北京各区高考数学模拟题压轴题含答案

1、12021海淀二模对于无穷数列4,记Tx|xaja,ij,假设数列aj满足：“存在tT,使得只要amaktm,kN*且mk，必有am1a-t”,那么称数列an具有性质P(t).2n,n2,I假设数列an满足an判断数列an是否具有性质P(2)?是否具有性质2n5,n3,P(4)?n求证：“t是有限集"是“数列4具有性质P(0)的必要不充分条件；出an是各项为正整数的数列，且an既具有性质P(2),又具有性质P(5),求证：存在整数N，使得aN,aN1,aN2,',，,aNk,是等差数列.22021海淀一模含有n个元素的正整数集Aaa,a(aa?a0,n3)具有性质P:对任意不

2、大于S(A)(其中S(A)aa2an)的正整数k,存在数集A的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k.I写出a,a2的值；n证明：“现色，,an成等差数列的充要条件是“S(A)；2出假设S(A)2017,求当n取最小值时，an的最大值.*32021西城二模设集合A2n1,2,3,2n(nN,n?2).如果对于A2n的每一个含有m(m>4)个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4n1,称正整数m为集合A2n的一个“相关数”.I当n3时，判断5和6是否为集合A的“相关数，说明理由；n假设m为集合/的“相关数"，证明：mn3>0；出给定正整数n.求集合An的“相关数"

3、;m的最小值.42021西城一模如图，将数字1,2,3，,2n(n>3)全部填入一个2行n列的表格中，每格n给定正整数n.试给出ai,a2,an的一组取值，使得无论bi,b2,b填写的顺序如何，6都只有一个取值，并求出此时S的值;出求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，Sn的所有取值的奇偶性相同.52021东城二模对于n维向量A(ai,a2,，an),假设对任意i已1,2，n均有司0或2=1,那么称A为n维T向量.对于两个n维T向量A,B,定义nd(A,B)-S|ai-bi|.i=1I假设A=(1,0,1,0,1),B=(0,1,1,1,0),求d(AB)的值.n现有一个5维T向量序

4、列:AA,，假设Ai=(1,1,1,1,1)且满足:d(A,AQ2,ieN.求证：该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).出现有一个12维T向量序列：A1,A2,A3,，假设A1=(1,1，1)且满足：12个d(A,An)-m,mN,i=1,2,3，假设存在正整数j使得Aj=(0,0，,0),12个入为12维丁向量序列中的项，求出所有的m.62021东城一模集合Aa1,a2，,an,aiR,i1,2，n,并且n2.定义T(A)|ajai|例如：£|aj-司|=|a2-4|+|a3-a1|十包-a2|.1ijn13j,：3I假设A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,M1,

5、2,3,4,5,集合A的子集N满足：NHM,且T(M)T(N),求出一个符合条件的N；n对于任意给定的常数C以及给定的集合Aa1,a2，an,求证：存在集合nBhb,bn,使得T(B)T(A),且biC.i1出集合Aa1，a2,a2m满足：aiai1,i1,2，,2m1,m*2,a1a,a2mb,其中a,b三R为给定的常数，求T(A)的取值范围.72021朝阳二模各项均为非负整数的数列an同时满足以下条件:/z.xIr一、一.一Am(mN);ann1(n2)；口是向及an的因数n1.I当m5时，写出数列an的前五项；n假设数列an的前三项互不相等，且n3时，a为常数，求m的值；出求证：对任意正

6、整数m,存在正整数M,使得nM时，an为常数.82021朝阳一模对于正整数集合Aai,a2,annN,n33，如果去掉其中任意一个元素aji=1,2,n之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为和谐集.I判断集合1,2,3,4,5是否是和谐集不必写过程；n求证：假设集合A是和谐集'，那么集合A中元素个数为奇数；出假设集合A是和谐集''，求集合A中元素个数的最小值.92021丰台二模假设无穷数列an满足：kN*,对于nn°(n。N*),都有ankand其中d为常数，那么称%具有性质“P(k,n0,d)

