第九章第3讲二项式定理

1、第3讲二项式定理r*y更*B*4-4教材回顾夯实基础！知识检理1. 二项式定理定理：(a+b)n=C0an+Cn%+Ckankbk+C%nN*).通项：第k+1项为：Tk+1=Cnankbk.(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：Ck(k=0,1,2,，n).2. 二项式系数的性质做一做1已知(2x3牛的展开式的常数项是第7项，则正整数n的值为.x解析：由已知条件可得Tr+1=Cn2nrx3n4r(1)r,由常数项为第7项，得3n4X6=0,解得：n=8.答案：82. (2014高考课标全国卷n)(x+a)10的展开式中，x7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)解析：设通项为T

2、r+1=Cwx10rar，令10r=7,.r=3,11x7的系数为C30a3=15,.a3=t,a=z.821答案：2耍点整合i. 辨明三个易误点(1) 通项公式Tr+1=Cnanrbr是展开式的第r+1项，不是第r项.(2) (a+b)n与(b+a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒.（3）易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Cn（k=0,1，n）.2. 二项展开式系数最大项的求法如求（a+bx）n（a,bR）的展开式系数最大的项，一般是采

3、用待定系数法，设展开式各项AkAAk-1系数分别为Ai,A2,，An+1,且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得.AkAAk+1做一做a713. （2014高考湖北卷）若二项式2x+X的展开式中占的系数是84,则实数a=（）A.2B.54C.12DR解析：选C二项式2x+ax7r的展开式的通项公式为Tr+1=C7（2x）7r-a=C727rarx72r,x令7-2r=-3,得r=5故展开式中的系数是C722a5=84,解得a=1.x4. （2015西省第三次四校联考）如果（2x1）6=ao+a1x+a2x2+a6x6,那么a1+a2+a6的值等于.解析：令x=0，有1=ao；令x=1,有1=

4、a+a1+a6,二a1+a2+a6=0.答案：0典例剖析考点突破电/考点一二项展开式中的特定项或特定项的系数（高频考点）二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题.高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：（1）求展开式中的某一项；（2）求展开式中的项的系数或二项式系数；（3）由已知条件求n的值或参数的值.（1）（2014髙考湖南卷）x2y的展开式中x2y3的系数是（）1B.5D.20A. 20C.5（2013高考天津卷）x士6的二项展开式中的常数项为b6（2014高考山东卷）若ax2+-的展开式中x3项的系数

5、为20,则a2+b2的最小值为x解析(1)2y展开式的通项公式为Tr+1=C52x5r15r(2y)r=C5-2(2)r-x5r-yr.当r=3时，C32-(2)3=20.16、1x不的展开式通项为Tr+1=(1)rC6x6r灵解得r=4，故常数项为(1)4C4=15.b6b(3)ax2+-的展开式的通项为Tr+1=xx33=(1)rC6x6尹，令6丁=0,=C6a6rbrx123r,令123r=3,得r=3，由C6a63b3=20,得ab=1，所以a2+b22ab=2,故a2+b2的最小值为2.答案(1)A(2)15(3)2规律方法二项式展开式有关问题的解题策略:(1)求展开式中的第n项可依

6、据二项式的通项公式直接求出第n项.求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.(3)已知展开式的某项，求特定项的系数可由某项得出参数项，再由通项公式写出第+1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.1.(1)(2015洛阳市高三年级统考)设n为正整数，(x展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为()A16B10C.4D2(2)(2014高考课标全国卷I)(xy)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为填写答案)(用数字1(3)C.x)8的展开式中的有理项共有2饭项.1解析：(1)(x)20展开式的通项公式为Tk+1=Cknx2nk(4n5k(本卜Ckn(1)kx2，

7、令4n5k=0,得k=细，.n可取10.25(2)x2y7=x(xy7)，其系数为C7,x2y7=y(x2y6)，其系数为C6,二x2y7的系数为CC6=828=20.163(prC8x4(r=0,1,2,1(3)CX丄)8的展开式的通项为Tr+1=C8(.x)8r()r2抵24x8),为使Tr+1为有理项，r必须是4的倍数，所以r=0,4,8，故共有3个有理项，分别是T1=(i1)0c8x4=x4,T5=(1)4c8x=35X,T9=(护島层256X2.答案：(1)B(2)20(3)3考点二_二项式系数或各项系数和2(1)(2015辽宁省五校高三联考)若(“Jx+x22)n展开式中只有第六项

