极点与极线背景下的高考试题

1、,则点P的极线是直（3）当P在 内时，过点P任作一割线交于A, B ,设 在A, B处的切线交于点 Q ,极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学344000）极点与极线是高等几何中的重要概念， 当然不是高中数学课程标准 规定的学习内容， 也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题 中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景 作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律 .1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1,设P是不

2、在圆锥曲线上的一点，过 P点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点E,F,G,H ,连接EH,FG交于N ,连接EG,FH交于M ,则直线MN为点P对应的极线. 若P为圆锥曲线上的点，则过 P点的切线即为极线.由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线 于点A, B两点，则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 （1）当P在圆锥曲线上时，则点P的极线是曲线在P点处的切线；（2）当P在 外时，过点P作 的两条切线，设其切点分别为 A,B线AB （即切点弦所在的直线）;则点P的极线是动点Q的轨迹.定理2如图2,设点P关于圆锥曲线的极线

3、为l ,过点P任作一割线交 于A,B ,PA PB父l于Q ,则 ；反之，若有成立，则称点P,Q调和分割线段 AB ,或称点AQ BQP与Q关于 调和共轲，或称点 P（或点Q）关于圆锥曲线的调和共轲点为点 Q （或点P ）.点P关于圆锥曲线 的调和共轲点是一条直线，这条直线就是点P的极线.推论1如图2,设点P关于圆锥曲线 的调和共轲211点为点Q ,则有 ；反之,若有成立，PQ PA PB则点P与Q关于调和共轲.可以证明与是等价的.事实上，由有11PQ () 2PA PBAQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ 1 1 -PA PB PA PB PA PB211.PQ PA PB特别地，

4、我们还有O）的调和共轲点为点Q,推论2如图3,设点P关于有心圆锥曲线（设其中心为2PQ连线经过圆锥曲线的中心，则有 OR OP OQ ,反之若有此式成立， 则点P与Q关于调和共轲.证明：设直线PR PRRQ即可得PRRQOR2 PRRQOPRQ推论3如图PQ与的另一交点为R ,则OP OR OP OR ,化间OR OQ OR OQOQ.反之由此式可推出P与Q关于调和共轲.4, A,B圆锥曲线 的一条对称轴l上的两点(不在 上)，若A,B关于 调和共轲，过B任作 的一条割线，交两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线l对称，故在于P,Q上存在P,Q的对称点P ,Q .若P与Q重合，则Q与P

5、 也重合，此时P,Q关于l对称，有 PAB QAB ； 若P与Q不重合，则Q与P也不重合，由于 A, B 关于调和共轲，故A,B为上完全四点形PQ QP 的对边交点，即 Q在PA上，故AP,AQ关于直线l 对称，也有 PAB QAB .定理3 (配极原则)点P关于圆锥曲线 的极线p经过点Q 点Q关于 的极线q经过点P直线q关于的极点Q在直线p上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材， 阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线：Ax21 : Axox Cyy D(x x) E(y事实上，在圆锥曲线方程中，以必一y替换y即可

6、得到点2特别地：2 , 一 x(1)对于椭圆a2 y b2(2)对于双曲线(3)对于抛物线2x2a2yPQ1A,BQ直线p关于的极点P在直线q上如【1】，其中定理1的初等证法可参_ 2Cy 2Dx 2Ey F 0 ,则称点P(&, y)和直线y0) F 0是圆锥曲线的一对极点和极线.x0x替换x2,以色一x替换x , 2P(xo,yo)的极线方程.1 ,与点P(Xo, y0)对应的极线方程为 x2x a以y0y替换y2 ,以2* 1 ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 xxba2px ,与点P(x0,y0)对应的极线方程为 yy处1,b21p(x x).(4)如果圆锥曲线是椭圆2x2a的准

7、线；如果圆锥曲线是双曲线b22x2a1 ,当P(x0,yo)为其焦点F(c,0)时，极线恰为椭圆24 1,当P(x0,y)为其焦点F(c,0)时，极线恰为 b双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线y2 2px,当P(x0,y)为其焦点F(-,0)时，极线2恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题2x【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系 xOy中，如图，已知椭圆9的左右顶点为 A, B ,右焦点为 F .设过点M (x1，y1)，N(x2, y2),其中 m 0, y1 0,22,(1)设动点P满足PF PB 4 ,求点-1(2)设x12, x2 -,求点T的坐标；3T(t

