第1讲证明(三角形专题)

1、状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一年级：九年级§第1讲证明（三角形专题）【例3】ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作/MDN=/B.（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有【学习目标】与厶ADE相似的三角形.1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】（2）如图（2）,将/MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论.1、全等三角形的性质与判定；2、等腰（等边）三角形的性质与判

2、定;1（3）在图（2）中，若AB=AC=10,BC=12，当DEF的面积等于ABC的面积的时，求43、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一三角形问题中的结论探索【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且/DAB=30。有以下四个结论：AF丄BC:厶ADGACF;0为BC的中点；AG:DE=3:4，其中正确结论的序号是.变式练习1.如图，ABD与厶AEC都是等边三角形，ABMAC,下列结论中：BE=DC;/BOD=60:厶BODCOE.正确的序号是.考点感悟：专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2

3、】如图（1）,RtABC中，/ACB=-90,CD丄AB，垂足为D.AF平分/CAB，交CD于点E,交CB于点F(1)求证：CE=CF.线段EF的长.BC（2）将图（1）中的ADE沿AB向右平移到AD的位置，使点E'落在BC边上，其它条件不变，如图2）所示.试猜想:BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论.D护”R图（1）图（2）BDC备用圉考点感悟:变式练习：如图，O是正ABC内一点，OA=3,OB=4,OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针专题三几何动态问题【例5】如图，在ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P考点感悟:旋转60°得

4、到线段BO,下列结论:逆时针旋转60°得到；点O与S四边形aobo=6+33；SVAOC论是【】厶BOA可以由BOC绕点B0'的距离为4;/AOB=150;SVAOB.其中正确的结4从点B出发，以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts.(1)若a=2,ABPQbda，求t的值;A.B.C.D.设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形.【例4】如图1,ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分另在AB、AC5若a=三

5、，求PQ的长;边上，此时BD=CF,BD丄CF成立.是否存在实数a,使得点P在/ACB的平分线上?(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转0(0°<9<90°时，如图2,BD=CF成立吗？若若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.延长BD交CF于点G.成立，请证明；若不成立，请说明理由.(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3,求证：BD丄CF；当AB=4,AD=2时，求线段BG的长.考点感悟:变式练习：已知线段AB=6,C.D是AB上两点，且AC=DB=1,P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为

6、线段EF的中点，点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为专题四几何与函数结合问题【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D【例6】如图所示，在形状和大小不确定的ABC中，BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分/CBP，设BP=y,PE=X.1()当XEF时，求SDpE:SDbc的值；31(2) 当CQ=CE时，求y与X之间的函数关系式；21(3) 当CQ=CE时，求y与X之间的函数关系式；31当CQ=-ce(n为不小于2的常数)时，求直接y与x之间的函数关系式。n(3,4).以A

7、为顶点的抛物线尸ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC于点E.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 过点E作EF丄AD于F，交抛物线于点G,当t为何值时，ACG的面积最大？最大值为多少？(3) 在动点P,Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.AFD考点感悟:考点感悟:直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长。【课后测试】一、选择题：1、

8、下列判断正确的是()A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B. 有两边对应相等，且有一角为30。的两个等腰三角形全等C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、在平面直角坐标系xoy中，已知A(2,-),在y轴上确定点卩，使厶AOP为等到腰三角形,则符合条件的点P共有()A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题：3、在锐角三角形ABC中，BC=42,/ABC=45°,BD平分/ABC,M、N分别是BD、BC上的动点，贝UCM+MN的最小值是。4、如图，RtABC的边BC位于直线I上，AC=73，/ACB=90°

9、，/A=30°若RtABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线I上时，点A所经过的路线的长为6、如图(1),将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开得到厶ABD和厶ECF，固定厶ABD，并把ABD与厶ECF叠放在一起。(1) 操作：如图(2),将厶ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处，ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)。FE交DA于点G(G点不与D点重合)。求证：BHGD=BF(2)三、解答题：5、在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB,BC于点E

10、,F，连接EF(如图)。(1) 当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图)，求PC的长；探究：将直尺从图中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：PE的值是否发生变化？请说明理由；(2) 操作：如图(3),ECF的顶点F在厶ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)，且CF始终经过A,过点A作AG/CE,交FE于点G,连接DG。探究：FD+DG=。学生对本次课的评价：O特别满意O满意O般O不怎么样家长意见或建议：家长签字：部分答案:【例3】解：（1）图（1）中与ADE相似的有厶ABD，ACD，DCE。BDFCEDDEF，证明如下:/B+

11、/BDF+/BFD=180，/EDF+/BDF+/CDE=180,又tZEDF=ZB,/BFD=ZCDE。tAB=AC,/B=ZBDFCEDoBD=DF。CEEDCDCETBD=CD,CD=DF，即_=。CEEDDFED又tZC=ZEDF,CEDDEFoBDFCEDDEF。（3）连接AD，过D点作DG丄EF,DH丄BF，垂足分别为G,H.1tAB=AC,D是BC的中点，AD丄BC,BD=BC=6。2在RtAABD中，AD2=AB2-BD2,即AD2=102-62,-AD=8。c11-Saabc=?BC?AD=X12>8=48,2211SDEF=SABC=>48=12。4411又t?

