北京东城区2014届高三数学上学期期末考试理

1、东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学(理科)学校班级姓名考号本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A=x|0<x<2,B=x|(x1)(x+1)a0,则A|JB=(A)(0,1)(C)(-：,-1)U(0,二)(B) (1,2)(D)(一二，1)U(1,二)(B)第二象限(D)第四象限，一一,一2i,，一，、一(2)在复平面内，复数的对应

2、点位于i(A)第一象限(C)第三象限(3)设awR,则“a=1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+5=0平行”的(A)(C)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(4)执行右图所示的程序框图，输出的a的值为(A)3(B)5(C) 7(D)9(5)在ABC中，a=15,b=10,A=60°,则cosB=(B)32,2(D) 23(6)已知直线y=kx+3与圆(x2)2+(y3)2=4相交于M,N两点，若MN/、r11(B),33则k的取值范围为(A)一"33(C)(-二(7)在直角梯形ABCD中，/A=900,/B=30

3、0,AB=2J3,BC=2，点E在线段CD上,若AE=Ad+kAB,则N的取值范围是(A)0,1(B)0,、31(C)%/、1(D)-,2、，a,a一b,设实数x,y满足/£乂maxa,b=W.b,a二b,=max4x+y,3x一y的取值范围是(A) -6,10(B) -7,10(C) -6,8-7,8第二部分(非选择题共110分)、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)若函数f(x)为奇函数，当x20时，f(x)=x2+x,则f(一2)的值为1-?.(侧视图)(10)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为.(俯视图)(11)若点P(4,4)为抛物线y2=2px上一点，

4、则抛物线焦点坐标为;点P到抛物线的准线的距离为(14)设等差数列an满足：公差dWN*,anwN"且an中任意两项之和也是该数列中的一项.若a=1,则d=；若ai=25,则d的所有可能取值之和为三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题共13分)已知函数f(x)=2>/3sinxcosx-2sin2x+1.5T(I)求f(二)的值;12(n)求f(x)在区间0,1上的最大值和最小值.(16)(本小题共13分)已知tn是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5=45,a2+a6=14.(I)求数列an的通项公式；(n)若数列满足：?+!

5、|+川+及=烝+1(nwN*),求数列bn的前n项和.(17)(本小题共14分)如图，在三棱柱ABCAB1cl中，RB_L平面A1B1C1AC=CB=CC=2,/ACB=900,D,E分别是AB，CC1的中点.(I)求证：CiD/平面ABE;(n)求证：平面ABE，平面AABB；(出)求直线BCi与平面ABE所成角的正弦值.(18)(本小题共13分)1已知aR,函数f(x)=lnx+ax.x(I)当a=0时，求f(x)的最小值；(n)若f(x)在区间2,+*)上是单调函数，求a的取值范围.(19)(本小题共13分)22xV已知椭圆+与=1(a>b>0)上的点到其两焦点距离之和为4,

6、且过点(0,1).ab(i)求椭圆方程；(n)O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A(x1,V1),B(x2,y2),若呼+呼=0,求AOB的面积.ab(20)本小题共14分)an-an.2.若无穷数列an满足：对任意nWN*,2一品书；存在常数M，对任意nwN:an<M,则称数列4为“T数列”.(I)若数列an的通项为an=82n(nWN*),证明：数列an为“T数列”；(n)若数列an的各项均为正整数，且数列an为“T数列”，证明：对任意nwN)anan由；(m)若数列an的各项均为正整数，且数列an为«T数列”，证明：存在n0wN*：数列an+为等差

7、数列东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准(理科)一、选择题(1) CC二、填空题(9)(12)三、解答题(15)(共解：(I(共(共-6(共8小题，每小题5分，共40分)(2) D(6)A6小题，每小题(3) A(4)C(7)C(8) B5分，共30分)3(10)2(13) -646小题，共80分)13分)由f(x)=23sinxcosx-2sin2=总sin2xcosx+cos2x,得f(x)=2sin(2x+).6所以f(三)=2sinm=J3.123(11)(1,0)，(14) 1,63(n)因为0ExE三，2所以一<2x+<.666