8、,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点 y20.P的轨迹；设t 9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与 m无关).又点T对应的极线方程为 9-x m-y95K(1,0)分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3),当t 9时，T点坐标为(9, m), 连MN ,设直线AB与MN的交点为K ,根据 极点与极线的定义可知，点T对应的极线经过Kmy.x -1 ,此直线恒过x轴上的定点5从而直线 MN也恒过定点 K (1,0).【例2】(2008安徽卷理22)设椭圆2 x C :a2 y b21(a b0)过点M (J2,1),且左焦点为 Fi( .2,0).(1)求椭圆(2)当过点uu

9、uQ,满足APC的方程；P(4,1)的动直线l与椭圆C交于两个不同的点A,B时，在线段AB上取点分析与解:uurQBuuuruurAQ PB ,证明点Q总在某定直线上2(1)易求得答案uuuPA(2)由条件可有-uutrAQ4 uuu PBuu尸，说明点P,Q关于BQ x圆锥曲线C调和共轲根据定理4 x 1 yP对应的极线，即42故点Q总在定直线2x y2,点Q的轨迹就是点1 ,化简得2x y 22 0上.2 x 【例3】(1995全国卷理26)已知椭圆C:点，射线OP交椭圆于点动时，求点Q的轨迹方程24 16R,又点Q在OP上且满足 .，并说明轨迹是什么曲线.0.OQ直线l:上 -1 , P

10、是l上一12 82_OPOR ,当点P在l上移分析与解：由条件知OR2 OP| |OQ可知点P,Q关于圆锥曲线C调和共轲，而点Q可看作是点P的极线与直线OP的交点.图7226y,可化为一- -y-z- 1( x, y5523图8设P(12t,8 8t),则与P对应的极线方程为12tx (8 8t) y 八口 -1,化简得2416tx (1 t)y 2 又直线OP的方程为y 88tx ,化简得12t2 2t y x 3t解由联立方程组得6t25t 4t 2,消去 t 得 2x2 3y2 4x4 4t-2Z5t 4t 2不同日为0),故点Q的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为 轴的椭圆，但需去

11、掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II理21)已知抛物线x2 4yuuur uur的焦点为F, A,B是抛物线上的两动点，且 AF FB(0),过A,B两点分别作抛物线的切线，并设其交点为P.uuu uuu(1)证明FP AB为定值；(2)设 ABP的面积为S,写出S f ()的表达式， 并求S的最小值.分析与解：(1)显然，点P的极线为AB,故可设点P(x0, 1),再设 A(Xi, y1)，B(x2, y2),F,A,B三点对应的极线方程分别为y(Xi X2)Xo 2(y1 y2).uuuuuu又 FP (X0, 2),AB(2)设AB的方程为yXiX 2( y1 y) , x?x 2

12、(y2y),由于A,B,F三点共线，故相应的三极线共点于x1x0 2( y1 1)P(x0, 1),将y 1代入后面两个极线方程得，两式相减得X2X02(y21)uuu uuu(X2 x1,y2 y1)，故 FP AB % x1) 2(y2 %) 0.kx 1,与抛物线的极线方程 XoX 2(y y)对比可知直线AB对应的极点为P(2k, 1),把y kx 1代入x24y并由弦长公式得|AB 4(1 k2),所1 II2 2-以 Sabp - AB FP 2(1 k )(1 k ). 2显然，当k 0时，S取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线C : y x2的焦点为F ,动点P

13、在直线l:x y 2 0上运动， 过P作抛物线的两条切线 PA,PB ,且与抛物线分别 相切于A, B两点.(1)求 APB的重心G的轨迹方程；(2)证明 PFA PFB .分析与解：设点 P(Xo, y0), A(x1,y1), B(x2,y2),1x0x对比可知直线l:x y 2 0对应的极点为（一，2）, P为直线l上的动点,2则点P对应的极线AB必恒过点（2，2）.设 AB : y12 k(x -),2可化为故直线AB对应的极点为P(k，k2 22)，将直线AB的方程代入抛物线方程得2.k-,xkx 20 ,由此得x1x2k, yiy2k(xix21)k2 k4,2APB的重心G的轨迹方程为y 3(4x23kvi y2 -3x 2).2、(2)设 A(x1,x1 ), B%,k2k2x1 x2吟2 2),即P,x1x2),所以uuuuurFB,21、(x2,x2-).4cosPFA-uuuruurFPFAuuu uurFP FA同理uuuFP cos PFB tuu-,消去k即得k 223kk,x1x2 一221、FA (x1, x1-),4为 x2/1/ 2 1= x1 (x1x