初三数学培优专题胡不归问题

1、胡不归问题【胡不归问题背景介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1,在直线MN上运动的速度为V2,且V1AC.(3)要领：在动点P所在直线BM的异侧(相对定点A)作MBN，使sinMBNk【典型问题】【例1】(20152017武侯初二

2、上期末)如图，已知RtABC中，ACB90,BAC30，延长BC至D使CDBC,连接AD.(1)求证：4ABD是等边三角形；(2)若E为线段CD的中点，且AD4,点P为线段AC上一动点，连接EP,BP.1求EPAP的最小值；22BPAP的最小值.备用图解：(1)证明：/ACB=90o,/BAC=30ACBD,ZB=60vDC=CB,.AD=AB,vZB=60,.BD是等边三角形。(2)如图1中，作PFLAB于F,EF如AB于F交AC于P.力dzCB图L/PAF=30。,/PFA=900,.PFPA,2Di.PE+1PA=PE+PF,2当E、P、F共线时， 即EFLAB时,PE+PF最短,最小值

3、为线段EF；在RtAEFB+,.ZB=60O,EB=3,.EFEB&in60o=M3,2EP+2AP的最小值为2L.如图2中，作PFLAD于F,EFAD于F交AC于P.圄2/PAF=30,ZPFA=90,.PF=1PA,212BP+AP=2(PB+PA)=2(PB+PF),当B.P、F共线时，即BFAD时,PB+PF最短,最小值为线段BF在RtADFB中，/D=60O,DB=4,.BFDB&in60o=2出，.2BP+AP的最小值为40【变式1(2015内江改)如图在CE中，CA=CE,/CAE=30,O经过点C,直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接

4、OD,当1且圆的CD+ODNM1、,3c-CD+OD=DNODDMr622所以r4.3所以。O的直径AB的长8曲。【变式2】(2014成都中考28)k,(x2)(x4)(k为常数，且k0)与x轴从左到右依次交于8B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线yXb与抛物线的另一交点为Do3(1)若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；(2)若在抛物线的第一象限上存在一点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与AABC相似，求k的值；(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF。一动点M从A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,在沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止

5、。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？(2)分析：因为点P在第一象限的抛物线上，所以显然有/ABP为钝角，所以AABC中一定有一个角是钝角，且只能是/ACB,所以/ABP=/ACB;_一k一一由题可得：A(2,0),B(4,0),C(0,k),设P(mJ(m2)(m4)；8由两点间的距离可得：ACk24,BC.k216,AB6.以A、B、P为顶点的三角形与AABC相似有两种情况：第一种：/PAB=ZABC如图，已知抛物线yA,解：(1)yARkBC有AP/BC，所以kk(m2)(m4).-.8m2,m=6,R(6,2k),由 相 似得:ACBRBC44k24,k244k24BP

6、1,k2AB166x轴对称,因为k0,解得k122；第二种：/PAB=/BAC一OC.C(0,k),又AOk.(m2)(m.k82m24),m=8,P2(8,5k),BP20,解得k2延,综上所述，k的值为我或逅。55(3)F(2,2J3),提示：如图。由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间：t=AF+lDF.如答图3,作辅助线，将AF+IDF转化为AF+FG;再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点.【变式3】(2017广州中考改)如图，矩形ABCD中，AB=6cm,BC=J5cm,对角线AC、1BD相交于点O,ACOD关于CD的对称图形为4CED.若点P为

7、线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP,一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P,再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A后停止运动， 当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.,POPA2cA、t()s(PO-PA)s11.53|过点E作EFAD,交AD的延长线于点F解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为则EF=3cm,AF=35cm2 AE=JEF2AF29cm,从而sinZEAF=EF-=-2EA3过点P作PGLAD于点G,则有PG=2PA3过点O作OHLAD于点H,则OH=1CD=322而OP+2PA

8、=PO+PGOH,所以t最小=3s3显然AH=1AF,所以AP=1AE=|cm综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间.最短时，AP的长为号cm,点Q走2完全程所需的时间为3s.【变式4】2019长沙中考如图，ABC中，AB=AC=10tanA=2,BEXAC于点E,D是线段BE上的一个动点，则问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD+DH二CH二既二475【分析】本题关键在于处理“&M,考虑tanA=2,ABE三边之比为1:2:75sinZABE=,故作DHLAB交AB于H点，则。二二80CDI即的最小值是5【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只

9、需分析角度的三角函数值，作出垂线DH,即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造”，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在.【变式5】2019南通中考如图，平行四边形，心的最小值等于ABCD中，/DAB=60,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则B【分析】考虑如何构造“已知/A=60,且sin60=里，故延长AD,作PH,AD延长线于H点，即可得产闫=巫叨，将问题转化为：求PB+PH最小值.当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取至IJ最小值，即BH的长，解直角ABH即可得BH长.【变式6】2018重庆中考抛物线】,=_巫/.逋1+/与x轴交于点A,B（点A在点B的左边），与y轴交于点C.点h3P是直线AC上方抛物线上一点，PF,x轴于点F,PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1,当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐2【分析】根据抛物线解析式得A卜3后,0）、B&,obqo,ja），直线AC的解析式为：HIy-AcJb,可知AC与x轴夹角为30。.根据题意考虑，P在何处时