全等三角形知识点讲解经典例题含复习资料

1、全等三角形一、目标认知学习目标：1 . 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元 素；2 .探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明 的格式。重点：1 .使学生理解证明的基本过程 ，掌握用综合法证明的格式;2 .三角形全等的性质和条件。难点：1 .掌握用综合法证明的格式；2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图， ABD!AACIE ABAC,写出图中的对应边和对应角.国思路点拨：AB=AC AB和AC是对应边，/ A是公共角，/ A和/ A是对应角, 按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求

2、解解析：AB和AC是对应边，AD和AE BD和CE是对应边，/ A和/ A是对应 角，/8和/6 /AEC和/ADB是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角， 第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.举一反三：【变式1】如图， ABCi4DBE问线段AE和CD相等吗？为什么?12 / 10【答案】证明：由 AB（CADBtE彳4 AB=DB,BC=BE贝U AB-BE=DB-BC 即 AE=CD【变式2】如右图，DE三8JBF , AD = BC求证：AE/ CF证明;MADE 三

3、ACEF, AD=BC【答案】二/AED=NFAE/ CFC2、如图，已知 A AB（C A DEF / A=30° , / B=50° , BF=Z 求/ DFE的度数与EC的长。出思路点拨：由全等三角形性质可知：/DFEW ACB EC+CF=BF+FO以只需 求/ACB勺度数与BF的长即可。解析：在AABC,/ACB=180 - ZA-Z B, 又/A=30° , / B=50° , 所以/ ACB=100 .又因为A AB登A DEF 所以/ ACB= DFE BC=E R全等三角形对应角相等，对应 边相等）。所以/ DFE=100EC=EF-F

4、C=BC-FC=FB=2总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。举一反三：【变式1】如图所示，A AC* A ECD ACE/ BEF/ACB=90 .求证：（1） CD!AB; （2） EF/ AC.【答案】（1 ）因为 A AC' A ECD所以/ ADC= EDC（全等三角形的对应角相等）因为/ ADC+ EDC=180 ,所以/ ADC= / EDC=90 .所以CDLAB.（2）因为 A CEFi A BEF,所以/ CFEW BFE（全等三角形的对应 角相等）.因为/ CFE+： BFE=180 , 所以/ CFEW BFE=90 .因为/ACB=90 ,所以/ACB

5、W BFE.所以 EF/ AC.类型二：全等三角形的证明3、如图，AO BD, D已 CE, / EC氏 / FDA 求证： ADF BCE思路点拨：欲证ADFi BCE由已知可知已具备一边一角，由公理的条件 判断还缺少这角的另一边，可通过 AO BD而得解析：/AO BD（已知）AB-B氏AB-AC式性质）即 AD=BC在ADFf zBCE 中AL»=BC （已证） JZFDA = ZECB C 己知）DT = CE （已知）L.AD图BCE（SAS）总结升华：利用全等三角形证明线段（角）相等的一般方法和步骤如下:（1）找到以待证角（线段）为内角（边）的两个三角形，（2）证明这两个

6、三角形全等；（3）由全等三角形的性质得出所要证的角（线段）相等.举一反三：【变式1】如图，已知 AB/ DC AB= DC 求证：AD/ BC【答案】: AB/ CD/ 3= / 4在ABDffi CDE产=皿已知） Z3-Z4（B5E）班=酗制）s. .ABD ACDB（SAS）./1 = /2（全等三角形对应角相等）.AD/ BC（内错角相等两直线平行）【变式 2】如图，已知 EB±ADT B, FC±ADT C,且 EB= FC, AB= CD求证AF=DE【答案】: EBJ_AD（已知）.二/EB氏90° （垂直定义）同理可证/ FCA= 900EB氏 /

7、FCAv AB= CD BO BC AO AB+BC= BC+CD=BD在 AC林口 ADBE中rAC-DB （己证）i ZFCAZEBP （已证） FC 二 EB （已知）. .AC/ADBE（S A. S）. AF= DE（全等三角形对应边相等类型三：综合应用4、如图，AD为A ABC的中线。求证:AB+AC>2AD.思路点拨:要证AB+AC>2AD由图想至ij: AB+BD>ADAC+CD>AD所以 AB+AC+BC>2A所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD即倍长 中线。解析：延长AD至E,使DE=AD连接BE因为AD为A ABC勺中线，所以

8、BD=CD.在 A ACDffi AEBD中，已证），ZBDE=ZADC（对顶角相等） AD=ED （已作）所以 A AC* A EBD（SAS）.所以BE=CA.在 A ABE中，AB+BE>AE所以 AB+AC>2AD.总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三：【变式 1】已知：如图，在 RtAABCt, AB=AC/ BAC=90 ,/1 = /2, CEL BD的延长线于E,求证：BD=2CE.【答案】分别延长CE BA交于F.因为BE! CF,所以/ BEF4BEC=90 .在 A BEW A BEC中， Z二（已知） ，BE = BE,公共

