经典易错题会诊与试题预测16

1、经典易错题会诊与试题预测（十六）考点16复数?复数的概念?复数的代数形式及运算?复数概念的应用?复数的代数形式及运算经典易错题会诊命题角度1复数的概念1.（典型例题）若Z1=a+2i,z2=3-4i，且旦为纯虚数，则实数a的值为Z2考场错解tzi+a+2i,z12=3-4i,z-|aH-2i(a-2i)(34i)£一3_4一(3_4i)(34i)3a_8(64a)i3a_864ai.9162525又tZL为纯虚数。z23a8880,a=.填一。2533R）为纯虚数的充要条件是a=0且0.因此上面解答虽然答案是正确的,专家把脉t复数z=a+bi（a,b但解答过程错了，在由=0解得a=8

2、时还需满足25=0。25对症下药z-ia亠2iz2_3-4itZ1=a+2i,z2=3-4i,(a-2i)(34i)(3a_8)(64a)i25-(3-4i)(34i)3a-82564ai25IZ1为纯虚数，Z23a-864a解得填8。32.（典型例题）z=沽的共轭复数是A.C.1-i.1+i考场错解沪古十.z为纯虚数为1-i专家把脉z=L=i+i是错误的，因为(i-i)(i+i)=i-(i)2-z丰Iii对症下药选BTz=命r弓4斗z=ii的共轭复数是3.(典型例题)已知复数zi=3+4i,Z2=t+i,且ziZ2是实数，则实数t=(考场错解选C/z1z2R：=Z|z2Zz2=0O即(3+4

3、i)(t-i)+(3-4i)(t+i)=0二t=-y专家把脉TzR：=z=z.z为纯虚数：二z+z=0(z丰0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的是ziz2为纯虚数的结果，显然是错误的。对诊下药解法1：ziz2=(3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)TZiZ2为实数，4t-3=0,t=-.4解法2:Tziz2R,.ziz2=z1z2(3+4i)(t-i)=(3-4i)(t+i)二(3t+4)+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i-4t-3=3-4tt=3.44.(典型例题)已知z是复数，z+2i,均为实数(i为虚数单位)，且复数(2+ai)2在复平面上对应2i

4、的点在第一象限。求实数a的取值范围。考场错解设z=x+yi(x,yR),/z+2i=x+(y+2)i由题意得y=-2.2i一-zx空=丄(x+2)(2+i)=丄(2x+2)+丄(x-4)i.2-i555由题意得/(z+ai)/(z+ai)x=4,z=4-2i.222=4+(a-2)i=(i2+4a-a)+8(a-2)i2在复平面上的点在第一象限，22咖7迪,解得2waw6.8(a一2)KO.实数a的取值范围是2,6o专家把脉复数z=a+bi(a、bR)对应点(a、b)在第一象限的充要条件是a>0,b>0./a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，2,6o答

5、案：c解析：a3i(a3i)(1-2i)ab(3-2a)i12i(12i)(1-2i)=匕+士空i.依有题意有55ab05解得a-6.5对症下药设z=x+yi(x、yR)./z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=-2.又:上空。1(2x+2)+1(x-4)i.2_i(2_i)(2+i)55由题意得：x=4,z=4-2i.22/(z+ai)=(12+4a-a)+8(a-2)i2根据条件，可知J244a>0解得2<a<6.8(a_2)>0实数a的取值范围是(2,6)。专家会诊1深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示一复数z=a

6、+bi(a,bR)与复平面内的点(a、b)及向量OP是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。2要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,bF)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。考场思维训练1若复数邑卫(aR,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()1+2i.-6A.-222复数z=±!-1，在复平面内，z所对应的点在1+iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

7、限答案:B解析：-1i-z=-1=-1i-1-i_2_1i1-i1i譽冷对应的点在第二象限内选B.3设复数z满足1/，则|1+z|=()A.0B.1C.2D.2答案:解析：由1-z1-i(1-i)2|1+z|=|1-i|=1212-、_2选c.4已知复数zi满足(1+i)zi=-1+5i,a2=a-2-i.其中i为虚数单位，aR。若|z1-Z2|<|zi|，求a的取值范围。答案：解：由题意得z1=2-3i,于是|z<|z24_a2i|=(4a)24,|z(=13.1+i7由.(4_a)24：.,13,得a2_8a7：0.1<a<7.命题角度2复数的代数形式及运算1.（典

8、型例题I）复数A.C.BD选C2-i2-i3=1.-i.-2.2+ii-2,2-i考场错解.2-i3-1-,2i一1_i2i一1-2-1专家把脉上面解答错误认为i2=1.导致结果错误。72-i3运+i(72+i)(1+T2i)72+2i4i/2=j故选Ao(.2_i)(12i)2.2i2对症下药A解法1：,2-i3解法2:一1_j2i2.（典型例题）复数A.-161-2i1_»2i(1_2i)(1.2i)_伍+i一(®.2)(-'3i)5的值是13i.16i2-.2iC.8-8,3i考场错解选D。厂5.(-V,3i)525吩子廿1、.3i525*13'12选

