利用基本不等式处理最值证明不等式和实际问题

1、问题12利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题一、考情分析不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一.下面笔者以近几年高考试题及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考.二、经验分享(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：

2、一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(5)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(6)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.三、知识拓展1. (1)若a,bwR,则&*+*2而；(2)若a,bwR,则abEa；b(当且仅当a=b时取“=”).2. (1)若a0,b0,则亘上b之J06；(2

3、)若a0,b0,则4+方2%同(当且仅当a=b时取“=”)；2力丫若aA0,bA0,则(当且仅当a=b时取“=”).I/113 .若x0,则x+之2(当且仅当x=1时取“=)；若x2baxxx4.若ab0,则旦+2之2(当且仅当a=b时取“=”baab._一十一M2(当且仅当a=b时取“=).bajn+b：a1+b:6 .若a,beRjd.二-（当且仅当a=b时取“=”）.7 .一个重要的不等式链：1上1一十一ab8 .-：-:.9 .函数/i=0350|图象及性质Xbix(1)函数/(力二5+图象如右图所示:x10 .(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植

4、时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；(2)求最值的条件“一正，二定，三相等”；(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.四、题型分析(一)利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本.因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用.主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式.类型一给出定值【例1】【江苏省南通市三县（通州区、海门市、启东市）2019届高三第一学期期末

5、】已知实数曰七口，且3a-b。十占=2,则2a2+2ah-3h的最小值为【解析】由于a+b=2,且ab0,则0vbv1vav2,所以,2(2a-l)(tr-b)(u+3fe)j-2-a)ttr4J+3(2-a)(2c-2)(6-2a)(2c-2)(6-2a)?令t=2a1C(1,3),则2a=t+l,所以，a-fc告-蚱6-22x+3y工x+3yx，当且仅当X+3V时取等【点评】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件于这种没有明确定值式的求最大值(最小值)问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式.的最小值是2b-3a【小试牛刀】已知函数/工)=一+

6、初+勾在R上是单调递增函数，则【解析】由题意的，(1)=3次+2卜工+心因为函数f(x肝R上单调递增,所以满足u0A=4b2-l2acb3b2,可得c之，且a03acb所以一.勿+26-%丫2J=1,当且仅当b=3a时等号成立,所以_.一1技巧一：凑项1a*H-一aba(ab)的最小值是【分析】拼凑成和为定值的形式【解析】一+=(z:-ab)+-力+一+口6之2ab)-aba(a-b)(a-ab)ab(ai-ab)=4（当且仅当-1，rr和一=ab,即aba=2万时取等号）.b=.2如果不符合条件则：非正化正、非【点评】使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件定构定、不等作图,（

7、单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.43【小试牛刀】【江苏省无锡市2019届高三上学期期中】设为正实数，且不+尔；=1,则号的最小值HIA工IJr为.【答案】27【解析】因为I2+尸，所以.引因此-*、町当且仅当y-1=工=3时取等号，即到的最小值为27.技巧二：凑系数【例4】当0cx4时，求了二（8-211的最大值.【分析】由0x0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到$为定值，故只需将J=邓-用凑上一个系数即可.【解析】，=8-2x）=l2x.（8-

8、2x）=8，当2x=82x,即x=2时取等号，当x=2时，）一式一的最大值为8.【评注】本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值.【小试牛刀】设0x-,求函数）=4x（3-2x）的最大值.2、,*19【解析】0x0,y=（-）=-（3-2x）2i-,二3,当且仅当3一】)的值域.工+1【分析一】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离.即，I【解析一】J工十1五+11x+l，当工;一1时，,白+5=9(当且仅当,r,“心rab日【小试牛刀】已知a,b者B是负实数，则+的最小值是口+2ba+b【答案】2电-1)【解

9、析】albn+ba+ba+lba+bb2（日+占）一（2+28|+（口+25）-|仃+b）2a+b）a+2b、至2夜-2技巧四：换元1【例6】已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求y=Ob的最小值.【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行.2302b302b2b+30b【解法1由已知得a=b+1，ab=b+1b=b+1.a0,.0vbv15.令

