动几何含答案

1、中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分真题精讲【例1】(2010,密云，一模)如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AD3,DC5,BC10,梯形的高为4.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的

2、速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t(秒).(1)当MN/AB时，求t的值；(2)试探究：t为何值时，4MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间,就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以

3、当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图，过D作DE/AB交BC于E点,则四边形ABED是平行四边形.AB/DE，AB/MN.DE/MN.（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题）MCNCECCD102t103（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）t50一.解得t一517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动

4、态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解（2）分三种情况讨论:当MNNC时，如图作NFBC交BC于F,则有MC2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）sinDFCD35102t解得t25当MNMC时，如图，过M作MHCD于H.则CN2CH,60-t17当MCCN时,则102tt.103【例2】（2010,崇文，一模）在4ABC中，/ACB=45o.点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.（1）如果AB=AC.如图，且点D在线段B

5、C上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.（2）如果ABWAC,如图，且点D在线段BC上运动.（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=4J2,BC3,CD=x,求线段CP的长.（用含x的式子表示）t2102t综上所述，当t25860f10口一或一时,173MNC为等腰三角形.DNM构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CFXBD.(1)中结论成立.理由是：过点A作AG，AC交BC于点G,AC=AG可证：GADCAF/ACF=/AGD=45o/BCF

6、=/ACB+/ACF=90o,即CF，BD【思路分析3这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点A作AQ，BC交CB的延长线于点Q,点D在线段BC上运动时,/BCA=45o,可求出AQ=CQ=4./DQ=4-x,CPCD易证AQDDCP,，,UQQCP2-xCPx.点D在线段BC延长线上运动时,./BCA=45o,可求出AQ=CQ=4,DQ=4+x.过A作AGAC交CB延长线于点G,则AGDACF.CFBD,【思路分析1】本题和上题有所不同，上

7、一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC,AACB=45o,./ABC=45o.由正方形ADEF得AD=AF,;/DAF=/BAC=90o,/DAB=/FAC,DABFAC,/ACF=/ABD./BCF=/ACB+/ACF=90o.即CFXBD.【思路分析2这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中2xCPx.4【例3】(2010,

8、怀柔,一模)MBC是等边三角形.(3)在(2)中，当y取最小值时，判断APQC的形状，并说明理由.【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定/MPQ=60。，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明：ZXMBC是等边三角形CP

9、CDAQD-ADCP，.而同，CPx4x4已知如图，在梯形ABCD中，AD/BC,AD2,BC4,点M是AD的中点,(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且/MPQ60保持不变.设PCx,MQy,求y与x的函数关系式;MBMC,/MBC/MCB60M是AD中点AMMD.AD/BC./AMB/MBC60,ZDMCZMCB60AAMBADMCABDC，梯形ABCD是等腰梯形.(2)解：在等边zXMBC中，MBMCBC4,/MBC/MCB60,/MPQ60./BMPZBPM/BPMZQPC120(这个角度传递非常重要，大家要仔细揣摩)/BMP/QPC ABM

10、PszCQPPCCQBMBPPCx,MQyBP4x,QC4yx4y12，一一- y-xx4(设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子)44x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时丫有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求APQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。(3)解：aPQC为直角三角形12y-x234当y取最小值时，xPC2.P是BC的中点，MPBC,而/MPQ60,/CPQ30,/PQC90以上三类题目都是动点问题， 这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件， 例

11、如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题.【例4】2010,门头沟，一模已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF,G为DF中点，连接EG,CG.(1)直接写出线段EG与CG的数量关系；(2)将图1中BEF绕B点逆时针旋转45，如图2所示，取DF中点G，连接EG,CG,.你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3)将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问(

12、1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45。到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45。之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1)CGEG(2)(1)

13、中结论没有发生变化，即CGEG.证明：连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点.在DAG与DCG中，ADCD,ADGCDG,DGDGDAG里DCG.AGCG.在DMG与FNG中,DGMFGN,FGDG,MDGNFG,DMG色FNG.MGNG在矩形AENM中，AMEN在RtAMG与RtENG中， AMEN,MGNG,AMGENG.AGEG.EGCG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己

14、研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形， 利用BE=EF这一条件将全等过渡。 要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。(3) (1)中的结论仍然成立.BC图3【例5】(2010,朝阳，一模)已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将AABE沿直线AE翻折，点B落在点B处.(1)当_5B=1时CF=cm,CE(2)当匹=2时，求sin/DAB的值；CE(3)当些

15、=x时(点C与点E不重合)，请写出4ABE翻折后与正方形ABCD公共部CE分的面积y与x的关系式，(只要写出结论，不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。 同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都

16、是可能的,所以需要大家分类讨论，不要遗漏。AB/CF,.BAE=/F.又/BAE=/BAE/BAE=F.MA=MF.设MA=MF=k,则MC=k-3,DM=9-k.在RtAADM中，由勾股定理得：13k2=(9-k)2+62,解得k=MA=法)【解析】(1)CF=6cm；(延长之后一眼看出，EAZY)(2)如图1,当点E在BC上时，延长AB交DC于点AB/CF,ABEsFCE,BECEABFCBE=2,CECF=3.5.一、DM=5.(设兀求解是这类题型中比较重要的方2（所求AB的面积即为ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y=18x18x【总结】通过以上五道例题，我们研

17、究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析，一个个将条件抽出来，将大问题化成若干个小问题去解决，就很轻松了.为更好的帮助考生，笔者总结这种问题的一般思路如下:第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量,要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系

18、。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1】2009,石景山，一模已知：如图（1）,射线AM射线BN,AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、DM5.sin/DAB=;AM13如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交BE于点N,同可得NA=NE.设NA=NE=m,贝UBN=2-m.在RtABN中,由勾股定理，得m2=(

19、12-m)2+62,BN=9.2/口15解得m=AN=一.2sinZDAB=孙（3）当点E在BC上时，y=AN18x；x1，所以难度不言而喻，但是希望考A,B图2BN上运动(点D与点A不重合、点C与点B不重合)，E是AB边上的动点(点E与A、B不重合)，在运动过程中始终保持DEEC,且ADDEABa.(1)求证：ADEBEC;(2)如图(2),当点E为AB边的中点时，求证：ADBCCD;(3)设AEm,请探究：BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示BEC的周长；若无关，请说明理由.【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到