北京四中2012017学年高一下期中数学试卷解析版

1、2016-2017学年北京四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 .不等式x2+x2>0的解集为（）A.x|x<2或x>1B.x|-2<x<1C.x|x<1或x>2D.x|-1<x<22 .在ABC中，a2=b2+c2bcWJA等于（）A.450B.120.600D.30°3 .&是等差数列an的前n项和，如果S0=120,那么a1+a10的值是（）A.12B.36C.24D.484 .对于任意实数a、b、c、d,下列命题中，真命题为（）若a>b,cw0,贝Uac>b

2、c；若a>b,则ac?>bc2；若ac?>bc2,则a>b；若a>b,则工abA.B.C.D.5 .在ABC中，若a=2,b=2%后，A=30°,贝U8为（）A.600B.60°或120°C.30°D.30°或150°6 .已知等差数列an的公差为2,若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A.-4B.-6C.-8D.-10>27 .已知实数x、y满足约束条件，y>2,则z=2x+4y的最大值为（）肝y<6A.24B.20C.16D.128 .在下列函数中，最小值是2的是（）x2

3、x+2A-y=2+7B.y=声（x>0）-1,冗、-XrxC.y=sinx+-r-,x（0,）D.y=7+73J.£11塞.u9 .如图所示，CD、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是a和B,如果C、D间的距离是a,测角仪高为b,则塔图为(3A"丁吁广.BA.,.1Bac口与Qpcos(8a)D"Fsin(B-。)10 .设an是等差数列，下列结论中正确的是(A.若ai+a2>0,则az+a3>0B.若ai+a3<0,则ai+a2<0C.若0<ai<a2,则a2气D.若ai<

4、0,则(氏ai)(a2a3)>0二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 .在4ABC中，a=3,b=&，/A=W=,则/B=.12 .数歹1an的刖n项和Sn=2an-3(nCN),贝Ua5=.13 .如果c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中：ab>ac；c(b-a)>0；cb2<ab2；ac(a-c)<0,不一定成立的是(填序号).14 .设x,yCR+,且?i足4x+y=40,则lgx+lgy的最大值是.在in7A15 .在ABC中，a=4,b=5,c=6,贝U-7-=.sinCSn7n+9Qo+arjri16,

5、两等差数列an和bn,前n项和分别为Tn,且/£仔，则k讣Ln计JD1&三、解答题(本大题共3小题，共26分)17 .ABC中，BC=7,AB=3,且=|,'''sinB5(1)求AC的长;(2)求/A的大小.18 .若不等式ax2+5x-2>0的解集是&忤<区<2,(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.19 .设an是一个公差为d(dw0)的等差数列，它的前10项和Sio=110且ai,a2,a4成等比数列.(1)证明a1二d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式.一、卷(II)选填题：

6、(本大题共6小题，每小题5分，共30分)20 .在R上定义运算。：aOb=ab+2a+b,则满足x。(x-2)<0的实数x的取值范围为.21 .设等比数列an的前n项和为Sn.若a二1,松=4S,则a4=.22 .若锐角ABC的面积为1帖，且AB=5,AC=8,则BC等于.23 .在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2R贝cosC=()77794A.B.,C二云D-(4乂+3厂254024 .已知O为直角坐标系原点，P,Q的坐标满足不等式组r-2y+2<0,则cos,kl>0/POQ的最小值为()A"B.：C.D.0上上士25 .

7、已知数列A：a1，a2,，an(0<a1<a2<-<an,n>3)具有性质P:对任意i,j(1<i<j<n),aj+ai与aj-a两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列0,1,3具有性质P；数列0,2,4,6具有性质P；若数列A具有性质P,则a1=0；若数列a1,a2,a3(0<a1<a2<a3)具有性质P,则a+a3=2a2,其中真命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个二、解答题：(本大题共2小题，共20分)26 .已知数列an满足ai=1,ami?®d&,设bn=,nN*.n口n(1

8、)证明bn是等比数列(指出首项和公比)；(2)求数列Jlog2bn的前n项和五.27 .已知向量/(sinA,1)与？=(3,sinA+仃cqsA)共线，其中A是4ABC的内角.(1)求角A的大小；(2)若BC=Z求ABC面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状.2016-2017学年北京四中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1 .不等式x2+x-2>0的解集为（）A.x|x<2或x>1B.x|2<x<1C.x|x<1或x>2D.x|-1<x<2【考点】74：一元二次不等式

