2021年安徽省高考数学试卷(理科)及解析

1、2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1. （5分）（2013?安徽）设i是虚数单位，二是复数z的共轲复数，若kGi+2:2£,则z=（）A . 1+iB. 1 - iC. - 1+iD. T - i2. （5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（）（W）A. _1B. _25C. 3D. _H6244-123. （5分）（2013?安徽）在下列命题中，不是公理的是（）A .平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的

2、两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4. （5分）（2013?安徽）aW是"函数f （x） =| （ax-1） x|在区间（0, +川 内单调递增”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条D.既不充分也不必要条件5. （5分）（2013?安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生 在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86, 94, 88, 92, 90,五名女生的成绩分别为88, 93, 93, 88,93,下列说法正确的

3、是（）A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6. （5分）（2013?安徽）已知一元二次不等式 f （x） <0的解集为x|x V- 1或x>,则f（10x） >0的解集为（）D . x|x< - lg2A . x|x< 1 或 x> lg2 B . x|< - 1 < x< - lg2 C. x|x > lg27. （5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆A . 0=0 （ p CR）和 pcos 0=2p=2cos

4、。的垂直于极轴的两条切线方程分别为（8.0=JI2(pCR)和 pcos 9=2C.兀/0=f ( pCR)和 pcos 0=1D. 0=0 ( pCR)和 pcos9=1（x）的图象如图所示，在区间a,b上可找到n （n或）个不同的数xi, x2,8. （5分）（2013?安徽）函数 y=f2, 3, 4,则n的取值范围是（21C. 3, 45D. 2, 39. （5分）（2013?安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点 A, B满足口白 =°B=0A-0B=2,则点集P|6?二h瓦+乩而，+“<1，入、科CR所表示的区域面积是（）A . |2V2B- 2VsC- 啦

5、D. |4V310. （5 分）（2013?安徽）若函数 f （x） =x3+ax2+bx+c 有极值点 x1, x2,且 f （x1） =x1,则关于 x 的方程 3 （f （x）2+2af （x） +b=0的不同实根个数是（）A. 3B. 4C. 5D. 6本、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上S11. （5分）（2013?安徽）若 （x+/-） 的展开式中x4的系数为7,则实数a=.12. （5分）（2013?安徽）设4ABC的内角A, B, C所对边的长分别为 a, b, c,若b+c=2a, 3sinA=5sinB ,则角C= .13. （5分）（2

6、013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A, B两点，若该抛物线上存在点C,使得ZACB为直角,则a的取值范围为.14. （5分）（2013?安徽）如图，互不相同的点 A1, A2,，An,和B1, B2,，Bn, 分别在角O的两条边上， 所有AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等，设 OAn=an,若a1=1 , a2=2 ,则数列an的通项公式 是.15. (5分)(2013?安徽)如图，正方体 ABCD - AlBlClDl的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点, 过点A , P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是 (

7、写出所有正确命题的编号).当0VCQV1时，S为四边形2当CQ= £时，S为等腰梯形当CQ=1时，S与C1D1的交点R满足C1R=1 当上< CQV1时，S为六边形4当CQ=1时，S的面积为月B三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤兀I16. (12分)(2013?安徽)已知函数 f (x) =4coscox?sin ( cox+) ( co>0)的最小正周期为 兀.(1)求3的值；(2)讨论f (x)在区间0, H上的单调性.17. (12 分)(2013?安徽)设函数 f (x) =ax- ( 1+a2) x2,其中 a>0

8、,区间 I=x|f (x) > 0(I )求I的长度(注：区间(a, 3)的长度定义为 3-g；(n )给定常数kC (0,1),当1 - kQ司+k时，求I长度的最小值.18. (12分)(2013?安徽)设椭圆 E:丹+产2=1的焦点在x轴上 a 1 - a(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；(2)设F1, F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q,并且F1PLF1Q, 证明：当a变化时，点P在某定直线上.19. (13分)(2013?安徽)如图，圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为22.5°, AB和CD是底

9、面圆O上的两条平行的弦，轴 OP与平面PCD所成的角为60°,(1)证明：平面 PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求 cos/ COD .23 n20. (13 分)(2013?安徽)设函数 fn (x) = -1+x+j+ 二、(xER, nENj，证明：22 那 n2(1)对每个nCN+,存在唯一的xnE弓，Il ,满足fn (xn) =0;(2)对于任意pCN+,由(1)中xn构成数列x n满足0Vxn-xn+PV.21. (13分)(2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均

