线性代数性质公式整理

1、、相关概念线性代数第一章行列式an312且In2122舫2nn1行列式n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里MI；.是1,2，n5余子式与代数余子式an12illn222nanl丑nffi2nn在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的一个排列。当II:I是偶排列时，该项的前面带正号；当.h是奇排列时，该项的前面带负号，即卩31222日Ln如Enn这里I表示对所有n阶排列求和。式称为n阶行列式的完全展开式。2逆序与逆序数一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用丁山上.表示排列卜上上I的逆序数。3偶排列

2、与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。阶与3阶行列式的展开一一|：=招-he,11日】23B七1=ana22a5S-+星3悶忆贮-创3毗祖富-町誰阳3-创1型卵归站1的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式anaij-Laij+1alaas-i.j13i-lj+I泪-IjiSi十1+1*i+lj-1Sj+lj+i-且i+1卫3ill-1an.j+1也m称为斶的余子式数余子式，记为叮，即：1记为Ip;称I为的代AnA21A叫AnA22An26伴随矩阵一一由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如lAlnA2nAnnJ称为a的伴随

3、矩阵，记作卜：、|_|二、行列式的性质1经过转置行列式的值不变，即-|训7行列式行的性质与列的性质是对等的。2两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同（或两行成比例），行列式的值为0.3某行如有公因子k,则可把k提出行列式记号外。4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：Ai4-b|亞+b=时+bj迎2bbibj=lCj=Clc3+clc2c3didmd占ddo旳di企ch5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变:ata；电35b：-b+hib?-ka；bi亠kaciC2ciC2“6代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为

4、0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|=衛舫+日亡人泄+亦為）=2：_汽心曲|A|按i行展开的展开式|A|=EjAij十吧j衍十+舸如j=胸細|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；Xn-3）2. 关于副对角线的n阶行列式的值|AflT飞咧山恤3. 两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，贝UA*OB=较卜lAl|E|OAB*_lBt|=(-l)|A|B|4.范德蒙行列式11-1X|x；XflxnJ-X%1=口1勻三込冯）5. 抽象n阶方阵行列式公式（矩阵）若A

5、、B都是n阶矩阵，.是A的伴随矩阵，若A可逆，沁I是A的特征值:UT|-|A|=ln|A|；|AB|=|A|B|；|=|A|2；|A*|=|A|hH瓜7-占；|人|=11：=古；若则|A|=|B|,且特征值相同。uAjXAA|A|H一般情况下：|A土BIHIAII|B|五、行列式的计算1数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：将每列（行）都加到同一列（行），或者将每列（行）ki倍都加到同一列（行）。 逐行（或逐列）相加 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法一一验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 验证n=1和n=2时命题都正确，

6、假设n秩r(A)Ax=0有非零解0是矩阵A的特征值j（jA中有r阶子式不为0特别地，心丄._I若A是n阶矩阵，二nT列tOfA可逆r(A)|A|=O*-*A不可逆若A是mxn矩阵，则.|;i4矩阵的秩的公式r(A)二r(?J)；r(ATA)-r(A)当丄*0时，(3)=HA)|；r(A+B)r(A)+i(B)r(AD)minr(A),r(B)；若a可逆，则RaB)-仍小-r(创若A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，AB=O,则；：.J：分块矩阵“；：)_八、分块矩阵1概念一一将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块),把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。由

7、于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。2分块矩阵的运算一一对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则：AAJBiA+BjiBiLAjaJAi+B1A4+B.iABlfXY_AX卜BZAYdBW1CDJLZWj-CX+DZCY+DWfABl1at呼lc.d-Ibt若B,C分别是m阶与s阶矩阵，贝Uoqn若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵,bor1町coOC1则ocllcoB10若A是mxn矩阵，B是nxS矩阵且AB=O,对B和O矩阵按列分块有AB=A【甌Al=-ApJ=丽jApi=O(i=1,1-即b的列向量是齐次方程组加二0的解。线性

