定积分第一节定积分的概念及性质

1、第五章第五章积分学积分学不定积分不定积分定积分定积分定积分定积分 第一节第一节一、一、定积分问题举例定积分问题举例二、二、 定积分的定义定积分的定义三、三、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念及性质定积分的概念及性质 第五五章 一、定积分问题举例一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线设曲边梯形是由连续曲线)0)()(xfxfyx及及轴轴，以及两直线以及两直线bxax,所围成所围成 , 求其面积求其面积 a .矩形面积矩形面积ahhaahb梯形面积梯形面积)(2bahabxyoa)(xfy 观察与思考观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形在曲边梯形内摆满小的矩

2、形, , 当小矩形的宽度减少时当小矩形的宽度减少时, , 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? ? 怎样求曲边梯形的面积？怎样求曲边梯形的面积？求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 (1)(1)分割分割: : a x0 x1 x2 xn 1 xn b, , d dxi xi xi 1; ; 小曲边梯形的面积近似为小曲边梯形的面积近似为f(x xi)d dxi ( (xi 1 x xi xi); ); (2)(2)近似代替近似代替: : (4)(4)取极限取极限: : 设设 maxd dx1, , d dx2, , , , d dxn,

3、, 曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 dniiixfa10)(limx (3)(3)求和求和: :曲边梯形的面积近似为曲边梯形的面积近似为 ;dniiixfa10)(limx 2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便速度看作不变，求出各小段的路

4、程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割212101tttttttnn 1 d diiitttiiitvsd d d d)( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度（2）求和）求和iinitvsd d )(1 （3）取极限）取极限,max21ntttd dd dd d iniitvsd d )(lim10 路程的精确值路程的精确值abxo二、定积分定义二、定积分定义 ,)(上定义在设函数baxf的若对,ba任一种任一种分法分法,210bxxxxan,1diiixxx令任取任取,

5、 ,1iiixxxix时只要0max1dinixiniixfd1)(x总趋于确定的极限总趋于确定的极限 i , 则称此极限则称此极限 i 为函数为函数)(xf在区间在区间,ba上的上的定积分定积分,1xix1ixbaxxfd)(即即( )dbaf xx 01lim()niiifx x x d d 此时称此时称 f ( x ) 在在 a , b 上上可积可积 .记作记作baxxfd)(iniixfd10)(limx积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关定积分仅与被积函数及积分区间有关 ,

6、而与积分而与积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关 , 即即baxxfd)( )dbaf tt ( )dbaf uu 定理定理1.上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理2.,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点且只有有限个间断点 (证明略证明略).,)(可积在baxf定积分存在的条件121lim)2(ppppnnn()nnipn1lim1in10dpxx ixixd例例1. 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解:ninnin111lim) 1 (11lim1nniin n ixixd1

7、01dxx x01ni 1ni定积分的几何意义定积分的几何意义abxyo? a)(xfy 图51( )0 xf,( )adxxfba()35图ba,( )xf( )0 xf( )adxxfba,()15图在在 上连续，上连续，oyabx图53( )xfy a 既有正值又有负值时，既有正值又有负值时， ( )xf( ( ) )123bafx dxaaa yx( )xfy 1a2a3aaobcd各部分面积的代数和各部分面积的代数和利用几何意义求定积分利用几何意义求定积分 解 函数函数 y 1 x在区间在区间0, , 1上的定积分是上的定积分是以以y 1 x为为曲边曲边, , 以区间以区间0, ,

8、1为底的曲边梯形的面积为底的曲边梯形的面积 因为以因为以y 1 x为曲边为曲边, , 以区间以区间0, , 1为底的曲边梯形是为底的曲边梯形是一个直角三角形一个直角三角形, , 其底边长及高均为其底边长及高均为1, , 所以所以 例例2 2 例 2 用定积分的几何意义求10)1 (dxx 211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx211121)1 (10dxx 习题：习题： 利用定积分的几何意义，说明下列等式：利用定积分的几何意义，说明下列等式：41102p p dxx对定积分的对定积分的补充规定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时，

9、 abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小三、定积分的性质三、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1性质性质2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,假设假设bca 性质性质3 3（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性）dxba 1dxba ab . 性质性质4 4性质性质5 5如如果果在在区区间间,

10、ba上上0)( xf，推论推论1 1：则则dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )(.)(ba 推论推论2 2：（2）解解令令,)(xexfx 0, 2 x, 0)( xf, 0)(02 dxxexdxex 02,02dxx 于是于是dxex 20.20dxx 设设m及及m分分别别是是函函数数证证,)(mxfm ,)( bababamdxdxxfdxm).()()(abmdxxfabmba （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abmdx

11、xfabmba . .)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，性质性质6 6解解,sin31)(3xxf , 0p p x, 1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx p pp pp p .3sin31403p p p p p pdxx如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证mdxxfabmba )(1)()()(abmdxxfabmba 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 x x，使使dxxfba )()(abf

12、x x. . )(ba x x性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在区间在区间,ba上至少存在一个点上至少存在一个点x x，使使,)(1)( x xbadxxfabfdxxfba )()(abf x x.)(ba x x 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存在一个点个点x x，即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：xyoabx x)(x xf使使得得以以区区间间,ba为为以以曲曲线线)(xfy 底底边边，为曲边的曲边梯形的面积为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为等于同一底边而高为)(x xf的的一一个个矩矩形形的的面面积积。内容小结内容小结1. 定积分的定义 乘积和