初高中数学衔接初高中数学教学衔接内容

1、初中高中教材衔接内容组稿者李娜娜张贵江2007-8-28近阶段发现同学们对一些必要与初中衔接的数学知识及方法，掌握不好，现归纳如下，与同学们共享.第一讲十字相乘法我们在前面研究了a2±2ab+b2这样的二次三项式，那么对于x2+5x+6,3x2+11x+10这样的二次三项式，各项无公因式，不能用提公因式法，又不能凑成完全平方公式的形式，应怎样分解？我们来观察x25x6=x2(23)x23=x22x3x23二x(x2)3(x2)=(x2)(x3)又有在我们学习乘法运算时有：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab因此在分解因式中有x2(ab)xab=(xa)(x-b)注意观察上式

2、的系数。对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式x2+px+q,它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为(x+a)(x+b),也就是令p=a+b,q=ab时，x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。例1:分解因式：(1) x2-5x6(2) x2-4x-21分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用口-七来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。11<1V>6-3-2=-5

3、(2)原式=(x+3)(x-7)131<1黑-213-7=-4例2:分解因式(1) x4-2x2-8(2) (ab)2-4(ab)3分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如(1)可以看作关于x2的二次三项式(2)可以看作关于(a+b)的二次三项式。解：(1)原式=(x2+2)(x24)二(x22)(x2)(x-2)12一1<1父4A-82-4-2(2)原式=(a+b-1)(a+b-3)1<11>3-1-3-4例3:分解因式(1) x2-3xy+2y2(2) 3a2x2-15a2x

4、y-42a2y2解：(1)原式二(x-2)(x-3)分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如(1)可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。(2)应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。解：(1)原式=(x-2y)(x-y)1<；父>2y2-2y-y二3y(2)原式=3a2(x2-5xy-14y2)2_=(x1)(x-2)(x4)1：二14-8-24=2一2，一、，一、二3a(x-7y)(x2y)1J7y21<12y-14y-7y2y-5y例4:分解因式:(1)2x2-7x+3(2)422224xy-5xy-9y1

5、11<1心a-81一8-7(2)原式=(x2+2x15)_(ax+5a)=(x-3)(x5)-a(x5)=(x5)(x-3-a)1_31<1>5A15-35=2注：不是所有的二次三项式都能进行因式分解分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。解：(1)原式=(x-3)(2x-1)132，：.3-6T-7(2)原式y2(4x：二4:-94-95例5:分解因式(1)(x22x2)-7(x22x)-8(2)x22x-15-ax-5a分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项

6、式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合。解：(1)原式=(x2+2x+1)(x2+2x8)-5x2-9)=y2(x21)(4x2-9)22_=y(x1)(2x3)(2x-3)第二讲一元二次方程一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法.1、概念：方程ax2+bx+c=0(a*0)称为一元二次方程.2、基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法.3、对于方程ax2+bx+c=0(aw0),=b2-4ac称为该方程的根的判别式.当4>-b±7A0时，方程有两个不相等的实数

7、根，即的“-2.当4=0时，方程有两个相等的实数根，即为叼2T当<0时，方程无实数根.练习：1、只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程，它的一般形式是.2 .一元二次方程的二次项系数a是实数.b+击口4ae223 .方程ax+bx+c=0(aw0,b-4ac>0)的两个根2a,X2=.4.一元二次方程的解法有,等，简捷求解的关键是观察方程的特征，选用最佳方法.5.应用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(b24ac10)时，第一步是把方程的常数项移到等号的右边，得ax2+bx=c；第二步把方程两边同除以a,b_得x2+二*；紧接方程两边同时加上,并配方