8、表出P214第三章、向量一、n维向量的概念与运算维向量n个有序数组貂月z卫d所构成的一个有序数组成为n维向量，记成星卫也1/或分别称为n维行向量或n维列向量，数古称为向量的第i个分量。2零向量所有分量都是0的向量称为零向量，记为03相等一一n维向量戊=（弧烁仙卩与口维向量卩=（bi,b5.K/相等，即a=卩讪=b13a2二a,二bri4运算n维向量a=-.an）7与（J=（bi.biU,等号成立当且仅当僅如特别地，如卜下：二则称.正交二、线性表出、线性相关1线性组合一一m个n维向量“赳.c：.及m个数w所构成的向量kj街卜k；a24+kmdm称为向量组：；:门的一个线性组合，数，：“-宀称为组

9、合系数。2线性表出一一对n维向量站月2,具和卩，如果存在实数，使得上1町|k吗+Mgp则称向量卩是向量矶/，咼的线性组合，或者说向量可由弘临届线性表出。设有两个n维向量组（I）i;n）入：二；如果（I）中每个向量都可由（n）中的向量九陆川线性表出，则称向量组（I）可由向量组（n熾性表出。如果（I）、（n）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。3. 线性相关、无关一一对于n维向量辄號，內，如果存在不全为零的数止煎，

10、使得kiai+k：2ii2+1kgag0则称向量组1线性相关，否则称它线性无关。关于线性无关，只要壯不全为零，必有儿.1h，或者，当且仅当ki=k；=-=ks-时，才有州50显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法（同乘或拆项重组），用秩（秩等于向量个数则线性无关），齐次方程组只有零解或反证法。4重要定理一一Xi n维向量组对如届线性相关|4齐次方程组5如屈）2有非零解I陽秩r（站扯岛）v n个n维向量纣心I,-LL；Hi.1 门-i个n维向量必线性相关。 如果町期、线性相关，贝则k皿如斷+1,啟必

11、线性相关。如果n维向量组线性无关，则它的延伸组II必线性无关。X n维向量卩可由k皿冋线性表出i非齐次方程组&皿*n）匸严有解h秩An）=iG皿沁0） 向量组轧此局线性相关至少有一个向量引由其余s-1个向量线性表出。 向量组站忌，九线性无关，而向量组向量组冇如，备卩线性相关，则向量卩可由门,线性表出，且表示方法唯一。 设有两个n维向量组（I,也；（n）讣h,如果向量组（I）可由向量组（n）线性表出，且，则九勒=：必线性相关。若n维向量组弘赵舄可由加酝川线性表出，且站月鸟吕线性无关，则sJ三、极大线性无关组、秩1概念一一设向量组巧如心中，有一个部分组rs）,满足条件场叫业线性无关;再添加任一向量

12、抵1乞，向量组如心必线性相关；（向量组釘月再中任何一个向量甘必可由:T：J*馆线性表出）则称向量组场&苻:-平是向量组的一个极大线性无关组。注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的。2. 秩一一向量昵血恳的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为1（沐粗起）-1。（1（血詞在/*）上1（纽迦松+1）如果向量组（I可由（n）.|线性表出，则7I|3注意一一求向量组的极大无关组时，只能都作行变换（或都做列变换），不能混合行列变换。如果只是求向量组的秩，则可

13、以混合行列变化。四、施密特正交化、正交矩阵1正交矩阵一一设A是n阶矩阵，满足二J-也-.：，则A是正交矩阵。A是正交矩阵aJ-A1-A的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，贝怖列式|A|或-】。2施密特正交化一一设向量组-线性无关，其正交规范化方法步骤如下：內=花而和I前2,则Pbfe，P两两正交。Blpzps再将九九內单位化，取Y1=頑72=丽T厂丽则:-i.n=加+2nXn=b2的+annXn=bnfaj(Xi+anx+a：|Xl+222+1概念一一若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组+an?X2+系数行列式|A|0,则方程组有唯一解，且屯-特*1-1二n。其中I加是|直|中的第