9、的解法.【分析】把不等式x2+x-2>0化为（x-1）（x+2）>0,求出解集即可.【解答】解：二.不等式x2+x-2>0化为（x-1）（x+2）>0,解得x<-2或x>1；不等式x2+x-2>0的解集是x|x<-2或x>1.故选：A.2 .在ABC中，a2=b2+c2bcWJA等于(A.450B.120.600D.30°【考点】HR余弦定理.【分析】利用余弦定理即可得出.【解答】解：a2=b2+c2-bc,bc-b2+c2-a2,cosA=2bcbe_1-2bc广AC(0,180),故选：C.3 .$是等差数列an的前n项和，如

10、果Si0-12O,那么a1+a10的值是（A.12B.36C.24D.48【考点】85:等差数列的前n项和.【分析】等差数列an中，由Si0=12O,知差"(ai+a0)=120,由此能求出ai+ai0.【解答】解：等差数列an中，.,0=120,(ai+ai0)=120,ai+ai0=24.故选C.4 .对于任意实数a、b、c、d,下列命题中，真命题为()若a>b,cw0,ac>bc；若a>b,则ac2>bc2；若ac2>bc2,则a>b；若a>b,则-<y-.A.B.C.D.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】通过举反例可以得出

11、、不正确，从而排除，由不等式的性质可得只有正确.【解答】解：当c<0时，不成立；当c=0时，不成立；由不等式的性质知成立，当b=0时，不成立.综上，只有成立，故选C.5 .在ABC中，若a=2,b=2"R,A=30°,MB为()A.600B.60°或120°C.30°D.30°或150°【考点】HP：正弦定理.【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B.sinB=一=一BC(0,180)./B=60°或120°故选B.6 .已知等差数列an的公差为2,若ai,a3和a4成等比数列，则a1可以

12、等于()A.-4B,-6C.-8D.-10【考点】8F：等差数列的性质.【分析】依题意，(a1+2d)2=a1?(a1+3d),可求得a1.【解答】解：二.等差数列an的公差d=2,a1，a3和前成等比数列，(a+2d)2=a1?(a1+3d),2a1d+4d=0,a1=-8,故选：C.>27 .已知实数x、y满足约束条件y2,则z=2x+4y的最大值为()肝A.24B.20C.16D.12【考点】7C：简单线性规划.【分析】画可行域z为目标函数纵截距四倍画直线0=2x+4y,平移直线过(0,2)时z有最大值【解答】解：画可行域如图，z为目标函数z=2x+4y,可看成是直线z=2x+4y

13、的纵截距四倍，画直线0=2x+4y,平移直线过A(2,4)点时z有最大值20故选B.8 .在下列函数中，最小值是2的是（x2x+2A.y吟孑B.丫=声*。）D.y=7x+7x八1LCnC.y=sinx+-T-,x(0,sinx2【考点】7F：基本不等式.【分析】由基本不等式成立的条件，逐个选项验证可得.解：选项A,x正负不定，不能满足最小值是2,故错误;选项B,k+2对1+1i:.1、6y=K=k“+iw2，一,11一，一，一当且仅当五直二不工）即x=0时取等号，但x>0,故错误;一一一H一选项CxC（0,于），.sinxe（0,1）,y=sin>+-4>2,当且仅当sinx

14、=-,即sinx=1时取等号，smxsinx但sinxC（0,1）,取不到1,故错误；选项D,丫二府一工人今”当且仅当7'寸即x=0时取等号，故正确.故选：D9.如图所示，C、D、A三点在同一水平线上，AB是塔的中轴线，在C、D两处测得塔顶部B处的仰角分别是a和B,如果C、D间的距离是a,测角仪高为b,则塔图为（）ABsin(6-Q)cos(P-Q.)CbD'cost-Q)'Kn(B-U)【考点】HP：正弦定理；HR余弦定理.【分析】分别在BCD4ABD这两个三角形中运用正弦定理，即可求解.【解答】解：在BCD中,CD二win/CBDsin/CF二二；sin(口一式.)

15、sin。即BD=.【；在ABD中,AB二BDsin.ZADB-sinZAABBDsin-sin90fl即AB=BD?sinB二一sinkP-Q；则塔高为里喂唔-bsin（卜一,iJ故选：A10 .设an是等差数列，下列结论中正确的是()A.若ai+a2>0,则az+a3>0B.若ai+a3<0,则ai+a2<0C.若0<ai<a2,则a2七D,若ai<0,则(%a"(a?a3)>0【考点】8F：等差数列的性质.【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论.【解答】解：若ai+a2>0,贝2ai+d>0,a2+a3=2ai+3d&

16、gt;2d,d>0时，结论成立，即A不正确；若ai+as<0,贝Uai+a2=2ai+d<0,az+a3=2ai+3d<2d,d<0时，结论成立，即B不正确；an是等差数列，0<ai<a2,2a2=ai+a3>2-Ja；y,a2>,即C正确;若ai<0,贝(a2ai)(a2a3)=-d2<0,即D不正确.故选：C.二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分)QTTJT11 .在4ABC中，a=3,b=Ve,/A=,则/B_-_.【考点】HP:正弦定理.【分析】由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系，即可得到角B.【