9、Do专家把脉1、3i弓）5=（-2+T）533是错误的T上面解答似乎很有“道理”，但（-+2n均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幕运算法则,定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。zmn=（zm）n在数范围内，必须是m所以对于数学中的有关定理、25（_!建i）5对症下药选A。原式=222+阿）22=(2W)5二也一16(令w巴).-2w-2w*w223满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A.条直线B.两条直线C.圆D.椭圆考场错解选Ao由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点(0,1)和(3,4)的垂直

10、平分线。专家把脉上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,yR)代入计算才能确定答案。22对症下药选CO设z=x+yi(x,yR代入|z-i|=|3+4i|中计算得x2：；(y_l)2=5,即x+(y-1)=25.z的轨迹是表示以(0,1)为圆心，以5为半径的圆，选Co4.(05,上海卷)证明：在复数范围内，方程|z|2+(1-i)z-(1+i)z=5-5i(i为虚数单位)无解。2+i考场错解/|z|=|z|，原方程化简为：两边取模的：|Z|2+(1-i-1-i)|z|=|1-3i|=,10.22 |z|-2i|z|=、10=|z|-,10

11、=2i|z|o/|z|Ro|z|2-.10R而2i|z|为纯虚数或0。当|z|=0。显然不成立；当2i|z|为纯虚数，也不成立。综合得：原方程无解。专家把脉以上解答错在两边取模的计算，因为|z什z2|=|z1|+|z2|，只有当乙=入Z2(入r+)时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。2对症下药原方程化简为|z|2+(1-i)z-(1+i)z=1-3i.设z=x+yi(x,yR),代入上述方程得：22x+y-2xi-2yi=1-3i 02+y2=1(1)?x+2y=3(2)将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0(*)=-16<0,.方程(*)无实数解。原方程在复数范围内无

12、解。专家会诊1复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2. 求解计算时，要充分利用i、w的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i、w转化的计算问题。3在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。考场思维训练1(1i)(12i)()1'iA.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案：C解析：(1)(12i)(1i)2(12i)1-i的值是.02.3.42z=i+i+i+iA.-1B答案：B解析：z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.3(1竺)21岀答案:-，.3i解析:(罟)2-23J-4已知复数z=1+i，求实数a、b,使az+2bZ=(a+2z)2.答案：解：z

13、=1+i,代入az+2bz=(a-2z)2中得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.2.尹+2b-(a切2+4=0,七a-4b=23a2b='解得2或*b=V.5设i(1)若是虚数单位，复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0z和w又满足w-z=2i，求z和w值。答案:wz=2i,.zw-2i代入zw2iz-2iw1=0中得(w_2i)(w-.-2i)2iw-.-1=0.ww-4iw2iw-5=0.设w=x、yi(x,y：=R),则上式可变为(x亠yi)(xyi)4i(x亠yi)亠2i(xyi)亠5=0=x2亠y2亠

14、6y亠52xi=022x+y+6y+5=02x=0x=0卡-<或<.w二-i,zx=0,y=-5=-i或w=-5i,z=3i.(2)求证：如果|z|=.3，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+2i)=2iw-1/|z|w+2i|=|2iw-1|设w=x+yi,贝卩有|w'2i|4x(y2)ix2(y'2)=.x2'y2'4y4|2iw-1|-2y-1'2xi(2y1)2'4x2=：4x24y24y'1又|z|=3,故式可变为22223(x+y+4y+4)=4x+4y+4y

15、+1,22小一x+y-8y=11.|wM|#x(y4)i0；x2(y一4)4=x2y2-8y16-16飞11=3.3.|w_4i|的值是常数，且等于3.3.探究开放题预测预测角度1复数概念的应用下列命题中：(1) 两个复数不能比较大小；(2) 若z=a+bi，则当且仅当a=O,b丰0时，z为纯虚数；(3) (z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;(4) x+yi=1+i：<：x=y=1;(5) 若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集对应。其中正确的命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解题思路关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，若对复数概念理解不透彻，导

16、致判断失误。解答选A都不正确：(1)因为当两个复数是实数时，可以比较大小；(2) 若b=i时，则有z=0+i2=-1R。(3) 只有当Z2、Z3R时，命题才成立，当Z1=1,z2=0,z2=i满足条件，故结论不成立。(4) 只有当x、yR时，命题才正确。(5) 若a=0,则ai=0,不再是纯虚数。2.复数z=log2(Z2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时。(1) zR;(2)z为虚数；(3)z为纯虚数；(4)z=log449-i;(5)在复平面上z的对应点们于第三象限。解题思路讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,bR)的形式，然后根据复数的分类求解。解答(1)

17、.一个复数是实数的充要条件是虚部为0,严2.jx-3x-3AO解得x=4,当x=4时，xRoJog2(x3)=0(2) ：个复数是虚数的充要条件是虚部非0。.3x-3>0解得3+*'21<x<4或x>4og2(x3)式02即x(321,4)U(4,+8)时，Z为虚数。2(3) ：一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为零。"2.og2(x3x£)=0解得,即x不存在。og2(x3)式0.2(4) log2(x-3x-3)-ilog2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件:2log2(x-3x-3)=log449log2(x-3)=

