北京丰台区2014届高三数学上学期期末考试试题理

1、丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高三数学(理科)2014.1一、选择题共8小题,要求的一项。第一部分(选择题共40分)每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目1.在复平面内，复数i-1对应的点位于i(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限2.1函数y=x1x(x>0)的最小值为3.4.(A)1(B)2(C)3(D)4已知命题p:一(A)-x2X1,过双曲线(A)y(C)yx2Xi,2x2>2x12x2&2x1916(B)x2x1,2x2&2再(D)x2x1,2x2<2x12=1的右焦点，且平行其渐近线的直线方程

2、是3、4(x-5)4(B)y=(x-5)3二3(x5)43,、(D)y=-(x5)45.如图，已知曲边梯形ABCD勺曲边DC所在的曲线方程为y=-(x>0),e是自然对数的底，则曲边梯形的面积是(A)1(B)e1(D26.已知平行四边形ABCD43,AB=1,uuuumAD=2/DAB=60,则且ACAB等于(A)1(B)-.3(C)2(D)2,37.已知函数f（x）=2singx十中）>0,严|<n）的部分图象如图所示，那么f（x）的表达式为，一、5二(A) f(x)=2sin(2x)65二(B) f(x)=2sin(2x)6TT(C) f(x)=2sin(2x)6(D)

3、f(x)=2sin(2x-)68.如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为日（00<9<90°）的平面所截，截面是一个椭圆.当8为30°时，这个椭圆的离心率为(C)(D)第二部分（非选择题共110分）、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.已知等差数列an满足a3+a4=12,3a2=a5,那么an=10 .甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试，右图为依据他们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断：在甲、乙两位同学中，成绩较稳定的是同学（填“甲或“乙”）.11 .二项式（2x+l）6展开式中的常数项为x12 .已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱

4、垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为.13 .小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生.已知科普书每本6元，文具每套10元,并且买文具的钱不少于买科普书的钱.那么最多可以买的科普书与文具的总数是14 .若f(x)=(x-a)(x-b)+(xb)(xc)+(x-c)(x-a),其中a宅bEc的，对于下列ac结论：f(b)<0.若b=>,则VxwRf(x)占f(b)；一ac若bw,则f(a)Mf(c)；f(a)=f(c)成立充要条件为b=0.其中正确的是.(请填写序号)三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1

5、5 .(本小题共13分)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a2b2=bc,sinC=2sinB.(I)若b=2,求c；(n)求/a的大小.16 .(本小题共14分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的一点，/BAC=45，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=VCE是AC的中点.(I)求证：OE/平面VBC(II)求证：丫。_1面人3©媒(出)已知g是平面VBC与平面VOE形成的二面角的平面角，且0°日90°,若oa=ov=1求cose的值./人、某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号.已

6、知甲、乙、丙三个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号.目前该小区提供的房源数量如下表所示:单R#一单元二单元二单兀房源数量(套)334(I)求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率；(n)求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率.18 .(本小题共14分)已知函数f(x)=(xa)lnx,f(x)的导函数为f'(x).(i)当a=0时，求f(x)的最小值；(n)设g(x)=1x2+ax-f'(x)(aa-1),求函数g(x)的单调区间.219 .(本小题共13分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),点O为坐标原点，A,B是曲线C上异于

7、O的两点.(I)求曲线C的方程；(II)若直线OAOB的斜率之积为-，求证：直线AB过定点.20 .(本小题共13分)已知数列an各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列(an)的排序数列，例如：数列为,a2,a3满足a<a3<ai,则排序数列为2,3,1.(I)写出数列2,4,3,1的排序数列；(n)求证：数列an的排序数列为等差数列的充要条件是数列an为单调数列；(出)若数列an的排序数列仍为an,那么是否一定存在一项ak=k,证明你的结论.2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末数学(理科)试题答案1、 选择题ACBBACDA2、 填空题9.