14、i列元素（即）替换成方程组右端的常数项心匕所构成的行列式。2推论若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组auXl+312X2+aLn?Mi=0上声I+21X2+a2nXn=I徂mXl+an2X2十+mXn=的系数行列式的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是一；|O二、齐次线性方程组1. 形式n个未知量m个方程组成的方程组向量形式：住曲+中別十+%忌=0其中丙二hm矚，血帀卩矩阵形式：AmnX=O2. 齐次线性方程组的解一一若将有序数组沁轨“7代入方程组的未知量傀沆仝丄使每个方程等式成立，则称“J为方程组的一个解（或解向量），记成訂Id业二切卩3. 齐次线性方程组的

15、基础解系一一设r_.-I.是AX=O的解向量，若满足 匕鼻為汀线性无关; AX=0的任一解向量E均可由-_.-.线性表出。等价于：（加入任一解向量匚使得駅鼻线性相关）（.，即线性无关解向量的个数为1j.,满足卫幣齐总-）则称向量八是AX=0的基础解系。=0的解的性质一一若是齐次线性方程组AX=0的解，则-1-1-仍是AX=0的解，其中ki,k2是任意常数。推广到多个解=0有解的条件一一齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。AX=0只有零解r方程组的列向量组线性无关-丁（矶越加）-且AX=0有非零解方程组的列向量组线性相关I-昭；J-6.基础解系向量个数与秩的关系-，则齐次线性方程组卜叹弓

16、存在基础解系，且基础解系由一-个线性无关解向量组成，故基础解系向量亍敬+r（A）=n（未知豈个数）=0的通解一一设是AX=0的基础解系，则；_；#：；二I-是AX=0的通解，其中k是任意常数。8.基础解系和通解的求法一一初等行变换三、非齐次线性方程组1形式n个未知量m个方程组成的方程组向量形式：蜀+中崔+=b其中吟二钳胡昂血矩阵形式：AmnX=bb-bijbj,bmT=b的解的性质设hlE2是AX=b的两个解，芒是对应齐次方程AX=O的解，则A(qj亠书)-0,A(t1l+-b=b有解的条件一一AX=b无解厂b不能由A的列向量组九恋厂,5线性表出r(A)tr(A|b)r(A)+I=r(A|b)

17、AX=b有解口b可以由A的列向量组広14剧线性表出-HA)=r(Ajb)|AX=b有唯一解卫当n)-卫血b)-nf工1卫、线性无关，血，妬线性相关jb可以由A的列向量组R；线性表出且表示唯一oAX=b有无穷解-:g“b)-tn-m.线性相关，b可由1线性表出且表示不唯一。=b的通解结构对应的齐次通解+非齐次的一个特解。=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A齐次线性方程组有解Ibi血，,bj,故AX=0的系数行向量也和解向量0有如下关系:，故A的行向量与AX=0的解向量是正交向量;r1即将解向量作齐次方程组的行向量时，a的行向量既是该方程组的解向量。6.AX=0的系数列向量和

18、解向量的关系P2607两个方程组的公共解一一方程组IaX=I和BX=0的公共解是满足方程组bX二门的解。P2638.同解方程组若佥：二心=；汐宵-XX和小上;上I；是同解方程组，有r(A)-r(ATA)=r(AAT)第五章特征值、特征向量、相似矩阵一、特征值、特征向量1. 特征值一一A是n阶方阵，如果对于数，存在非零向量，使得匸.一:,成立，则称是A的特征值，.是A的对应于的特征向量。2特征多项式一一（疋-A加丸，因沂0,故陡-阁0，此为特征多项式，矩阵血称为特征矩阵。3特征值的性质设I-是A的特征值，则：_冲：屮；11；冲1人14求特征值、特征向量的方法方法一：设!|,则由0求出A的全部特征值入，再有齐次线性方程组，丄求出A的对应于特征值区的特征向量。基础解系即是A的对应于的线性无关特征向量，通解即是A的对应于的全体特征向量。（除0向量）方法二：利用定义，凡满足关系式丄门二二茫*门的数即是A的特征值，即是A对应于的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵。P269二、相似矩阵、矩阵的相似对角化1相似矩阵一一设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得甘，则称A相似于B,记成A-b|