18、1解得x=5，当x=5时，z=log449-i.L2(5)依题意有丿0g2(xdx_3)c0log2(X-3)£0解得当L_2!<x<4时，复数z对应的点位于第三象限。2预测角度2复数的代数形式及运算41计算：(1)(22i)5；(2)(1f；3i)5解题思路利用w的性质和in的周期性进行运算。解答(1)原式=(1i)4(1巧2二心打1 5-2w5-2w6222()52 2(2)原式=i(1_2_3i)(I)21003=j(Z)1003二i(_i)1003=2j.1如3i1-i2i22.设复数z=3(17)，若z2+az+b=1+i,求实数a、b的值。2卅解题思路与实数集

19、中求值问题类似，应先化简后代入求值。21-i-5|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A(2,2)的最小距解答z=(1i)23(1i)_2i3(1_i)_3-i_(3-i)(2-i)二口2+i一2+i_2+i一(2+i)(2i)-2将z=1-i代入z+az+b=1+i得2(1-i)+a(1-i)+b=1+i即(a+b)-(a+b)i=1+i+b二1,解得戶Y：-(a+2)=1.b=43. 若zc,且|z+2-2i|=1,则|z+2-2i|的了小值是(A.2B.3C.4D.5解题思路运用数形结合的思想求解。解答B/|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1点z的轨迹是以(-2,2)为圆心，

20、以1为半径的圆离|AP|=|AC|-1=.(22)202-1=4-仁3。4设z是虚数，w=z+1为实数，且1-<w<2.z(1)求|z|的值及z的实部的取值范围。(2)设u=z，求证：u求w-u2的最小值。为纯虚数。(3)解题思路设z=a+bi(a,b解答(1)设z=a+bi(a,b1aw=a+bi+(ap2a4bia2十b2R,bz0)代入w整理为w=x+yi形式w是实数的条件去创造等量关系。R”0)b)(b)i.a代Tw是实数，b丰0.a2+b2=1,即|z|=1。/w=2a,-1<w<2./z的实部的取值范围是(又a(-丄,21-a-bi(1-a-bi)(1-a-

21、bi)_1abi_(1abi)一(1a-bi)1),b丰0,u为纯虚数。22_1_a2_b2-2bb(1a)2b2i.a1(3)w-u2=2a+-2=2a1-日2=2a(a+1)(a+1)1+a=2a-12(a-1)-3_22_3=1.a北a十1即a=0(-丄，1)时，上式等号成立。2 2(a+1)=二a也 w-的最小值为1。考点高分解题综合训练1已知复数乙=3+4i,Z2=1+i,则乙Z2等于()A.7+iB.7-i.1-7iD.1+7i答案：A解析：由Z2=1+|得z21i,于是Zz2=(34i)(1-i)=7i.2在复平面内，设向量pi=(X1,y1),p2=(X2,y2),设复数Z1=

22、x1+y1i(x1,y1,x2,y2R)则p(p2等于A.ZiZ2+Z2ZiB.ZiZ2-Z1Z2c.Z1Z2-Z1Z2)D.Z1Z2+Z1Z2)答案:.-112IID解析：【(xiyW)(x2+y2i)+yii)(x2y2i)=xw+y-iyP1*P2.223若复数Z满足|Z+1|=|Z-i|，则Z在复平面所对应的点集合构成的图形是（）A.圆B直线C椭圆D双曲线答案：B解析：|z+1|表示z对应的点到（一1,0）的距离，|z-i|表示z到对应的点到点（0,1）的距离,|z+1|=|z-i|表示复平面内到（-1,0）和（0,1）距离相等的点的轨迹，即点4设复数Z满足（Z+i）Z=1-2i3,则

23、复数Z对应的点位于复平面内（-1,0）和（0,1）连结的垂直平分线，选B（）A.第一象限B第二象限C.第三象限D第四象限答案：A解析：由（2+i）z=1-2i3i3-i可得z-i'（仆2%2）_4+3i=4+3z对应的点（4,3）位于第一象限选a'z也（2+i）（2_i）555555(13i)2=()C.-3+iD-.'3-i答案：C解析：（i，3i）=.一3-i2(1-、-3i)_3i选C.、3-i6(21-I)4L4)4的值为i1-i()A.2B.-2C.0D.1答案：B解析：2)41-i(；2i)4_4.4(1i)4(1-i)7当Z时，严料的值等于()A.iB-iC1D-1答案：B解析：；z2'1v2)2二卫-J.Z4-1.2z100z501=(z4)25(-i)251=1C)24(J)1=i.8已知乙叮匕丘，中Z2Z2的值是A.10B-10C.10D1010412i_(12i)(3i)_17i答案:B解析：TZ1=()(2：)2+(：)23-i10101-7i(1_7i)(2i)9_13i又z2.10(2_i)505021.1z21=z2z2109定义运算ab=ad-bc,若复数Z=x+yi(x,yR)满足Z1的模等于x,则复数Z对应的点Z(x,y)的轨迹cd11方程为.答案：y2=