10、t=b+1,贝U-2t2+34t311616116-11vtv16,ab=t=2(t+丁)+34.t+72ytt=8,，abw18,-y78，当且仅当t=4,即2=6,b=3时，等号成立.【解法二】由已知得：30ab=a+2b./a+2b22ab,，30ab注2M2ab.令u=ab,贝U1u2+22u-30W0,5*u32,4)出发求得ab的范围，关键是寻找到a+b与ab之间的关系，由此想到不等式ml之向（o,这样将已知条彳转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2【小试牛刀】设正实数*,丫满足*+丫=1,则工*+3+而的取值范围为一9【答案】1,98【解析】因为1二万+?而，所以0cxyJ

11、4【点评】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能【正解】,M7+10i6+10-169x一时,y,因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解.技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.八八19【例71已知x0,y0,且一+=1，求x+y的最小值.xynn1+9x+v=L?）（工十）之2.=12（1+=【错解】；x0,y0,且+7=1,二I工1孙”“，故.【错因】解法中两

12、次连用基本不等式，在工+J之2后等号成立条件是x=y,在1十号之2,1等号成立条件xy,xy一19rc_一，E4，-，、什，,一一,是一=一,即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误.因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成xy立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.19一二一上式等号成立，又一十一=1，可得时，xy3x4-v【小试牛刀】【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】已知正实数满足十=1,则十二匕的xyx-1y-1最小值为.【答案】【解析】正实数x,y满足工+！=1,xy贝U：x+y=xy,3x4y7xy-3x-4y则：:7+二i=4x+3y,x-Iy-1

13、xy*x-y+1)nrt(4E3y狮？：+：)=原3y7+2=不则：*4H31-30,护=3x+2y+2q或!药=10+21r.;2y10+b/3x)2-(V2y)2=10+(3x+2y)=20,此通=25.【小试牛刀】求函数二-1+/-2。工r之(2工+)丁一己(二)1可解得2x+y的最大值为10.5【点评】本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式.【小试牛刀】若正实数x,y,满足;r-Ji-：-=5，则x+y的最大值为【分析】构成关于x+y的不等式，通过解

14、不等式求最值x+y+i=5(,+y)+k=5(x+y)+x=5(x+v)H【解析】由冗丫，得xy.即xy工+N，2十一A工上，-“.计算得出：.，x+y的最大值是4.技巧八：添加参数a+ir【例10若已知a,b,c0,则就+2方c的最小值为/+6*+厂d-+Ai+(1+c3+2V1Abe【解析】加+2=-ab+2bcab+lbc时可取得函数的最小值，此时2员再，此时y,最小值为筌xv+lvz+zwm1tr【小试牛刀】设x,y,z,w是不全为零的实数，求/+?、+小2的最大值工0i0z0w0【解析】显然我们只需考虑-的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数满足x:+12

15、+z;+w:=(r+ay2)+(1-a)y:+(1-z:+m:2而不+2Jj二封2J一/zw：121,P我故依据取等号的条件得，22=2和二吻?二士展了二,参数t就是我们要求的最大值.消去们得到-个方程7T=,此方程的最大根为我们所求的最大值，得到,二2【点评】从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式12272二可西茄二不二彳，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为了取得最值lOxi+lOy3+2；【小试牛刀】设x,y,z是正实数,求的最小值.XL十IZ十ZX【解析】引进参数k,使之满足2J,依据取10寸+10/+丁=M+姨+(10-土*+(10-t)vJ+

16、-2tn14-(iz+zx)2.等号的条件，有:4.2Jt=j2(10-fr)=r=r=410?+10r+z;，故s的最小值综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值.（二）基本不等式与恒成立问题_x+2中【例11】已知x0,y0,且一+=1，若恒成立，则实数m的取值范围是xy【分析】先求左边式子的最小值【解析】.x0,y”且2+1=1,.耳+2月工+