12、AD?BD=?AB?DH,DH22/OBA=6一/ABO=/OBA。：.BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60°得到。故结论正确。连接OO,/BO=BO，/OAO=60>,.AOBO是等边三角形。OO正确。在AOO中，三边长为AOO是直角三角形。/AOB=/AOO+ZO's四边形AOBOSAOOOA=OC=5,OO=OB=4,OA=3,OB=90+600=150°故结论正确。1Sobo-32如图所示，将AOB绕点A逆时针旋转合,点O旋转至易知AOO直角三角形。则SAOCO'点.是边长为3的等边三角形，SAOBSAOCOSCOOSAOOAD

13、BDAB861024。5故结论正确。/BDFDEF,/DFB=ZEFD。综上所述，正确的结论为：。故选/DH丄BF,DG丄EF,DHF=ZDGF。【例4】解：（1）BD=CF成立。理由如下:又DF=DFDHFDGF(AAS)。DH=DG=24。5ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形,TSadef=1EFDG=1EF24=12,EF=5。225AB=AC,AD=AF，/BAC=/DAF=90。例3变式：A。【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理。【分析】正ABC,AB=CB,ZABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°

14、;得到线段BO,BO=BO,ZO'AO=600。=OB=4。故结论故结论错误。60°,使得AB与AC重4+-42上36+43。2是一组勾股数,1 34+13332 22COO是边长为3、4、/BAD=/BAC-ZDAC，/CAF=/DAF-/DAC，/BAD=/CAF。在厶BAD和厶CAF中,/AB=AC,ZBAD=ZCAF,BADCAF(SAS)。BD=CF。（2）证明：设BG交AC于点M./BAD也厶CAF(已证)，/ABM=ZGCM。又/BMA=/CMG,BMAsCMG。/AB=AC,PB=CMoPB=PQ。3/BGC=/BAC=90oBD丄CF。在正方形ADEF中，A

15、D=DE=2,AEAD2+DE222+222。1AN=FN=AE=1o2过点F作FN丄AC于点N。在等腰直角ABC中，AB=4,CN=AC-AN=3,BCab2+ac242+4242o在RtFCN中，tanFCNFN1CN3在RtAABM中，tanFCNtanABMAMABAM=1AB3CM=AC-AM=4BMAB2+AM242+4410。3/BMACMGBMBACM，即410343CG，4.10CG=511-BE=BQ=(6t)o22-a=5,PB誇t。/AD丄BC,PE/ADoPB:3解得，t=。2515 PQ=PB=1=一(cm)。24不存在.理由如下：四边形PQCM为平行四边形，PM/

16、CQ,PQ/CM,PQ=CM。 PB:AB=CM:AC。/AB=AC,PB=CM,PB=PQ。若点P在/ACB的平分线上，则/PCQ=/PCM,/PM/CQ,/PCQ=/CPM。/CPM=/PCM。 PM=CM。四边形PQCM是菱形。二PQ=CQ。 PB=CQ。:BD,1一.、2'丿O6(6-1)即210在RtBGC中,BGBC2CG24102810。5【例5】解：(ABC中，AB=AC=10,BC=12,1D是BC的中点，BD=CD=BC=6。2/a=2,.BP=2t,DQ=t。-BQ=BDQD=6t。BPQBDA,BPBQ，即t6t，解得：t=18。BDAB61013(2)过点P作

17、PE丄BC于E,四边形PQCM为平行四边形， PM/CQ,PQ/CM,PQ=CM。 PB:AB=CM:AC。/PB=at,CQ=BD+QD=6+t,PM=CQ=6+t,AP=ABPB=10at,且at=6+t。PM/CQ,.PM:BC=AP:AB,6t10at，化简得：6at+5t=30。1210把代入得，t=6。11不存在实数a,使得点P在/ACB的平分线上。【例6】【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例解：(1)vE、F是AB、AC中点BEQD EF/BC,EF=0.5BC=31匚匚 EP=xEF=1/EF/BCEP:BC=1:63kbb，解得-SDPE：SDBC=1:36

18、直线AC的解析式为y=-2x+6。(2)延长BQ交射线EF于点G/EF/BC /G=/GBC又/GBC=/GBP /G=/GBP PG=BP=y即EG=x+y/EF/BC QEGsQCB EQ:QC=EG:BC=1G点P(1,4-t),将y=4-t代入y=-2x+6中，解得点E的横坐标为x1-。2点G的横坐标为1t，代入抛物线的解析式中,222t2t2GE=(4_)-(4-t)=t44又点A到GE的距离为t,C到GE的距离为22SACGSAEGSCEGEG1 EG(2t)=EG=t2 2当t=2时，Saacg的最大值为1o可求点G的纵坐标为22+1。t24。4x+y=6即y=-<+6同(

19、2)中QEGQCBEQ:QC=EG:BC=2(3)t=或t=20138J5o【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形x+y=2>6y=+12y=-c+6(n-)G和菱形的性质。【例7】解：(1)A(1,4)。由题意，设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4抛物线过点C(3,0),0=a(3-1)2+4，解得，a=-1。抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3。(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,【分析】(1)根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x-1)2+4，然后将点C的坐

20、标代入，即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式)。(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=-2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标A(1,4),C(3,0),(1,4-t),据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;t2t然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=tt、点A到GE的距离为，C到GE42t12的距离为22;最后根据三角形的面积公式可以求得SacgSaegSceg=4t2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时，Saacg的最大值为1。（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上。分CE是边和对角:丄ABP=ZDPCAPBDCP线两种情况讨论即可。圈1竺即1迟CDPC即2PCPC=2'.5PF（2）BE的值不变理由：过F作FG丄AD，垂足为G,则四边形ABFG是矩形由题设和（2）知，C（3,0）,Q（3，t）,E（12,4t），设H（1|，m）。当CE是对角线时，如图1，有CQ=HE=CH，即/A=ZPFG=90°GF=AB=2/AEP+ZAPE=90°又/EPF=90°/APE+ZGPF=90°