分数阶傅立叶变换ppt课件

1、 分数阶傅立叶变换 Fractional Fourier Fransform) 简介n19291980 早期未被人们注重的研讨。n1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分数幂方式。n1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频面上的坐标轴旋转。主要研讨方向和成果nFRFT的根本性质nFRFT与其他时频分析工具的关系nFRFT的光学实现技术和运用nFRFT的数值计算与快速算法nFRFT在信号处置中的运用n高维分数阶傅立叶变换的研讨FRFT的普通研讨思绪：1.将傅立叶变换的运用直接推行到FRFT。 传统的傅立叶变

2、换是将信号在一组正交完备的正弦基上展开，所以正弦信号的傅立叶变换是一个函数。 分数阶傅立叶变换是将信号在一组正交的chirp信号上展开，那么一个chirp信号的某一阶次的FRFT也是一个函数。FRFT的普通研讨思绪：n单分量、多分量Chirp信号的检测和参数估计。n雷达信号的目的检测和识别。nSAR和ISAR成像。n运动目的检测和识别。n宽带干扰抑制。FRFT的普通研讨思绪：2.将将FRFT视为时频面上的旋转算子视为时频面上的旋转算子 信号信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一的时频分布是信号时频分布的一个旋转。个旋转。 可用于信号间的分别，噪声抑制。这是分数可用于信号间的分别，噪声抑制。这

3、是分数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的根本原理。进一阶傅立叶域滤波或扫频滤波的根本原理。进一步提出分数阶傅立叶变换域的最正确滤波的概步提出分数阶傅立叶变换域的最正确滤波的概念。念。 可以运用于多路复用技术。可以运用于多路复用技术。 FRFT的普通研讨思绪：3.研讨研讨FRFT与其他时频分析方法的关系与其他时频分析方法的关系 研讨与研讨与Wigner_Ville分布、小波变换、分布、小波变换、短时傅立叶变换和短时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关变换的关系。利用已有的研讨成果研讨分数阶傅立叶变系。利用已有的研讨成果研讨分数阶傅立叶变换的运用。换的运用。 FRFT的普通研讨思绪：例如：分数阶傅

4、立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研讨基于分数阶傅立叶变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。分数阶傅立叶变换的定义：221( )( )( , ) ( )1cotexp(cot)22sin( , )()2()(21)ppps tpF s uKt u s t dtjtutujjnKt utuntun定义 ：信号的 阶分数阶傅立叶变换是一个线性积分运算其中：22( )1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)2pF s ujtutus tjjdtns uns unp其中：讨论

5、：n变换核的性质：221221*1.limlim2.( , )( , )3.( , )( , )4.(, )( ,)5.( , )( , )( , )6.( , )( ,)()pnpnpnpnpppppppqp qpqpKKKKKt uKu tKt uKt uKt uKtuKt z Kz u dzKt uKt u Kt u dtuu变换核是 的连续函数。有讨论：n变换的性质：041541.2.( )( )( )3.( )( )( )(4.( )( )5.( )( )pqp qnppF s tF s ts tF s tF s tsF Fs tFs tFs tFs t分数阶傅立叶变换是线性变换。傅

6、立叶变换）（）（） (可加性）（）（） 性质4的证明：( , )( , )( , )( ( )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( , ) ( )( , )( ( )( ( )pqp qp qp qpqqppqpqKt z Kz u dzKt uFs tKt u s t dtKt z Kz u dz s t dtKz uKt z s t dt dzKz u Fs t dzF Fs t 利用FRFT的其他定义：n特征函数和特征值V.Namias,1980)222/2/2/2/2( )( )( )( )( ),( )( )1jkkkkktkkkkkttkkFttettHt e

7、HtkHermitedHteedt将傅立叶变换当作信号空间上的算子，对应的特征方程为：是 阶多项式。（）2/2/2( )( )( )( )( )ktkkkppjpkkkktHt epFttet 分数阶傅立叶变换的定义2：令为普通傅立叶变换的特征值对应的特征函数，且构成有限能量信号空间的标准基，定义 阶分数阶傅立叶变换为算子：计算：0/20/20( ),( )( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( ) ( )kkkkkkkpjpkkkkjpkkkks tts tctcs tts tt dtF s tectett s t dt对信号由是标准正交基，有/20( )( , ) (

8、)( , )( )( )ppjpkpkkkF s uKt u s t dtKt uetu比较原定义：我们得到：分数阶傅立叶变换核的频谱展开（奇异值分解）2/2022/20_( )( )( )1cotexp(cot)22sin( )( )/2kjutjkkkkjpkkkkHermiteGaussueetujtutujjetup函数刚好具有性质：其中：n分数阶傅立叶变换定义3：tuv分数阶傅立叶变换的性质：n线性性：( )( )ppnnnnnnFc s tc Fs tn逆：1()ppFF分数阶傅立叶变换的性质：n可交换性：1221ppppF FFFn可结合性：331212()()ppppppF F