8、得.6,对于实系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(aw0)=b24ac称为此方程根的判别式且有如下性质：(1) A>0二次方程有两个实数根；(2) A=0二次方程有两个实数根；(3) A<0二次方程实数根.这些性质在解题中主要的应用如下：(1)不解方程判断的情况；(2)求方程中的参数值、范围或相互关系；(3)判定二次三项式在实数范围内分解因式.7.(1)若一元二交方程ax2+bx+c=0(aw0)的两个根为xi,x2,贝Uxi+x2=,xix2=.(韦达定理)若xi,x2是方程x2+px+q=0的二根，贝up=,q=,以实数xi,x2为根的一元二次方程(二次项系数为D是.8.根

9、与系数关系主要应用是：(i)求作方程；(2)求含有根有关代数式的值；(3)确定字母系数以及字母系数之间关系.(4)验根，求根式确定符号.(5)解特殊方程式.9,注意根与系数式关系与根的判别式配合使用.【学法指要】例i.解方程：x2-3x+2=0思路分析i:此方程左边是二次三项式，它引起我们联想二次三项式的因式分解十字相乘法，可在这条道路上探索，找到解题思路.1 丫-1二,原方程可化为(x-1)(工-2)-0-JXi=l工52-1-2=-3思路分析2：此方程是一元二次方程的标准形式，因已知a=i,b=-3,c=2,由此可知应用求根公式可解.观察本例，可发现它的结构符号二次三项式及一元二次方程的标

10、准形式，使我们把陌生的一元二次方程与十字相乘法，求根公式这些熟知的问题连在一起，化陌生为熟悉.“化陌生为熟悉”这种重要的数学思维方法，是解决新问题常用方法，当你遇到新问题时，不妨用此法一试，它确定可助你一臂之力！一道新问题解决以后，除分享胜利喜悦外，还要静心回忆一下，通过问题解决，我们学习了什么？如本例，我们学习了用因式分解法，求根公式法解一元二次方程，又学习了“转化”思想，继续探索还会有什么新的发现，新的收获吗？这也是我们获取知识，提高数学素养的重要途径之一.如本例，经过探索，观察可发现a+b+c=i+(-3)+2=0,它的根是xi=i,x2=2是不是a+b+c=0它们必有一个根是i呢？另一

11、个根是常数项呢？再选几例进行探索.解方程：(1.)x2+5x6=0(2.)2x23x+i=0(3.)i99x2-2000x+i=01 .的方程解为xi=1x2=-6£2 .的方程解为xi=1x2=213 .的方程解为xi=1X2=1s)"由以上可以发现，当a+b+c=0-xi=1,x2),这一重要发现给我们解所类方程提供十分简捷的方法观察法.下面提供几例，给读者练习.解方程：21 .x-14x+13=02.1949x2-1999x+50=03 .x2(4+')x+3+/=04 .x2-2000x+1999=01.已知m,n为整数，关于x的三个方程：x2+(7n)x+

12、3+n=0有两个不相等的实数根；x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等实数根；x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根.求m,n的值。依题意有：(答案学生写出)1(7-7n)2-4(3+n)>0(1)“明-4)'(2)(4+讯),-它6=0由(3)得4n=n2+8m-8代入(1),(2)并化简，得f-22m+45>0-16?«+20<0解得：f里小斐.m为整数，；m=2二n=31624n=40028-4n=-116,n=-29m=4,n=29满足M4n>0m=4,n=29bcxx2=x1x2=一求证：aa-b二，b2-4acx=分析：由求根公式2a计

13、算一下x1+x2,x1x2可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。一b.b2-4ac-b-b2-4acx1=x2=证明：由求根公式有：2a,2a-b.b2-4ac-b-.b2-4ac-2bbxx2'二二-2a2aa-b-.b2-4ac2a2a-b.b2-4acx1x2=Z2a2222(-b)-也-4ac)_b-b4acc4a24a2a2注：韦达定理当一兀二次方程二次项系数为1时，即关于x的方程x+px+q=0时，为十%=-p,xx2=q也很常用。2_例2:已知：x1、x2是万程x-5x-2=0两个实数根。111223322求：x1+x2x1)2x1x2x1+x2x1