7、.I假设an具有性质“P(3,2,0)，且a23,a45,a6a7决18,求a3；II假设无穷数列bn是等差数列，无穷数列Cn是公比为正数的等比数列，b1G2,b3G8,anbnCn,判断an是否具有性质“P(2,1,0)，并说明理由；田设an既具有性质“P(i,2,d1)，又具有性质“P(j,2,d2)，其中i,jN*,ij,i,j互质，求证：an具有性质“P(ji,i2,2_).i102021丰台一模对于nN*,假设数列Xn满足Xn1Xn1,那么称这个数列为“K数列.I数列：1,m+1,m2是"K数列"，求实数m的取值范围；II是否存在首项为-1的等差数列an为“K数列

8、，且其前n项和&满足Sn1n2n(n假祕存在，求出an的通项公式；假设不存在，请说明理由；1一一“田各项均为正整数的等比数列&是K数列，数列-an不是“K数列，假设bn旦工，试判断数列bn是否为“K数列，并说明理由.n1*112021昌平二模设集合U1,2,，100,TU.对数列1(nN),规定：假a殳T，那么St0；假设T口12,，nk，那么STan1an22+4k.例如：当an2n,T=1,3,5时，&aa3a5261018.(I)等比数列an(nN*),a11,且当T=2,3时，0=12,求数列0n的通项公式；2,n1,*.,.(II)数列ann1，证明：对于任意

9、的1k100,且kN,存在TU2,n2使Srak1;(III)集合AU,BU,aAb,an3n1,Saa.设A中最大元素为m,b中最大元素为，求证：mr1.122021.1石景山期末集合M的假设干个子集的集合称为集合M的一个子集族.对于集合1,2,3n的一个子集族D满足如下条件：假设AD,BA,那么BD,那么称子集族D是“向下封闭'的.I写出一个含有集合1,2的“向下封闭的子集族D并计算此时(1)A的值其中ADA表示集合A中元素的个数，约定0;人口表示对子集族D中所有成员A求和；nD是集合1,2,3n的任一“向下封闭的子集族，对aD,记kmaxA,A|f(k)max(1)其中max表示

10、最大值，ADi求f(2)；ii假设k是偶数，求f(k).12021海淀二模I数列an不具有性质P(2)；具有性质P(4).n不充分性对于周期数列1,1,2,2,1,1,2,2，T1,0,1是有限集，但是由于a2a10,a3a21,所以不具有性质P(0);必要性因为数列an具有性质P(0),LLrr一Z.t-tt=ttLJ*._一1_.一.所以一th存在一组取小的m,kN且mk,满足amak0,即amak由性质P(0)的含乂可得am1ak1,am2ak2,a2mk1am1,a2mkam,"所以数列an中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：ak,ak1,am1为一个周期中的各项，所以数列

11、an中最多有m1个不同的项，所以T最多有021个元素，即T是有限集.出因为数列an具有性质P(2),数列an具有f'生质P(5),*所以存在M,NN,使得aM'paM'2,aN'qaw5,其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质P(2),P(5)的含义可得kN,aM，pkaM,k2,awqka.k5,假设M'N',那么取kN'M',可得aN，paN'2;假设M'N',那么取k”2,可得2乂aM'5.maxM',N',那么对于aM,有aMpaM2,aMqaM5,显然pq,由

12、性质P(2),P(5)的含义可得kN，aMpkaMk2,aNqkaNk5所以aMqpaM(aMqpaM(q1)p)(aM(q1)pAm(q2)p)(aMpaM)2qaMqpaM(aMpqaM(p1)q)(aM(p1)qaM(p2)q)(aMqaM)5p所以aMqpaM2qaM5P.所以2q5p,又p,q是满足aMpaM2,aMqaM5的最小的正整数,所以q5,p2,aM2aM2,aM5aM5,所以kN,aM2kaMk2,aM5k所以kN，aM2kaM2(k1)2aM2k,aM5kaM5(k1)5aM取NM5,那么kN,所以，假设k是偶数，那么aNkaNk；假设k是奇数，那么aNkaN5(k5)