9、FFFF分数阶傅立叶变换的性质：n特征值与特征函数：/2pjpkkkFenParseval准那么：,ppf gF f F g分数阶傅立叶变换的性质：n与Wigner分布的关系：()( , )( )( cossin, sincos)pW F s u vW s uvuv分数阶傅立叶变换的运算性质(1). ()( ) ( )()ppFstuFs tu反转性2221coscot(1)cos22(2).( /)( )1cotsine ( )()1cotsinarctan(tan),pj upFMs t MujMuFs tjMM 尺度特性其中：与 在同一象限。分数阶傅立叶变换的运算性质：2000sinco

10、s2sin0(3). ()( )e ( )(cos)pj tjutpFs ttuFs tut时移特性202sincos2sin(4).( )( )e ( )(sin)pjtvj vjuvpFes tuFs tuv频移特性分数阶傅立叶变换的运算性质：1(5).( )( ) cossin( 2 ) ( )( )pnnpFt s tudujFs tudt微分特性（频域）11(6).( 2 )( )( ) sincos( 2 ) ( )( )pnnpdFjs tudtdujFs tudt微分特性(时域）例：1 ( )( )cos ( )( )sin( 2 ) ( )( )pppFts tuduFs t

11、ujFs tudt（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinpudjtutuF s us tjjdtdujtutujus tjjdtjtutujts tjjdt证明：（例： ( )( )cos ( )( )2sin ( )( )pppFs tuduFs tujFs tudt（）（）（）2222221cot( )( )exp( 2cot2)22sin1cot2 cot( )exp( 2cot2)22sin11cot2( )exp( 2cot2)sin22sinp

12、jtutuF s us tjjdtjtutujts tjjdtjtutujus tjjdt 证明：（分数阶傅立叶变换的运算性质：22tantan(7).( )( )sec ( )( )tpauj upj unaFs t dtueFs tu edu积分特性常见信号的分数阶傅立叶变换22000cot)2 ()( )1cote2,putjut cseFttujkkZ其中：。常见信号的分数阶傅立叶变换2tan21( )1tane,2pujFujkkZ其中：。常见信号的分数阶傅立叶变换02200tansec2( )1tane,2jtpujuFeujkkZ其中：。常见信号的分数阶傅立叶变换22/2tan2

13、 1tan( )1tane1tanarctan,2pjctucjcFeujcckkZ其中：。常见信号的分数阶傅立叶变换22/22( )euptFeu2222222/2(1)cotsec22( )1coteecotpctucucjccotccotFeujcj常见信号的分数阶傅立叶变换22/22( )( )( )e( )uptjnnnnFHt eueHtHtHermite其中：是多项式。分数阶傅立叶变换的不确定性原理：122211() ( )() /1412ppppppppppuuFs tudus 定义：则：若角频率用度表示若角频率用弧度表示例：方波的分数阶傅立叶变换1| | 2( )0ts t其

14、他分数阶卷积：(* )()*fgf gfgfg傅立叶变换的卷积定理：对应的有n傅立叶变换卷积定理成立的缘由：()j t vjtjveee221cot( , )exp(cot)22sinpjtutuKt ujj分数阶傅立叶变换的核函数不具有可分离性。22cotcotsin22( )1cot( )2ptuutjjjF s ujes t eedt(1.线性调频信号相乘2.变尺度傅立叶变换3.线性调频信号相乘分数阶卷积的定义：22cot1,1cot2sin( )( )2pjC ujC tjB tuCBAjF s uAes t eedt定义：(分数阶卷积的定义：222(* ) ( ) ( )* ( )2

15、pjC ujC tjC tfgtAef t eg t e分数阶卷积定义为：定理：2(* ) ( )( ( )( ( )jC uppppFfgteFf tFg t思索题：n两个函数的乘积的分数阶傅立叶变换有什么特点？n两个函数相关的分数阶傅立叶变换应该如何定义？有什么特点？离散分数阶傅立叶变换的计算nFRFT的离散化问题.1.()2.3.4.pHppqp qH M OzaktasDFRFTFFF FFDFTFRFT提出：应该具有酉性旋转相加性一阶运算应退化为。与连续的近似性。5阶数取值的连续性。离散分数阶傅立叶变换的计算n目前DFRFT的四种离散化算法301.( )2.3.4.piijFFTFa p WFRFT利用计离散FRFT的变换核 根据的定义，将其分解为信号的卷积，再利用FFT计算。利用矩阵的特征值和特征向量计算。直接离散化计算。离散分数阶傅立叶变换的计算304401122301.( ),.( )piijppiijFFTFa p WFWIWFWFWFFa p W利用计离散FRFT的变换核的思想： 因为：将理解为一个时频面上的旋转算子，我们可以展开：202122231( )1cos()221( )1sin()221( )1cos()221( )1sin()22jpjpjpjpDFTWapepa pepapepapep 通过对矩阵的特征值分解，我们可以得到：