8、的二项式系数最大，则展开式的常数项是()A.360B.180C.90D.45(2)(2015安徽省“江南十校”联考)若(x+2+m)9=氏+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,且(a+a2+a8)2(ar+a3+ag)2=39,则实数m的值为(A.1或3B.1或3C.1D.311项，所以n=10,解析(1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共通项公式为Tr+1=C10(x)10r(0r=C12rx52，所以r=2时，常数项为180.(2)令x=0,得到a0+a1+a2+a9=(2+m)9,令x=2,得到a。一a1+a2a3+一a9=m9,所以有(2+m)9m9=39

9、,即卩m2+2m=3,解得m=1或一3.答案(1)B(2)A本例变为：若(x+2+m)9=a+a1(x1)+a2(x1)2+a9(x1)9,且(a。25+a2+a8)2+a3+a9)2=39,则实数m的值为.解析：令x=2，得到a+a1+a2+a9=(4+m)9，令x=0,得到a。一a1+a2a3+a9=(m+2)9，所以有(4+m)9(m+2)9=39,即卩m2+6m+5=0,解得m=1或一5.答案：1或5规律方法1.二项式定理给出的是一个恒等式，对于a,b的一切值都成立因此，可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令a,b等于多少时，应视具体情况而定,般取“1、1或0”，有时也取其他

10、值.2.一般地，若f(x)=ao+a1x+a2*+anxn，贝Uf(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a0+a2+a4+-=f(1)十1(一父，偶数项系数之和为a1+a3+a5+f(1)f(1)2. (1)在二项式(.x+3)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A+B=72,则n=.(2)(1+2x)n(其中nN且n6)的展开式中x3与x4项的二项式系数相等，则系数最大项为.解析：(1)(赋值法)由题意可知，B=2n，令x=1,得A=4n,由A+B=72,得4n+2n=72,即2n=8,n=3.由于x3与X4项的二项式系数相等，则n=7.Tk+i=c7

11、(2x)k.C*C7+l2k+1,得生k(n+2)2n-1(nN*,n2).证明：因为nN*，且n2,所以3n=(2+1)n展开后至少有4项.(2+1)n=2n+Cn2n-1+Cn-12+12n+n2n-1+2n+12n+n2n-1=(n+2)2n-1故3n(n+2)2n-1(nN*,n2).1(x-)6,x0时，ff(x)表x,x0,达式的展开式中常数项为()A.20C.15B.20D.151解析x0时，f(x)=Gv0,故ff(x)=f(寸x)=(G+孑)6,其展开式的通项公式为Tr+1=C6(、；：X)6rr=(1)6rC6(x)62r，由62r=0,得r=3，故常数项为(1)3Cg=2

12、0.答案A名师点评(1)本题为二项式定理与函数的交汇问题，解决本题的关键是当x0时，将ff(x)表达式转化为二项式.(2)二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理,还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系.*(2015长春市第二次调研)设(-+x2)3的展开式的常数项为a,则直线y=axx与曲线y=x2围成图形的面积为.解析：Tr+1=C3xr3x2r=C3x3r3,令r=1，得a=3，直线y=3x与曲线y=x2的交点坐标为(0,0)和(3,9)，二直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面

13、积S=3(3xx2)dx=设fx3)l3=殳09答案：2厂如画ii妹:林耘面矣-;-【爭土用书单砂*姑11.(2015东北三校模拟)在(x2一)5的二项展开式中，第二项的系数为()xA.10C.5B. 10D.5解析：选D.展开式中的第二项为T2=C5(x2)51(弓1,所以其系数为一C5=5.2. 二项式(1x)4n+1(nN)的展开式中，系数最大的项为()A.第(2n+1)或(2n+2)项B.第(2n+1)项C. 第(2n+2)项D.第2n或(2n+1)项解析：选B.展开式中共有(4n+2)项，其中第(2n+1)项与第(2n+2)项的系数绝对值相等，但第(2n+1)项的系数为正，而第(2n