10、需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II)求使P (X=m)取得最大值的整数 m.2013年安徽省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共io小题，每小题1. （5分）（2013?安徽）设i是虚数单位,A . 1+iB. 1 - i参考答案与试题解析5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求C. - 1+i二是复数z的共轲复数，若z*7h-2-2z，则z=（）考点：复数

11、代数形式的混合运算；复数相等的充要条件.专题：计算题.a, b的方程组求解a,分析：设出复数z=a+bi （a, bCR）,代入工后整理，利用复数相等的条件列关于b,则复数z可求._解答： 解：设 z=a+bi （a, b R）,贝 U 宕二 a-bi, 由得（a+bi） （a-bi） i=2 （a+bi）, 整理得 2+ （a2+b2） i=2a+2bi .所以z=1+i .故选A.点评：本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当是不等于实部, 虚部等于虚部，是基础题.2. （5分）（2013?安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中（D.JJ1

12、2s=+LJ的值，并输出.2 4 &A. _1B.空C. 3&-244考点：程序框图.专题：图表型.分析：分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=+1+二的值2 4 6.S. 1+1+1-11S=+ +2 4 S 12故选D.点评：根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与 运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行

13、分析管理)？建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模.3. (5分)(2013?安徽)在下列命题中，不是公理的是()A .平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所以点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线考点：平面的基本性质及推论.专题：规律型.分析：根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和 原理就是公理.解答：解：B, C, D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以

14、证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.故选A.点评： 本题考查了公理的意义，比较简单.4. (5分)(2013?安徽)aW是"函数f (x) | (ax-1) x|在区间(0, +川 内单调递增”的()A.充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：函数的性质及应用.分析： 先看当看码”时，去掉绝对值，结合二次函数的图象求出函数f (x) | (ax-1) x|是否在在区间(0, +8)内单调递增；再反过来当函数f (x) | (ax-1) x|在区间(0, +8)内单

15、调递增时，a4是否成立即可.解答：解：当a码”时，xC (0, +8)f (x) | (ax-1) x|= - a (x-1)x,结合二次函数图象可知 a函数f (x) | (ax - 1) x|在区间(0, +8)内单调递增.若 a> 0,如取 a1,则函数 f (x) | (ax 1) x| (x 1) x|,当 x C (0, +8)时f (x)r(货 -1)七-1) x, 0<i<1,如图所示，它在区间(0, +°0)内有增有减,从而得到函数f (x) | (ax-1) x|在区间(0, +8)内单调递增得出 a4."a磷"是"

16、函数f (x) | (ax- 1) x|在区间(0, +8)内单调递增”的充要条件. 故选C.点评:本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断, 性质，属于基础题.函数的单调性及单调区间，单调性是函数的重要5. (5分)(2013?安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生 在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86, 94, 88, 92, 90,五名女生的成绩分别为88, 93, 93, 88,93,下列说法正确的是()A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该

17、班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数考点：极差、方差与标准差.专题：概率与统计.分析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2 (xi- x) 2+(X2-篁)2+ (xn-M)2求解即可.n解答：解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90 )与=90,方差=(86- 90) 2+ ( 94- 90) 2+ (88- 90) 2+ (92- 90) 2+ (90- 90) 2=8.五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+8

18、8+93 )与=91 ,方差=春(88- 91) 2+ ( 93- 91) 2+ (93- 91) 2+ (88- 91 ) 2+ (93- 91) 2=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.故选C.点评：本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解.6.(5分)(2013?安徽)已知一元二次不等式 f (x) <0的解集为x|x V- 1或x>/,则f(10x) >0的解集为()D. x|x< - lg2A . x|x< 1 或 x> lg2 B . x|< - 1 <

19、x< - lg2 C. x|x > lg2考点：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用.分析：由题意可得f (10x) >0等价于-1v10x<4,由指数函数的单调性可得解集.解答:2解：由题意可知f (x) >0的解集为x| - 1 vx故可得f （10x） >0等价于-1v10xv，百由指数函数的值域为（0, +8）一定有10x>- 1,而10XV1可化为10XV2gig,即 10x< 10 lg2由指数函数的单调性可知：x<- lg2故选D点评：本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，