13、aN5(k5)aN5(k5)aNk,所以kN,aNkaNk所以aN,aN1,aN2,是公差为1的等差数列.22021海淀一模解：I41忌2.n先证必要性因为ai1,a22,又aia,an成等差数列，故ann,所以S(A)皿；2再证充分性因为a1a2ai,a2,，4为正整数数列，故有a11,a22,a33,a44,ann,所以S(A)a1出an12n(1n)nm(m1,2,n),故为且2,an为等差数列出先证明am2m1(m1,2,n).假设存在ap2P1,且p为最小的正整数.依题意p3,那么a1a2ap1122P22P11,又因为aa?an,故当k(2p11,ap)时，k不能等于集合A的任何一

14、个子集所有元素的和故假设不成立，即am2m1(m1,2,n)成立.因此2017a1a2an122n12n1,即2n2018,所以n11.因为S2017,那么a1a2an12017an,假设2017anan1时，那么当k(2017an,an)时，集合A中不可能存在假设干不同元素的和为k,故2017anan1,即an1009.此时可构造集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009.因为当k2,21时，k可以等于集合1,2中假设干个元素的和，故当k22,221,222,223时，k可以等于集合1,2,22中假设干不同元素的和，故当k28,281,282,28255时，k可

15、以等于集合1,2,28中假设干不同元素的和，故当k4973,4974,，-,497511时，k可以等于集合1,2,28,497中假设干不同元素的和，故当k1009,10091,10092,10091008时，k可以等于集合1,2,28,497,1009中假设干不同元素的和，所以集合A1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009满足题设，所以当n取最小值11时，an的最大值为1009.32021西城二模解：I当n3时，A1,2,3,4,5,6,4n113.1分对于A的含有5个元素白勺子集2,3,4,5,6),因为234513,所以5不是集合A的“相关数”.2分A的含有6个元

16、素的子集只有1,2,3,4,5,6,因为134513,所以6是集合A的“相关数”.3分n考察集合人口的含有n2个元素的子集Bn1,n,n1,2n.4分B中任意4个元素之和一定不小于(n1)n(n1)(n2)4n2.所以n2一定不是集合/的“相关数.6分所以当mvn2时，m一定不是集合仆的“相关数”.7分因此假设m为集合An的“相关数，必有m>n3.即假设m为集合&的“相关数”，必有mn3>0.8分出由11得m>n3.先将集合An的元素分成如下n组：Ci(i,2n1i)(Ki<n).对An的任意一个含有n3个元素的子集P,必有三组C/CC1同属于集合P.?10分再

17、将集合An的元素剔除n和2n后，分成如下n1组:Dj(j,2nj)(1<j<n1).对于An的任意一个含有n3个元素的子集P,必有一组口上4属于集合P.?11分这一组Dj4与上述三组C/CoGs中至少一组无相同元素，不妨设Dj4与C1无相同元素.此时这4个元素之和为i1(2n1i1)j4(2nj4)4n1.12分所以集合A2n的“相关数m的最42021西城一模解：IE的所有可能的取值为3,5,7,9.3分n令aii(i1,2,n),那么无论Mb,由填写的顺序如何，都有Snn2.5分因为aii,所以bi(n1,n2,2n,(i1,2，n).6分因为aib(i1,2,n),所以Sn8分

18、注：a1，a2,41,2,n,或切,ann1,n2,2n均满足条件.出解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变.n不妨设abi,记Aa,i1nBh,其中i1,2，n.i1n那么Sn|aii1nnbi|(aibi)aii1i19分2n2n(2n1)因为ABi-Ln(2n1),所以B与n具有相同的奇偶性.11分i12又因为AB与AB具有相同的奇偶性,所以SAB与n的奇偶性相同,所以S的所有可能取值的奇偶性相同.13分解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的Sn的值不变.nn考虑如下表所示的任意两种不同的填法，Sn|aibi|,8n|aib|,不iiiiSnSn(ba)(ba