17、2；弓4+?,乏4711=8，当且仅当xy耳，厂4yx=-,即x=2y时取等xy21,一业+为篇x+2户又一+=1,.x=4,y=2,.,要使恒成立，xyer（工+”不加-2m口丘2.1,八，八只需公，即8m2+2m,解得4m2,故答案为4m(1-lc)x+2Jha】二：一设“，由取等号条件：1一厂网一，消去k,可以得到t2t1=0，解得：t=叵口，因此a的最小值为叵匚.22题型二基本不等式的实际应用【例12】某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为Qx),当年产量不足80千件时，C(x)=3X2+10x(万元).当年产量不小于80千件时，Qx)=51x+X一145

18、0(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05X1000x万元，依题意得：当0x80时，10000L(x)=1000xX0.05(51x+x1450)25010000=1200-(x+x).1-3x2+40x-25O0x(80,L(x)=(2)当0x80时，L(x)=1200-(x+x)80一综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大.【点评】(1)设变量

19、时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【牛刀小试】某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件，则平均仓储时x间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件.【答案】80【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得800x800x丫=父+8封2yx,8=20.800x当且仅当工=8(x0),即x=80时成立.y25(2)年平均利润为x=xx+18

20、25=(x+x)+18,2525-x+x2xlx,x=10,y25.I=18-(x+Y)2abub2+2=4Vxtxy/yryJr所以，_X厂当且仅当工,即当y=x2时，等号成立，x一.，1X,一，因此，一+-的取小值为4,xy故答案为：4.4.【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】已知正实数x,y满足工+=盯=匕若t+理尚恒成立，则实数m的取值范围为.【答案】1，_，41【解析】由于x+4y-xy=0,即x+4y=xy,等式两边同时除以xy得，-+-=1,Ny由基本不等式可得-一，4yx当且仅当=,即当x=2y=6时，等号成立，所以，x+y的最小值为9.因此，9.故答案为：me

21、9.5.【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港）2019届高三年级第一次质量检测】已知u0，b0,皿11且+我=/门，则”的最大值为【答案】-1=匚3力-口+:23&:+2&-1对-切遴庄恒成立，所以：二(2小-83Q恒成立。一b+c匕+12刊2J、T,r1所以=之丁=-：-当且仅当C=-1,6=三时等号成立。、14，一一8.【江苏省镇江市2019届图二上学期期末】已知xX),y0,x+y=-+-,则上十j的最小值为xy【答案】3一一，_14【解析】因为xAO,尸口，x+y=-A-xy所以=党y4x1+4+xy5+2v1=39.【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】若正实数

22、0、h、嘲足油二口+2h型=白+油+E则。的最大值为8【答案】-。氏=d+2h+c【解析】由a4-2ba+2b1，ab=a+2b,解得匚二油二i二口+乃_1+口+2”：ah=a+2h-一一1”2k8+如+；）印+/年”+2属=4+4=8810.【江苏省如皋市2019届高三教学质量调研(三，若口满足依T)二度匕且仃辗?6,则白45的最小值为【解析】由双“吟1且加7二心7喇,所以砥抑7i的小q即3(o-l)(2b-l)=0(fl-l)(21)-l)=X|zi，所以，得&+广2,所以。+力=；(叶照+：)=；(3+表3之丁也当且仅当相，即=内时，等号成立，综上，小的最小值为11.【2018年江苏高考

23、试卷】在AABC中，角ABC所对的边分别为g,C,ABC12(T,4AB匚的平分线交AC于点D,且BD=1,贝U4a+e的最小值为.【答案】9【解析】由题意可知，丽fiABD昌就口,由角平分线性质和角形面acsinlJO*=ax1xsinGO+ck1xsinGO22211at-a+/+=1ac积公式得因此4a+c=(4a+c)(-+)=5+aS+2Ic4a=9.当且仅当c=2a=m时取等号，则4a+c的最小值为9.12.【江苏省南京市2018届高三第三次模拟】若正数3足,c成等差数列,则+ba+2c的最小值为【答案】哑9【解析】因为正数a,b,c成等差数列，所以2b=a+c.所以4x-y-2x