14、+x2x1+x2(x1-1)(x2-1)分析：题目所求的式子都可以称为对称式，即交换为与人的位置代数式的形式不变，这些对称式均可以变形为用两根和与两根积表示的形式，利用韦达定理代入后,可求值，请记住这些常规变形，在今后的学习中是很常见的。解：x25x2=0两根为x1、x2.x+x2=5x1仅2=-211x1x255第三讲一元二次方程的根与系数的关系，-T-，xX2x1x2-222已知，x1、x2是关于x的一元二次方程ax+bx+c=O(a/0)的两根。22,、22x1x2=(x1x2)-2x*2=5-2(-2)=293,、，22x1x2=(x1x2)(x1x2-x1x2)=529。2)=155

15、."：_0<X1+X2A0x1x2>0m-13.设这两个数为a=9,b=-1a、b则a、b为方程22-一11x1x22929-22=22-=22-XiX2XiX2(-2)4(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1x2)1-2-51-622例3:已知：a、B是万程x-7mx+4m=0的两根，且(a-1)(0-1)=3,求m的值分析：解这种求字母值的问题时，需考虑题目对字母的几点限制，是二次项系数不为0;是方程有实根的条件，即判别式；是由已知带来的信息。综合找到公共解集，才能确定字母的值。解：由题意可得：之0jot+7=7mjaP=4m2.X+nx+m=0即x4x+0=0.

16、x(x-4)=0X1=0或x2=42例6:m为何值时，x-(m+Dx+l2m-3)=0的两根均为正；(-7m)2-4x4m2>0/R-1)(P-1)=3.yP-("+P)+1=3.4m2-7m+1=3mRjm1=2或m2=-4.m的值为2或4例5:已知关于x的方程x2+mx+n=0的根为2和-2,求x2+nx+m=0的两根。分析：由方程的根系关系可以确定m与n的值，这样可以得到方程，再解方程即可得到方程两根2解：:关于x的万程X+mx+n=0的两根为2和-22十(-2)=-m'm=0=2M(2)=n.币=Y分析：两根均为正，即X1+X2>0,X1公2>0由此

17、可以得到m的取值范围，但注意检验，看是否满足判别式。解：由题意可列：(m1)2一4(2m-3),0m102m-303m2时，原方程两根均为正。注：此类问题还会有两根均为负，一正一负根，有一根为0,两根互为相反数,两根互为倒数，有两根均大于1等多种形式，望同学多积累解题经验。21.已知：x1、x2是方程2x-3x-1=0的两个实数根，分别求出下列各式的值。223322X1+X2、XX2、X1X2、X1+X2、X1+X2、X1x2(X1-1)(X2-1)、|X1-X2|2,已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一根及k的值。3 .已知两个数的和等于8,积等于-9,求这两个数4 .求作一

18、个方程，使它的根是方程x2-7x+8=0的两根的平方的负倒数311345271 .2、2、-3、4、8、13、-1、22 .设方程的另一个根是x,则2X=TX=T,(一3+2=T.-.k=-72x8x9=0的两根，贝Ja=-1,b=9或24.设xi、x2是方程x-7x+8=0的两根,xi+x2=7,xix2=8,设y1、y2是新方程的两根11yiy2=-贝(Jxix22xi2x222xix23364yiy222xix26433y2;06464264y233yi=0第四讲立方和与立方差公式(一)(公式i：(a+b)(a-b)=a2-b2,公式2：(a±b)=a2±2ab+b2,公式中的字母可以表示数、单项式，也可以表示多项式.语言叙述略)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.(3)(x2+2)()=x6+8;(4)(3a-2)()=27a3-8.2 .填空，使之符合立方和或立方差公式：(i)()(a2+2ab+46)=；(2)()(9a2-6ab+4b2)=：3 .运用立方和与立方差公式计算：(i)(y+3(y2-3y+9);(c+5)(25-5c+cj;(5)(x2-y2)(x4+x2y2+y4).计算时同学们要注意两点：1 .两步审查一一对乘式的两个因式要分两步分别审查，即从二项式的因式判断公式中的a