19、)(bb)(aia).i1i1i1i1i1i1对于任意k1,2,2n,假设在两种填法中k都位于同一行，nn那么k在SnSn的表达式中或者只出现在bbi中，或只出现在i1i1nnaaj中，且出现两次，i1i1那么对k而言，在SS的结果中得到2k.11分假设在两种填法中k位于不同行，nnnn那么k在8n8n的表达式中在b。与aiq中各出现一次，i1i1i1i1那么对k而言，在8n8n的结果中得到0.由得，对于任意k1,2,2n,8n8n必为偶数.所以，对于表格的所有不同的填法，S所有可能取值的奇偶性相同.13分52021东城二模解：I由于A(1,0,1,0,1),B(0,1,1,1,0),由定义d

20、(A,B)=S|a-b|,可得d(A,B)=4.4分i=1n反证法：假设结论不成立，即存在一个含5维T向量序列A,A,Ab,，Am，使得Ai(1,1,1,1,1)Am-(0,0,0,0,0).因为向量a(1,1,1,1,1并j每一个分量变为0,都需要奇数次变化，不妨设A的第i(i=12,3,4,5)个分量1变化了2ni1次之后变成0,所以将A中所有分量1变为0共需要(2r-1)+(2n2-1)+(27-1)+(2,-1)+(2%-1)2(n1+n2+nb+n4+n52)-1次，此数为奇数.又因为d(A,An)2,ieN,说明A中的分量有2个数值发生改变，进而变化到A1，所以共需要改变数值2(m

21、1)次，此数为偶数，所以矛盾所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).9分出此时m1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.13分易见当m为12的因子1,2,3,4,6,12时，给(1分).答出m5,8,10给(1分).答出m7,9,11中任一个给(1分)，都对给(2分)62021东城一模解:I由于A1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,M1,2,3,4,5,所以N(6,7,8,9,10,N5,6,7,8,9,N4,5,6,7,8n假设集合N3,4,5,6,7,N2,3,4,5,6,答复其中之一即可A&,a2,:an,如果集合A中每个元素加上同一个常数t,形成

22、新的集合Ma1t,a2t,，ant.根据T(A)1ij|ajnai|定义可以验证:T(M)T(A).nCai取t匚一,此时na1nCaii1nnCaii1由,annnCai.n通过验证，此时T(B)T(A),且nbii1出由于m占2T(A)(a2a1)a1)")(a2ma。(a3a2)aa?)(a2ma2)a3)(a2ma3)(a2ma2m1)=(2m1)a1(2m3屁amam1(2m3)a2m1(2m1)a2m=(2m1)(a2mai)(2m3)(a2m1a?)(amiam)=(2m1)(ba)(2m3)(a2miaz)(amiam)11分由于0a2mla2ba,0a2m2a3ba

23、,0a2m3a4ba,0am1amba.所以(2m1)(ba)T(A)m2(ba).13分72021朝阳二模解：I5,1,0,2,2.分n因为0ann1,所以0a21,0a32,又数列aj的前3项互不相等，1当a20时，假设a31,那么无a4%1,且对n3,m0(n2)m-21都为整数，所以m2；nn假设a32,那么a3a4a52,且对n3,m02(n2)m-J：2都为整数，所以m4；nn当及1时，m10(n2)m1+假设a30,那么a?a：%0,且对n3,都为nn整数，所以m1,不符合题意；假设a32，那么a3a：%,2,且对n3,m12(n2)m-2都为整数，所以m3;nn综上，m的值为2