20、属中档题.7. （5分）（2013?安徽）在极坐标系中圆A . 0=0 （ p CR）和 pcos 0=2C.(pCR)和pcos 0=1p=2cos。的垂直于极轴的两条切线方程分别为(8. TT/0=- ( pCR)和 pcos (=2D. 0=0 ( p CR)和 pcos 9=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程.专题：直线与圆.分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出.解答：解：如图所示，在极坐标系中圆尸2cos。是以（1,0）为圆心，1为半径的圆.JT故圆的两条切线方程分别为G=_±（pCR）, pcos 9=2.2故选B.点评：正确理解圆的极坐标方程和直线

21、的极坐标方程是解题的关键8. （5分）（2013?安徽）函数y=f （x）的图象如图所示，在区间a, b上可找到n （n或）个不同的数x1, x2,A. 3, 4B. 2, 3, 4则n的取值范围是（C. 3, 4,5D. 2, 3考点：变化的快慢与变化率. 专题：函数的性质及应用.分析:解答:由解若y=f （x）的图象，数形结合分析可得答案.点评:则n可以是2,如图所示:V*本题考查的知识点是斜率公式，正确理解f（M）表示（x, f （x）点与原点连线的斜率是解答的关键.9. （5分）（2013?安徽）在平面直角坐标系中,O是坐标原点，两定点 A, B满足0A0B=0A-0B=2,则点入、科

22、CR所表示的区域面积是（B. 2VsA. 2V2考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模. 专题：平面向量及应用.分析:2的等边三角形，设出两个由两定点A , B满足0A - 0B上赢-0B=2，说明O, A, B三点构成边长为定点的坐标，再设出 P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A, B的坐标及 N科表示，把不等式P所表示区域的面积.|斗+|山得去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集解答:解：由两定点 A, B满足0A _ 0B =五赤=2,说明O, A, B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设 A (6, -1), B(/，1).再设 P

23、(x, y).(心6 二入：-入)+ (如口，二入+9)：以-人)所以等价于由I4+|u司.可行域如图中矩形 ABCD及其内部区域,1 口/则区域面积为2X23=473.故选D.点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式(组)所表示的平面区域，考查了数学 转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题.10. (5分)(2013?安徽)右函数f (x) =x +ax+bx+c有极值点xi, x2,且f (xi) =xi,则关于x的方程3 (f (x)2+2af (x) +b=0的不同实根个数是()A. 3B. 4C. 5D. 6考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在

24、性及根的个数判断.专题：综合题；导数的综合应用.分析： 求导数f'(x),由题意知xi,x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f(x)的方程3 (f(x)2+2af(x)+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案.解答： 解：f' (x) =3x2+2ax+b, xi, x2是方程 3x2+2ax+b=0 的两根，由 3 (f (x) 2+2af (x) +b=0,则有两个 f (x)使等式成立，xi=f (xi), x2>xi=f (xi),如下示意图象:如图有三个交点, 故选A.点评： 考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想.、填空题：

25、本大题共 5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11. （5 分）（2013?安徽）若x4的系数为7,则实数a= 12考点：二项式系数的性质.专题：计算题.分析：利用二项式定理的通项公式即可得出.解答：g_4r解：由通项公式 Tr+1 = C：/ 工r=arCgZ 3，SG+舁）的展开式中x4的系数为7,故答案为1.2点评：熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键.B, C所对边的长分别为12. （5分）（2013?安徽）设4ABC的内角A,a, b, c,若 b+c=2a, 3sinA=5sinB ,贝U角C=考点：余弦定理；正弦定理.专题：解三角形.分析：由3sinA=5sin

26、B ,根据正弦定理，可得 3a=5b,再利用余弦定理，即可求得C.解答： 解：3sinA=5sinB , 由正弦定理，可得 3a=5b,.1 b+c=2a,7 c=T 匕cosC=. ce（o,兀） C-C=3故答案为：_L3点评： 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.13. （5分）（2013?安徽）已知直线y=a交抛物线y=x2于A, B两点，若该抛物线上存在点C,使得ZACB为直角,则a的取值范围为1 , +0°）.考点：直线与圆锥曲线的关系.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：如图所示，可知 A （ 一通，3）, B（4G ），设C （m, m2

27、）,由该抛物线上存在点 C,使得/ ACB 为直角，可得 正岬/=0 .即可得到a的取值范围.解答：解：如图所示，可知 A （一孤，刁）,B （心，石）,设 C（m, m2），亟（出孤 K -廷），斡（m- G in* 7） 该抛物线上存在点 C,使得/ ACB为直角， AC BC=（此小）（川-忠）+2=0 -化为 m2- a+ （m2- a） 2=0 . - m 声”，m2=a - 1 也解得 a丁 .a的取值范围为1, +°°）.故答案为1 , +00）.点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力.14. （5分）