8、2n-110.11.16012.13.4014.分注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若给出均不得分.解答题15.解：(I)在AB/c=,sinC=-.2分sinCsinBsinBcsinC=2sinB,.sinC=22分sinB'c=2b,5分c=4.6分,、,._,b2c2-a2(n)在ABC中，cosA=b-c,8分2bc102.2.Ac2-bca-b=bc,cosA=2bccosA=4b2-2b24b212A-60o.13分16.(I)证明：O,E分别是AB和AC的中点，,OE/BC.2分又：OES面VBC,BCU面VBC.3分.OE/面VBC

9、.4分(n)证明：7VA=VB,ABE等腰三角形，又*O为AB中点，VOXAB;5分在VO用口VOO43,OA=OC,VO=VOVA=VC,VO&VOC;6分/V0A=/VOC=9bVOXOC;7分ABnOC=O,AB-平面ABC,OC=平面ABC,8分VOL平面ABC.9分Vx（出）解：在圆O内，OA=OC/CAO=45,所以CCLAO.由（n）VOL平面ABG如图，建立空间直角坐标系.OA=OB=OC=OV=1,C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(CB=(-1,-1,0),CV=(-1,0,1)1011小,0).22分CBm=0,设m=(x

10、,y,z)为平面VBC的法向量，则畤CVm=0.ixy=0-T所以y'令x=1,解得m=(1,1,1).x-z=0.12同理，求得平面VOE的法向量为n=(1,-1,0).13cos:：u,v=Tuv|u|v|所以cosi=631417.解：(I)设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件A.则P(A)Cio20答：甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为20(没有答，不扣分)(H)设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件B.贝uP(B)=_2_1_2_1_1_22C3C3+2C3c4+2C3c413Ci3020一一1或P(B)二1一20c3c3c4Cw1320答：甲、乙、

11、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为13132011(没有答，不扣分)18.解：(I)函数f(x)的定义域为(0,收).当a=0时，f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1.1分i1令。)=0得*=2分ex11)0,Iej1e1),3jf'(x)-0+f(x)递减极小值递增5分11£(乂)的最/、值为f(-)=.6分ee(n)x-af'(x)=lnxax,、12x-a.”g(x)xax-(lnx).7分2x一、，1a、g'(x)=x+a(+2),8分xx1=(xa)(1-),x(x1)=2(xa)(x-1).9分x(1)当一1<a&l

12、t;0时，在(0,a),(1,代)内g'(x)>0；在(a,1)内g'(x)<0.(a,1)为递减区间，(0,a),(1,y)递增区间.11分(2)当a之0时，在(0,1)内,g'(x)V0；在(1,")内,g'(x)>0.(0,1)递减区间，(1,收)递增区间.13分综上所述，当1<a<0时，g（x）单调递增区间为（0,a）,（1,y）,递减区间为（a,1）；当a之0时，g（x）单调递增区间为（1,七整），减区间为（0,1）.14分19 .解：（I）焦点为F（1,0）,p=2,，抛物线方程为y2=4x.-3分、,1(n)

13、万法一：直线OAOB的斜率之积为21 设直线OA的万程为y=kx；直线OB的万程为y=_X.5分2k、y=kx44联立得A(7，_),同理B(16k2,_8k).9分y=4xkk由抛物线关于x轴对称可知定点在x轴上，那么当A,B横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.11分人42.一2142.令=16k，解得k=,则方=16k=8,点M(8,0)为直线AB过的定点.k22k212分下面证明直线AB过M点uuu44-12MA=(-8,-)MB=(16k2-8,4k)kk'44uuuuuu由(28)(8k)=(16k-8)可知向量MA与MB共线.kk，直线AB过定点M13分方法二：设A不，必

14、，Bx2,y2.(1)若直线AB斜率存在，设其方程为y=kx+b.4分y=kxbn222<2即k2x2+(2kb4)x+b2=0.7分y=4xb24b八 x1x2="T，y1y2=-.9分kk 直线OAOB的斜率之积为-1,即丛.3二一1,2x1x224k1即b=-8k,带入直线方程，得直线AB方程为y=kx-8k.b2 即直线AB过定点(8,0).11分(2)若直线AB斜率不存在，则x1=x2,y1=-y2,由_Xl,X2_可得x=x28,x1x22 直线AB方程为x=8,过定点(8,0).12分综上，直线AB过定点.13分20 .解：(I)排序数列为4,1,3,2.(n)证明：充分性：当数列an单调增时，=ai<a2<,<an,.排序数列为1,2,3，-n.排序数列为等差数列.4分当数列匕口单调减时，=an<an<,<研，排序数列为n,n-1,n-2一，1.排序数列为等差数列.综上，数列an为单调数列时，排序数列为等差数列.5分必要性：.排序数列为等差数列，排序数列为1,