14、+2)项的系数为负，故第(2n+1)项的系数最大.2i3. (2015黄冈模拟)设复数x=(i是虚数单位)，贝UC2015X+C2015X2+C2o15X3+1ic2015X2015=()A.iB.iC.1iD.1+i2i解析：选C.x=:=1+i,C1015X+c2015X2+C2015x2015=(1+x)20151=i201511i=i1.4. 已知(xa)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的X和是()B.38D.1或281120,解得a=2,令x=1,得展开式各项系数和A.28C.1或38解析：选C.由题意知C8(a)4为(1a)8=1或38.5.(201

15、5江西临川一中等九校联考)二项式(ax+右)6的展开式的第二项的系数为3,则ax2dx的值为()27A.3解析：选A.二项展开式的第二项T2=c6(ax)5x，则由题意有警xC6a5=3，解得a=1，所以1x2dx=fxl-1=1(=326.(2015贵阳市适应性考试)若(2x+a)4(a0)的展开式中常数项为96,则实数a等于X解析：(2x+：)4的展开式通项为C4(2x)4r(；)r=24rarc4x42r，令42r=0，得r=2,22a2C2=96,a2=4,.a=2.答案：227.(2015昆明市第一次调研)(-+x)(1x)4的展开式中x的系数是X解析：(1yx)4展开式的通项公式T

16、r+1=C4(Vx)r=(1)rC4x2,(2+x)(1寸x)4的展开x0式中含x的项为-(1)4C4x2+x(1)0c4x2=-x2+x1=3x,故系数是3.xx答案：3&(2015福州质检)在(1x2)20的展开式中，如果第等，则r=.4r项和第r+2项的二项式系数相解析：由题意得，C401=C2，故4r1=r+1或2、4r1+r+1=20，即r=3或r=4.3因为r为整数，故r=4.答案：49.已知二项式(扳+T)n的展开式中各项的系数和为x(1) 求n;(2) 求展开式中的常数项.解:(1)由题意，得cn+C1+C2+cn=256,即2n=256,解得n=8.该二项展开式中的第r+1项

17、为84rTr+1=C8(饭)8r占=C8x3,256.令守=，得r=2，此时，常数项为T3=C8=28.10.已知(a2+1)n展开式中各项系数之和等于展开式的二项式系数最大的项的系数等于16215解：由x2+x，得165r1rTr+1=C51?x2灵=段+554,求a的值.-C52052x1X5的展开式的常数项，而(a2+1)n令Tr+1为常数项，则205r=0,16.r=4，.常数项T5=C5x=16.52n又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于由题意得2n=16,.n=4.由二项式系数的性质知，(a2+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,C4a4=54,.a=3.能力捉升1.

18、 (2014高考浙江卷)在(1+x)6(1+y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m,n),贝Vf(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=()A.45B60C.120D.210解析：选C.因为f(m,n)=CmC4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=Qc4+c6c4+c6c若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.+cc4=120.2. (2015山东枣庄模拟)若(x+y)9按x的降幕排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x+y=1,xy0，

19、则x的取值范围是()a.(-汽5)b【5，+)4c.(a,|D(1,+m)解析：选D.二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=c9x9ryr.c9x91yc9x92y2依题意，有x+y=1,xy0x8(1x)4x7(1x)20由此得，x(1x)1，即x的取值范围为(1,+a).na3. (2015荆州模拟)已知a=4#cos(2x+)dx,则二项式(x解:(1)TC4+c4=2C5,.n221n+98=0.+a)5的展开式中x的系数6x0为.nnn2解析：依题意得a=4ncos(2x+6)dx=2sin(2x+)0=2,即a=2，则Tr+1=c5(02)rx1031，当r=3时，T4=80x.故二项式(x2+)5的展开式中x的系数为一80.x答案：804.若(2x3)5=a+a1X+a2x2+a3x3+a4x/n=7或n=14,+a5x5，贝Va1+2a2+3a3+4a4+5a5等于解析：在已知等式两边对x求导，得5(2