9、边）公EF二己证）所以 A BEH A BEC（ASA）.2所以 CE=FE= CF.又因为/ BAC=90 ,BE±CF.所以/ BACW CAF=90 , / 1+/ BDA=90 , / 1 + /BFC=90所以/ BDAW BFC.在 A ABDffi A ACF中，Zac = nchf,1垂直定50（已证）AB = WC（己知）所以 A ABD A ACF（AAS）所以BD=CF所以BD=2CE.55、如图，AB= CD B已DF, /B= / D,求证：（1）AE = CF, （2）AE/CF, （3） /AFE= / CEF思路点拨：（1）直接通过 AB草 CDF而得

10、，（2）先证明/ AE氏/ CFD 由（1）（2）可证明AAEHZXCFE而得，总之，欲证两边（角）相等，找这两边（角） 所在的两个三角形然后证明它们全等.解析：（1）在ABEtzCDF中AB=CD （己知）一NB=/D £ 已证）BE=DF （已知 J.AB草 CDF（SAS）.A已CF（全等三角形又t应边相等）（2） :/AE氏/CFD住等三角形又t应角相等） .AE/ CF（内错角相等，两直线平行）（3）在4AEF与zCFE中 处=CF （己证）'：* ZAEF = ZCFE （已证） ET = FE （公共边） .AEH ACFE（SAS）. / AFE= / CEF

11、作等三角形又t应角相等）总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角（边）作为判定另一 对三角形全等的条件.举一反三：【变式1】如图，在 ABC中，延长AC边上的中线BD到F,使D已BD延 长AB边上的中线CE到G 使EG= CE求证AF = AG【答案】在 AGEW BCE中AT=BE （已知），ZAEG = ZBEC （对顶角相等）GE=CE （已知） .AGE BCE（SAS） A氏BC（全等三角形又t应边相等）在 AAFM acbd（5 = 8 （己知）NADE=NCDB （对顶角相等）FD = BD （已知） .AF阴 ACBD（SAS） .AF= CB（全等三角形又t应边相等

12、） . AF= AG循量代换）6、如图 AB=AC BD± AC于 D, CH AB于 E, BD CE相交于 F. _i 求证：AF平分/ BAC思路点拨：若能证得得AD=AE由于/ ADB /AECtB是直角，可证得 RtA AD/RtzXAEF而要证AD=AE就应先考虑 RtAABDf RtAAE（C由题意已知 AB=AC / BACg公共角，可证得 RtAABtD RtAACE解析：在 RtAABD RtACE中ZCAE （公共角）/ADB=/AEC = 90。AB 二 AC垂直的定义） RtAABtD RtAACE（AAS）.AD=AE位等三角形对应边相等）在 RtADF与

13、 RtAEF中r AP = AF （公共边）'"AD = AE （己证）,RtAADF RtAAEF（HL） / DAFW EAF（全等三角形又t应角相等）AF平分/ BAC电平分线的定义）总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结【变式1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证.A求证:证明:已知：如图，在 ABCt&A B' C'中.AB=A B' , BC=B C' , AD± BC 于 D, A D' ±BZ C

14、9;于 D '且 AD=A' D' AB登B' C'(HL)在 RtABM RtAA B' D'中角相等）在ABCWAAZ B' C'中AE = A，B，（已知） ZB=ZB;（己证） EC二B，C）（已知）.ABCAAZ B' C' (SAS)【变式2】已知，如图，AC BD相交于O, AC=BD CC= / D= 90° 求证: OC=OD【答案】./ C=/ D=90°.ABD AACB为直角三角形在 RtAABD?口 RtABC中AE=AB (公用 BD = AC (已知) Rt

15、AABtD RtAABC(HL) . AD=BC在 AAODF 口 BOCNd = Nc （已知）ZAOD = ZBOC （前顶角相等）AD=BC曰证）. .AO陛 BOC(AAS)OD=OC7、，ABC, AB=AC D 是底边 BC上任意一点，DHAB, DF，AC CG，AB垂足分别是E、F、G.试判断：猜测线段DE、DF CG的数量有何关系？并证明你的猜想。B D亡思路点拨：寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径 解析：结论：DE+DF=CG方法一：（截长法）板书此种方法（3分钟）作 DIVL CG于 M,. DEL AB, CGLAB, DML CG 四边形EDMG1矩形DE=GMDM/AB ./MDC =B,.AB=AC / B=/ FCD ./MDC = FCD 而 DML CG DF± AC ./DMC =CFD在，MDG 口，FCD 中 DMCZCFD ，£FCDDCCD /MD窿，FCD(AASMC=DF .DE+DF=GM+MC=CG总结升华：方法二（补短法）作 C