17、解答】解：由正弦定理可得，3=3,sinAsinB即有sinB与a2由b<a,则B<A,TT可得B=-.4TT故答案为：.12.数歹1an的刖n项和Sn=2an-3(nCN),贝Ua5=48.【考点】8E:数列的求和；8H:数列递推式.【分析】把an=Sn-Sn-1代入Sn=2ch-3化简整理得2(Sni+3)=Sn+3进而可知数列Sn+3是等比数列，求得S1+3,根据等比数列的通项公式求得数列Sn+3的通项公式，进而根据a5卓求得答案.【解答】解：弟=与-斗-1,.Sn=2an-3=2(Sn-Sn1)-3整理得2(Sn1+3)=Sn+3.&=2s3,二S1=3.数列Sn+

18、3是以6为首项，2为公比的等比数列Sn+3=6?2n1,Sn=6?2n1-3,.S5=6?24-3一a5=482故答案为4813 .如果c<b<a,且ac<0,那么下列不等式中：ab>ac；c(b-a)>0；cb2<ab2；ac(ac)<0,不一定成立的是(填序号).【考点】71：不等关系与不等式.【分析】由题意可得a>0,c<0,应用不等式的基本性质判断即可.【解答】解：由c<b<a,且ac<0,可得a>0,c<0,故、一定成立，但不一定成立，如当b=0时，不等式不成立，故答案为：.14 .设x,yCR+,且

19、?i足4x+y=40,贝Ulgx+lgy的最大值是2.【考点】7F：基本不等式.【分析】利用对数的运算法则转化成真数为乘积形式，然后利用基本不等式求最值即可.【解答】解：4x?y<(当三)2=400当且仅当4x=y=20时取“二”/.xy<100,.lgx+lgy=lgx产lg100=2.故答案为：215.在ABC中，a=4,b=5,c=6,贝7=_1，'''sinC【考点】HR余弦定理；GS二倍角白正弦；HP:正弦定理.【分析】利用余弦定理求出cosC,cosA,即可得出结论.【解答】解：,ABC中，a=4,b=5,c=6,cosC也近爸二1,cosaAM

20、M5,二sinC='',sinA=亚，84”近乂W.sin2A_544-丁=二=18故答案为：1.S7n+?3o+anr16.两等差数列和bn,前n项和分别为&,Tn,且=而，叱砧二24【考点】8F：等差数列的性质;85：等差数列的前n项和.【分析】在an为等差数列中,当m+n=p+q(m,n,p,qN+)时，am+an=ap+aq.所以结合此性质可得：J加b7+b1521x+编吟5再根据题意得到答案.21X（L）吟21【解答】解：在an为等差数列中，当m+n=p+q（m,n,p,qCN+）时,am+an=*+aq.a2+a2021X+)”彳所以,"+如52i

21、X(b1+b21)x1pr*'_7n+2又因为-,Q，Tn口+3'a2+a2Q149所以：1d故答案为：嘿.三、解答题（本大题共3小题，共26分）17.ABC中，BC=7；AB=3,且4=1.sine5(1)求AC的长；(2)求/A的大小.【考点】HP:正弦定理；HR余弦定理.【分析】(1)由已知利用正弦定理即可得解AC的值.(2)由已知利用余弦定理可求cosA的值，结合A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得解.【解答】解：(1)由正弦定理名可得：黑旦吧，可得：ACg二sinBsinCACsinB3=5.由余弦定理可得：cosA吟第d篝*弓由于AC(0°,180),可

22、得：A=120°.18.若不等式ax2+5x-2>0的解集是&停(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.【考点】77:一元二次不等式与一元二次方程；74:一元二次不等式的解法.【分析】(1)由二次不等式的解集形式，判断出2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值.(2)由(1)我们易得a的值，代入不等式ax2-5x+a2-1>0易解出其解集.【解答】解：(1)二班乂2+5乂2>0的解集是；a<0,2，2是ax2+5x-2=0的两根解得a=-2；(2)则不等式ax2-5x+a2-1>0可化为-2x2-5x+3&g

23、t;0解得.故不等式ax2-5x+a2-1>0的解集&|-3<x<.a-J19 .设an是一个公差为d(dw0)的等差数列，它的前10项和Sio=110且ai,a2,出成等比数列.(1)证明a1二d；(2)求公差d的值和数列an的通项公式.【考点】8M:等差数列与等比数列的综合；85:等差数列的前n项和.【分析】(1)由已知可得a22=a1?a4,代入等差数列的通项可转化为(a+d)2=a1?(a1+3d),整理可得(2)结合(1)且有£1口二工0%+10jd,联立方程可求a1，d及弟【解答】(1)证明：因a1，a2,应成等比数列，故a22=aia4而an是