24、+Sy人_八二，c=:,x=00.令5a+c=x,2a+c=y,贝U1818所以9y9x9y、9x95yX当且仅当一=一时取等号9x9y故答案为：913.【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研】已知机b为正实数，且住七）11一十的最小值为ab【答案】.：【解析】由题得S-W=植+助代入已知得L=4（曲a+b2&Cab）4ab1两边除以戒得=8ab当且仅当ab=1时取等.即I-的最小值为2而.ab故答案为：*14.【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测】已知双曲线C：Vab-由)与椭圆、+上=i的焦1612PF；点重合，离心率互为倒数，设(F?分别为双曲线C的左，右焦

25、点，P为右支上任意一点，则的最小值为PF,【答案】8c=J16-12=2【解析】由已知al,b=3c：又双曲线c与椭圆焦点重合，离心率互为倒22-=1；P在右支上APF1PF2,根据双13曲线的定义有-PF=2+PF，,pfJ=（24PF?）JPFJ+4PF/4PF：PF：+4PF7+4二=-PF,PF2P弓二PF，故可的最小值为B.15.【江苏省苏北六市2018届高三第二次调研】已知a,b,c均为正数，且abc=4(a+b),则a+b+c的最小值为【答案】8【解析】Q成=4伍+6)4(a+i)abab4（口+方）-4+4=816.【江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届二模】已知a,b,c均

26、为正数，且abc=4|a+b),则a+b+c的最小值为.【答案】8【解析】a,b,c均为正数，且就C=4(。+，)c_4(q+&)4储+占）44-a+5+c=a+i+=o+J+H-之2abab=8,当且仅当a=2,b=2时取等号a+b+c的最小值为8故答案为8.17.【江苏省扬州市2017-2018学年度第一学期期末】已知正实数x,满足+J=1,则以/+8xV-y2的最小值为.1【答案】35+4kxI-k2xi=11【解析】令kx(k0),贝U：，即=,5+4k-k综上可得:?U+8k-kz12x+8xy-y-5+4k-k28171615k+*412k+-44覆1j-81/7、1615k卜fk

27、+-47y当且仅当k=三时等号成立.2综上可得：I?,烟_/的最小值为-.3a0Fb0,a+b=114917.【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟】已知，求证力*J2b+1=4.【解析】证明：证法一因为a0,b0,a+b=1,1+也工心+1)bbfT4(2a+l)-所以(2x+I2b+1)(2a+1)+(2b+1)=1+4+2il+i*%+】*+2而不、下丁厂=9.49而(2a+1)+(2b+1)=4,所以n+I+2b十五.证法二因为a0,b0,由柯西不等式得由a+b=1,得(2a+1)+(2b+1)=4,49所以为+I+2b+14.18.【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研

28、】已知b2a1,b1,求旦2+的最小值.a-1b-1【答案】8【解析】试题解析：因为a1,b1,l2bA-l所以-+4（d-l|4A,（2L两式相加：，.：14b8当且仅当厂4（01）且为=4T）时“151,22即a=b=2时，上一十/_取得最小值8.a-1b-119.【山东省德州市2018届高三上学期期中】水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放a（0a4且awR）个单位的营养液，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为片1芦（。匐y=af（x）,其中八勺7：x.,若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的5-1（2，5）营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于4（克/升）时，它才能有效.（1）若只投放一次2个单位的营养液，则有效时间最多可能达到几天？（2）若先投放2个单位的营养液，3天后再投放b个单位的营养液，要使接下来的2天中，营养液能够持续有效，试求b的最小值.【答案】3天；（2）1812瓶.【解析】（1）营养液有效则需满足y24,0x22x5则二24或,