双曲线的离心率

1、双曲线的离心率2x1 .已知双曲线a22 .过双曲线勺ay24。=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,则双曲线的离心率为(b2324=1(aA0,b>0)的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有b2一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为(2X3.过双曲线工一ab2=1(a>0,b>0)的左焦点F(c,0)(c>0),作圆222a.X+y=的切线，切点为E,延长FE4交双曲线右支于点P,若OP=艮-Of*,则双曲线的离心率为(2x4.若点P(2,0)到双曲线三a2yY=1(a

2、>0,b>0)的一条渐近线的距离为b2J2,则该双曲线的离心率为(2一，x5.已知F1,F2是双曲线a2二=1(a>0,bA0)的两焦点，以点F1为直角顶点作等腰直角三角形MF1F2,若边bMFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是6.22，一xy如图，F1、F2是双曲线不-彳=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于abA、B.若AABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为7.当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”.则离心率为J3的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为2X8

3、 .已知点P是双曲线-2a22=1,(a>0,b>0)右支上一点,b2Fi,F2分别是双曲线的左、右焦点,I为APFiF2的内心，若S"1八1八八一一=Sf2+3S&f2成立，则双曲线的离心率为(9 .已知巳下2分别是双曲线22xyC：=%=1(aA0,bA0)的左、右焦点，O为坐标原点,abP为双曲线右支上的一点，PF1与以F2为圆心,2x10 .已知双曲线a2yb211 .已知A是双曲线2x2aG是APF的重心,of2为半径的圆相切于点Q,且Q恰好是PF1的中点，则双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与实轴的夹角为30，则双曲线的离心率为2yb2=

4、1(a>0,b>0)的左顶点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,若GA=?PFi,则双曲线的离心率为C的离心率为()P为双曲线上一点,2212.双曲线1_与=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F2,过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两ab点，若AFiAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2=()V2X2213 .设双曲线F=1(aA0,bA0)的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率等于()abx2v214 .设双曲线C：q=1(aA0,b>0)的离心率为e,右顶点为A,点Q(3a,0),若C上存在一点P,使得ab22AP_LPQ,则15.

5、过双曲线X-Vr=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条ab渐近线的交点分别为B,C.若2AB=BC,则双曲线的离心率是()22XV16.已知F1、F2分别是双曲线C：f-q=1的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以E为圆心，|OF1|ab为半径的圆上，则双曲线C的离心率为22XV17 .设FF2分别为双曲线-2-12=1(a>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|十|PF2|=3b,ab9|PF111PF2|=ab,则该双曲线的离心率为()4x2y218 .若点P是以F1,F2为焦点的双曲线二=1上一点，满足P

6、F1_LPF2,且PF1|=2PF2,则此双曲线的离心a2b2一，率为.22219 .已知F为抛物线y2px(Pa0)的焦点，抛物线的准线与双曲线_2_当=1(a>04>0)的两条渐近线分别交ab于A、B两点.若4AFB为直角三角形，则双曲线的离心率为.220 .如图，F1,F2是椭圆C1:+V2=1与双曲线C2的公共焦点，A,B分别是C1,C2在第二，第四象限的公共点，42222xvxV若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是.21,双曲线C1：-2一上7二1与双曲线C2:下一上7=-1的离abab11心率分力1j为自和,则下+-=e1±-=1(己>0.>

7、;0)22.已知双曲线口一"的左焦点为F,若过点F且倾斜角为45°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是22xV23.设F1、F2分别为双曲线-y看=1(a>0,b>0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P,使abPF1PF2=0，且&FPF典三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为参考答案1. .A【解析】试题分析：由渐近线方程得，B=4eM,:+b2=5.故选a.a3Va23考点：求双曲线的离心率.2. D【解析】试题分析：由题意°b2<-<3,a222即4<c-a<9,所以5<

8、;£2<10,即J5<e<Ji0.aa考点：双曲线的性质.【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=E是一个比值，故只需根据条件得到Q关于a,b,c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>1.3. C【解析】试题分析：由OP=2OEOF得OE=1(OP+OF),所以E是FP的中点，设F2是右焦2点，则O是FF2的中点，所以OE/F2P,又E切点，即OE_LFP,所以F2P_LPF,所以PF=3a,于是由PF2=2OE=a,点P双曲线上，故PF-

9、PF2=2a,2,22,、2,2、2C10rCV10一,PF+PF2=FF2有(3a)+a=(2c)，得-2=一,即e=,故选C.a4a2考点：双曲线的几何性质.4. A【解析】试题分析：双曲线2x2ab2=1的一条渐近线为bxay=0,由题意j2b=J2,化简、a2b2得a=b,所以c=Ja2+b2=J2a,e=5/2,故选A.a考点：双曲线的性质.5. A【解析】试题分析：由等腰直角角形MF1F2得F1F2=MF12c="2b-c2-ac-a2=0251.e-e1=0,e=2考点：双曲线方程及性质6. B【解析】试题分析：因为AABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m

10、,A为双曲线上一点,F1A-F2A=F1A-AB=F1B=2aB为双曲线上BF2-BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c,由/ABF2=60°,则NF1BF2=120",在F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a216a2-22a4acos120>彳导c2=7a2,贝Ue2=7=e=41.考点：双曲线的简单性质7. D【解析】试题分析：不妨设双曲线的标准方程为22xy-22=1(a>0,b>0),则其“伴生椭圆”的方aba22程为二+与=1.;，石，ababb2一1+f,解得=2,所以其“伴生椭圆”的离心率e=1-2=;故选D.b22考点：双曲线的简单