24、等差数列，有a2=ai+d,a4=ai+3d于是(a1+d)2=a1(a1+3d)即a12+2a1d+d2=a12+3a1d化简得a1=d(2)解：由条件S10=110ftSIO=lOa14d,得到10a+45d=110由(1),a二d,代入上式得55d=110故d=2,an=a+(n1)d=2n因此，数列an的通项公式为an=2n一、卷(II)选填题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分)20 .在R上定义运算。：aOb=ab+2a+b,则满足x。(x-2)<0的实数x的取值范围为(-2,1).【考点】74：一元二次不等式的解法.【分析】根据题中已知得新定义，列出关于x的不等式，求出

25、不等式的解集即可得到x的取值范围.【解答】解：由aOb=ab+2a+b,得至ijx。(x2)=x(x2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0，,(y+2>0,(s+2<0-,分解因式得(x+2)(x-1)<0,可化为二或，解得-2<x<1Ix-l<0|x-l>0所以实数x的取值范围为(-2,1).故答案为：(-2,1)21 .设等比数列an的前n项和为&.若a1=1,松=4S,则a4=3.【考点】89：等比数列的前n项和；8G：等比数列的性质.【分析】根据&=48可求得q3,进而根据等比数列的通项公式，得到答案.【解答】解

26、：设等比数列的公比为q,则由0=4静知qw1,0=1"=4。-0.1-qlq-q3=3.aq3=3.故答案为：322 .若锐角ABC的面积为1M,且AB=5,AC=8,则BC等于7.【考点】HS余弦定理的应用.【分析】利用三角形的面积公式求出A,再利用余弓g定理求出BC.【解答】解：因为锐角ABC的面积为10/，且AB=5,AC=8,所以5Xgx所以sinA=,La所以A=60°,所以cosA=,所以BC='十二yF：,?=7.故答案为：7.23 .在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2R则cosC=()A7c7cc24A.B.C

27、yD-【考点】HQ:正弦定理的应用；GL三角函数中的恒等变换应用.【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB,cosB然后利用平方关系式求出cosC的值即可.【解答】解：因为在ABC中，内角A,B,C所对的边分另I是a,b,c,已知8b=5c,C=2B所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBc0slB所以cosB=,B为三角形内角，所以B(0,0.C<g.JL乙所以sinB'i-os2b=-|-所以sinC=sin2B=2<U乂?=粤，5525cosCqL为磋.故选：A.4，+3y-254024 .已知O为直角坐标系原点，P,Q的坐标满足不等式组,x

28、-2y+2<0,则cos/POQ的最小值为()A.B.:C.D.0【考点】7C:简单线性规划.4*+3y-25Vo【分析】先画出不等式组r-2V+240,对应的平面区域，利用余弦函数在0,9上是减函数，再找到/POQ最大时对应的点的坐标，就可求出cos/POQ的最小值.4乂+3厂2540【解答】解：满足不等式组,k2y+2<0，的平面区域如下图示：TT因为余弦函数在0,亏上是减函数，所以角最大时对应的余弦值最小，由图得，当P与A(1,7)重合，Q与B(4,3)重合时，/POQ最大.由tan/POQ=1+喝=1?/POQ二？cos/POQ亚42故选：A.25 .已知数列A：ai,a2

29、,，an(0<ai<a2<-<an,n>3)具有性质P:对任意i,j(1<i<j<n),aj+ai与aj-a两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列0,1,3具有性质P;数列0,2,4,6具有性质P;若数列A具有性质P,则a1=0；若数列a1，a2,a3(0wa1<a2<a3)具有性质P,则a+a3=2a2,其中真命题有()A.4个B.3个C.2个D.1个【考点】8B:数列的应用.【分析】根据数列A：a1,az,，an(00a1<*<<an,n>3)具有性质P：对任意i,j(1<i<

30、;j<n),a+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知错误，其余都正确.【解答】解：:对任意i,j(1<i<j<n),aj+ai与可-4两数中至少有一个是该数列中的项，数列0,1,3中，a2+a3=1+3=4和a3-a2=3-1=2都不是该数列中的数，故不正确；数列0,2,4,6,a+ai与aj-ai（1<i<j<3）两数中都是该数列中的项，并且a4-a3=2是该数列中的项，故正确；若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项，/0<ai<a2<-<an,n>3,而2an不是该数列中的项，一.0是该数列中的项，：ai=0；故正确；二,数列ai,a2,出具有性质P,0wai<a2<a3ai+a3与a3-ai至少有一个是该数列中的一项，且ai=0,1°若ai+央是该数列中的一项，则ai+a3=a3,.ai=0,易知a2+a3不是该数