8、jix=时,6函数f(x)在区间0,3上的最大值为2.，一.兀5n一n.当2x+=,即x=一时，662n函数f(x)在0,-上的最小值为1.,213分(16)(共解：(I13分)设等差数列an的公差为d,则依题设d>0.由a2+a6=14，可得a4=7.由a3a5=45,得(7-d)(7+d)=45,可得d=2.所以a1=73d=1.可得an=2n-1.,6分(n)设Cn=*,则GC2HICnan1.即c1+c2+|+cn=2n,可得g=2,且g+c2+|+cn+cn4=2(n+1).所以cn书=2,可知cn=2(nwN*).所以bn=2n*,所以数列屯n)是首项为4,公比为2的等比数列

9、.所以前n项和Sn=4(1-2)=2n-4.,13分1-2(17)(共14分)证明：(I)取AB的中点F,连结DF,交A1B于点M,可知M为DF中点，连结EM,易知四边形C1DME为平行四边形，所以CQ/EM.又C1DS平面ABE,EM仁平面ABE,所以GD/平面ABE.,4分证明：(n)因为AC1=01，且D是AB1的中点，所以C1D1A1B1.因为BB_L平面ABG,所以BB，GD.所以C1D_L平面AAB1B.又C1D/EM,所以EM_L平面AARB.又EM仁平面ABE,所以平面ABE_L平面AAB1B.,9分解：(出)如图建立空间直角坐标系C-xyz,则B(0,2,0),C1(0,0,

10、2),E(0,0,1),A(2,0,2).B?=(0-2,R=(2,0,1),EB=(0,2,-1).设平面ABE的法向量为n=(x,y,z).皿EAn=0,则二EBn=0.2xz=0,2y-z=0.令x=1.则n=(1,-1,-2).设向量n与BC1的夹角为日,贝Ucos8=BCj|nBC1n1所以直线BCi与平面ABE所成角的正弦值为614分解：(I)当a=0时，f(x)=lnx1，+(x>0),x(18)(共13分)x-111f'(x)2xxf'(x)>0.所以，当0<x<1时，f'(x)<0；当xa1时,所以，当x=1时，函数有最小

11、值f(1)=1.(n)当a20时，ax2+x1在x£2,收)上恒大于零，即f(x)A0,符合要求.当a<0时，要使f(x)在区间2,+g)上是单调函数,当且仅当xw2,y)时，ax2+x1M0恒成立.1Y即a£一2-恒成立.x1-x设g（x），x则g'(x)=二，x又xw2,)，所以g'(x)>0,即g(x)在区间2,+/)上为增函数,11g(x)的最小值为g(2)=1,所以a.441.、.综上，a的取值范围是a<，或a之0.,13分4(19)(共13分)解（I）依题意有a=2,b=1.2故椭圆方程为x+y2=1.,5分4(n)因为直线AB

12、过右焦点(73,0),设直线AB的方程为y=k(xJ3).-2x2，y=1,联立方程组4y=k（x-、.3）.消去y并整理得（4k2+1）x28j3k2x+12k24=0.（*）故x18.3k2x2二24k21，x1x2-_212k-44k21又x1x22a=0,即x1x2+y1y2=0即_yyb2_22所以3k-1,-k4k214k21方程（*）可化为3x24J3x+2=0,由AB=5+k2x1-x2,可得AB=2.一一、rr-73k原点O到直线AB的距离d=一=1.k21，_1一.一，、所以S这ob=aABd=1.,13分(20)(共14分)(I)证明：由an=82n,可得an也=82n,

13、an书=82n4所以an十an也一2an书=82n+82n422(82n*)=2n<0,an.an.2.所以对任意neN*,2an卡.又数列an为递减数列，所以对任意nwN*,an<c1=6.所以数列a为“T数列”.，,，5分(n)证明：假设存在正整数k,使得ak>ak+.由数列an的各项均为正整数，可得akAak书+1.ak.ak2：:.由2涿*,可得为也£2纵由一纨<2(1一1)为=为一2.且ak2-2ak1-ak:二2ak1-ak1=ak1同理ak书<ak+-2-ak-3，依此类推，可得，对任意nwN*,有ak4nEak-n.因为ak为正整数，设ak=m，则mWN*.在ak巾Wakn中，设n=m,则ak如<0.与数列an的各项均为正整数矛盾.所以，对任意nwN*,anWan#,10分(出)因为数列an为“T数列”，所以，存在常数M,对任意nWN*,an<M.设Mwn*.由(n)可知，对任意nWn*,anwan4,则ai<82<83<|<an<an<|.若an=an