11、性质8. C【解析】试题分析：如图，设圆I与LPF1F2的三边F1F2,PF1,PF2分别相切于点E,F,G,连接IE,IF,IG,则IE1FiF2,IF_LPFi,IG1PF2,它们分别是l_IF1F2IPF11_IPF2的高，11r1111r,SLIPF1;金黑|pFi|mif=2pfi,s_ipf2=2m|pF2|黑IG=-|PF2,1rSl=一父F2F1MIE=-F2F1，其中r是LPF1F2的内切圆的半2122一*.1rr.rr径*Slip,f=SIF-S,bFF二PF1=二PF2+F1F2,两边约去二得：1-22L1222421 .11111PF=|PF+-|1FF根据双曲线定义，

12、得PF1-PF2=22,己"干2|=&，2a=c,所c一以离心率为e=2,故选C.ap考点：双曲线的离心率【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况，直接求出a,c,从而求出e构造a,c的齐次式，求出e采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解根据圆锥曲线的统一定义求解构建关于e的不等式，解出e的取1值范围。本题中，根据题设条件I为APF1F2的内心，又S缈F=S妍2+S西尸2，可以建立关于焦半径和焦距的关系。从而找出a,c之间的关系，求出离心率e。9. A【解析】试题分析：由题意of2为半径的圆相切于点Q，且Q恰好是PFl的中点，连接

13、F2Q,则EQ_LPRPF=FF=2,cPQQFP为双曲线右支上的一点，所以PFPF=2SPP122+c2a,F1Q=c+a,在直角三角形22FiQF2,QF22+QF12=FiF22,，(a+c)2+c2=(2c)2,化简得a2ac_2c=°,式子的两端同乘以a2,可得2e2e-1=0,解得e=1-",又因为e>1,.e=1,所以应选A.22考点：双曲线的离心率10. C【解析】试题分析：渐近线方程为y=±2x.由于渐近线与实轴夹角为30口，所以也=tan30©=aa3所以e=11+(-)2=纣，故选C.a3考点：离心率计算问题.11. .B【解

14、析】试题分析：OA|0GOF1OP若GA=2-PF1，所以GA/PF1,又因为G是年F1F2的重心，所以1,所以g=ee=£=3,故选B.3c3a考点：1.双曲线的几何性质；2.三角形重心的性质.12.C【解析】试题分析：由双曲线的定义可得AF1-AF2=2a,AFi+|BFi-AB|=4a,因为AFi=|AB,所以BFiBFi-BF2=2a,两式相加可得=4a,代入BFiBF2=2a可得因为.A=90,BF1=4a所以AF1=|AB=2届,AF=ABBF2所以4c2=fe2=AF12+|AF：=20a2-8V2a2,所以e2考点：双曲线的定义.13.A【解析】试题分析：由题知：双曲

15、线的渐近线为又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以y=±ax,所以其中一条渐近线可以为ba2一,*-一x=x+1只有一个解b所以-b222-4=0a=4b*c=a"比2=”5be=£BF2=2a.考点：双曲线的简单性质14. A【解析】试题分析：根据题意可知，点P在以（2a,0）为圆心，以a为半径的圆上，可以得到圆的方程为（x-2a）2+y2=a2,该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组22L.L=1aa2b21有解，联立消元得I222b2_22(12)x-4ax3a-ba=0,其中一个根为3a2-b2x=a,另一个根为-,根据题思可知baa3a2

16、-b2.八、丁匚(a,3a),baa.2.2整理得a>b，即(x-2a)2y2=a2a2>c2-a2,从而解得e<J2,结合双曲线的离心率的取值范围，可知e(1,J2),故选A.考点：双曲线的离心率.15. C【解析】试题分析：过右顶点A斜率为一1的直线为y=-x+a,与渐近线y=2x联立可得aB-a,-ab-,与渐近线、a+ba+b,b-ay=bx联立可得C-aaababa_b,由2AB=BC可得2、222-a-a=-a,整理得b=2a.e=J51a+b,a-ba+b考点：1.双曲线方程与性质；2.直线方程；3.向量的坐标运算16. B【解析】试题分析：由题意得r(-c.O

17、J.FJgO),双曲线的渐近线方程为。工-Q，二0,已到渐近线的距离d=u芸=6；昆关于渐近线的对称点为A,与心乂与渐近线交于点E,可得民.4=25；而8为尾金的中点，。为马鸟的中点，所以兀8，所以上=90'；在三角形&AF二中,&舒=FtF2,即尸+45-=4/,而小+>=/,可得/=4产，所以离心率e=-=1.选B.口考点：双曲线的标准方程与几何性质.相关知识点：点到线的距离d二三三当二；双曲线-J一三二1,离心率e=-,a*3*G妙+那=L.【思路点睛】首先设出点F2的坐标（c,0）,然后作出其关于渐近线的对称点A,连接FiA（如上图）.易得F1AHOB且F

18、1A=2BO然后可求出点F2到渐近线的距离为b,OB=a所以FiA=2a,AF2=2b,同时可得，F1A_LAF2,最后由勾股定理即可求出b,c的关系，进而求出离心率.17. B|PFi|PF2|=3b(|PFi|+|PF2|2-(|PFi-PF2)=4PFi|PF2又因为_91PFi1'|PF26abb_422c,一二二所以有9b-4a=9ab解得a3或b1=a3（舍），所以c2db2255=1=二e二一aa9,即3,故选择B考点：双曲线性质18,新试题分析：由双曲线的定义可知PF1-PF2=2PF2PF2=PF2=2a,2,2222.PF_LPF2，二PF1|+|PF2=|F1F2，即5PF2|=4c.52a=4c2,、.5a=c,e=考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率.19.5试题分析：抛物线白准线方程为x=-R,双曲线的渐近线方程为2by=±x,则交点Aa22a【解析】试题分析：由双曲线定义根据点p为双曲线上一点，所以lPF一PF2II=2a,又B（-匕_型）.所以要