24、,3,4.8分出对于n1,令Snaa2那么Sn1Sn10%1SnnSn1又对每一个n,S_都为正整数,nSnn至多出现m1个.故存在正整数MS.Sm,当nM时，必有趣Sn成立.n1n久时，那么an1Sn1Sn&旦.nnnan2an1Snan2(n1)an1an1an2an1由题设知|an2an1|n2.一S一1,又及an1均为整数,n2Sn故&&1&2nn1nn1n2从而an1Sm6生常数.nn故存在正整数M,使得nM时，an为常数.82021朝阳一模解：I集合1,2,3,4,5不是和谐集.3分n设集合Aa1,a2/,an所有元素之和为M.由题可知，Mai=1,

25、2，n均为偶数，因此aii=1,2,，n的奇偶性相同.i如果M为奇数，那么aii一1,2,，n也均为奇数，由于Ma11a2IIan,所以n为奇数.ii如果M为偶数，那么aii=1,2,，n均为偶数，此时设ai2bi,那么",2,bn也是和谐集”.重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的和谐集.此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数.综上所述，集合A中元素个数为奇数.8分出由n可知集合A中元素个数为奇数，当n=3时，显然任意集合a1,a2,a3不是和谐集'.当n=5时，不妨设a1<a2<a3<a4<a5,将集合ai,%,a4,a5分成两个交集为空集

26、的子集，且两个子集元素之和相等，那么有aIa5a31a4，或者a5aIa31a4；将集合a2,a3,a4,a5分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，那么有a2Ia5a3Ia4，或者a5a2a3Ia4.由、，得a1-a2,矛盾；由、，得a1=a2,矛盾；由、，得a1=a2,矛盾；由、，得aa2,矛盾.因此当n=5时，集合A一定不是和谐集.当n=7时，设A=1,3,5,7,9,11,13,因为315I79-11113,1I913-517111,9113-13I711,1315111-7113,1+9+11-3-5+13,37I9-1I5113,131519-711,所以集合A=1,3,

27、5,7,9,11,13是和谐集”.集合A中元素个数n的最小值是7.分392021丰台二模解：I因为an具有性质“P(3,2,0)，所以an3an0,n2.由a23,得353s3,由a45,得375.2,分因为3ga73s18,所以a610,即a310.4分nan不具有f生质“P(2,1,0).5分设等差数列bn的公差为d,由。2,b38,得2d826,所以d3,故bn3n1.6分设等比数列Cn的公比为q,由C32,c18,得q21,又q0,所以q1,故Cn24n,7分42所以an3n124n.假设3n具有性质“P(2,1,0)，那么3n23n0,n1.因为329,3412,所以3234,故3n

28、不具有T质“P(2,1,0)''.8分出因为an具有性质“P(i,2,dJ，所以a-and1,n2.因为an具有性质“P(j2d2)'',所以anjand2,n2.E、，*一因为i,jN,ij,i,j互质，所以由得amjiamjdi;由，得amijamid2,所以amjd1amid2，即d2jd1.10分i-，得anjanid2dij-di,n2,11分i所以anjian-di,ni2,12分i所以an具有性质“P(ji,i2,Ldi).13分ii0202i丰台一模解：I由题意得(mi)ii,m2(mi)i,解得mi;解得mi或m2.所以m2,故实数m的取值范围

29、是m2.4分n假设存在等差数列an符合要求，设公差为d,那么di,由aii,得&nn(n2i)d,由题意，得nn(n-ndn2n对nN均成立，即(ni)dn22当ni时，dR;当ni时，d-,ni因为=i+i,所以di,与di矛盾，故这样的等差数列nini在8,分出设数列an的公比为q,那么anadi,因为an的每一项均为正整数，且aniananqanan(qi)i09,分an不存所以ai0,且qi.因为anianq(anani)anani,所以在斗ani中，"a?a/为最小项.同理，在；为Jam中,为最小项.由an为“K数列，只需a2ai1,即ai(q1)1,1又因为(4不是“K数列11,.,1a2a'为最小项，所以2221a1(q1)2,由数列aj的每一项均为正整数,可得a1(q1)2,所以a11,q3或a2,q2.1,q3时,n1an3那么bn令Cnbn11bl(nN),那么Cn3n1n2又3n12n3