a) 若令 b = a + h, = f (a + /?)- f(a) = f'(a + 0h)h3 ：若定理中的条件相应地改为：/*)在g,a上连续, 在 S，4)内可导，则结论为：f(a)-f(b) =-b)可见，不论。涉哪个大，其拉格朗日公式总是一样的。这时，J为 介于，力之间的一个数，(4)中的力不论正负，只要/(X)满足条件, (4)就成立。4 ：设在点工处有一个增量Aa，得到点x + Av,在以工和x + Av 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有即 )，=+电X) Ar这准确地表达了与和Ax这两个增量间的关系，故该

8、定理又称为微分中值定理。5 ：几何意义：如果曲线y = /(x)在除端点外的每一点都有不平 行于y轴的切线，则曲线上至少存在一点，该点的切线平行于两端 点的连线。由定理还可得到下列结论：推论1 :如果y = /(x)在区间I上的导数恒为0,则fW在/上是一 个常数。证明：在/中任取两点苔,X2(x <x2), y = /(x)在和与连 续，在(,)可导，由拉格朗曰中值定理，则在(西，工2)内至少存在 一点g,使得由假设可知在/上,/'(X)三0,从而在(占,X2)上,/'(X)三0,=/纭)=0 ,所以/(X) /(%) = 0 0 fW = f(x0),可见，/3)在/

9、上的每一点都有：x) = /(x。)(常数)。【例3】证明当x >。时< ln(l + z) <.1 + 了证：设/Q) = ln(l + M,显然在0, x上满足拉格朗日中 值定理条件，故至少存在一点 e (0,。)使，：一：0 ='(8X 0由于M = 1 + Cln(l +x) Lnl x 又由于0<专1 1 d<<11+11+S,/(。) = 0 ,"=去，代入上式有 1ln(14- x) 1=而即二定所以 < 皿 1 + < 1 即 < ln(l +1) < 61 + c xl-x 注：(1)构造辅助函数/

10、(i) ; (2)正确确定区间左右端点，利用TH2可得三、柯西中值定理定理3 ：若/，尸(x)满足：在他M上连续；在3内可导;(3) xe(a,b)Fx) w 0则在S，切内至少存在一点久使得 产 =F F(b) - F(a)证明：令*)= *)一?"尸")/*),显然，夕(幻在他向F(b) - Fa上连续，旦9(x)在(“,)内可导，更进一步还有夕(幻=夕("),事实 上，所以以外满足罗尔定理的条件，故在(力)内至少存在一点<,使得使4) = 0,又/-/ Fb-Fa尸(x) /(x) =/一/F(b) - F(a)F'e)re)=o 因一尸 3) 尸()注1 ：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令 F(X)= X,就得到拉格朗日中值定理；2：几何意义：若用a<x<b)表示曲线c,则其 Y = r(x)几何意义同前一个。【例 4】 证明arcsinx + arccosx = (-1 <x< 1) o 2证 ： 令/'(x) = arcsinx + arcc0sxi.小由推论知f(x)二常数！再由0) = g,故乃 arcsmx + arccosx = o 2 -例5若方程(/"+ "”_X =。有一