28、（2013?安徽）如图，互不相同的点A1, A2,，An, 和B1, B2,，Bn, 分别在角 O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等，设 OAn=an,若a1=1 , a2=2 ,则数列an的通项公式是 一 - 2 一 考点：数列的应用；数列的函数特性.专题分析:设£八门口 口二，利用已知可得 A1B1是三角形OA2B2的中位线，得到4UH】D S %巴Sao/Bj!似比的平方可得:2 a3_7S_7 了一国w a22 %_10 / a3，.因此数列解答:解：设 SAQAlB1 = S公差为3等差数列，即可得到 an. OA1=a1=1

29、, OA2=a2=2, A1B1/A2B2,，A1B1是三角形 OA2B2的中位线,，梯形A1B1B2A2的面积=3S.A1B1B2A2的面积=3S.由已知可得梯形 AnBnBn+lAn+1的面积=3S .利用相似三角形的性质面积的比等于相故梯形 AnBnBn+lAn+1的面积=3S.*、所有AnBn相互平行，所有AOA nBn （ n CN ）都相似,7s 7= 4S=Ia131=1a3 = 7a；是一个等差数列，其公差d=3,故/=1+ (n T) >3=3n - 2.- an-3n - 2 因此数列an的通项公式是 故答案为点评:本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、

30、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能, 考查了推理能力和计算能力.15. （5分）（2013?安徽）如图，正方体 ABCD - AlBlClDl的棱长为1, P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点,（写出所有正确命题的过点A, P, Q的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是编号）.当0vCQa时，S为四边形当CQ=,S为等腰梯形当CQ二,S与C1D1的交点R满足C1Rh1当jvCQ<1时，S为六边形 当CQ=1时，S的面积为月£考点：命题的真假判断与应用.专题：计算题.分析:解答:由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误.当CQ=白时，即

31、Q为CCi中点，此时可得PQ / AD1, AP=QD1= J ''故可得截面 APQDi为等腰梯形，故 正确；由上图当点 Q向C移动时，满足 0vCQv，只需在DDi上取点M满足AM /PQ,即可得截面为四边形 APQM ,故正确;当CQ二,如图,延长DDi至N,使D1N=,连接AN交A1D1于S,连接NQ交C1D1于R,连接SR,可证 AN / PQ,由NRDisqrci,可得 CiR： DlR=ClQ: DlN=1 : 2,故可得 CiR，故正确；1-J®由可知当CQV1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS,显然为五边形，故错误; 当CQ

32、=1时，Q与C1重合，取 A1D1的中点F,连接AF,可证PC1/ AF ,且PC1=AF , 可知截面为APC1F为菱形，故其面积为±AC1?pF=k-：二：=.'1,故正确.故答案为：点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤TT16. (12分)(2013?安徽)已知函数 f (x) =4coscox?sin ( wx+) ( w>0)的最小正周期为 兀.4|(1)求3的值；(2)讨论f (x)在区间0,三上的单调性.2考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性

33、及其求法；正弦函数的单调性.专题：三角函数的图像与性质.分析：(1)先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数3的值；(2)由于x是0,工范围内的角，得到 2x+工的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f (x)在区间0,24I JU解答:K上的单调性.解：(1) f (x) =4cos wxsin ( wx+-) =272sin «x?coswx+2-/2cos2wx4V2 (sin2 cox+cos2 cox) +h/=2sin 2 2 wx+,所以 T= £ "=兀,w=1 .23(2)由(1)知，f (x

34、) =2sin (2x+三)啦,4上单调减.点评:本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型.17. (12 分)(2013?安徽)设函数 f (x) =ax- ( 1+a2) x2,其中 a>0,区间 I=x|f (x) > 0(I )求I的长度(注：区间(a, 3)的长度定义为 3-g；(n )给定常数kC (0,1),当1 - kQ司+k时，求I长度的最小值.考点：导数的运算；一元二次不等式的解法.专题：函数的性质及应用.分析：(I )解不等式f (x) >0可得区间I,由区间长度定义可得 I的长度；(n )由(I )构造函

35、数d (a) =,利用导数可判断 d (a)的单调性，由单调性可判断 d (a)的最小值必定在a=1 - k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案.0，1+ a解 解：(I )因为方程ax- (1+a2) x2=0(a>0)有两个实根x1=0,故 f (x) > 0 的解集为x|x 1<x<x2,因此区间1= (0,31+a2),区间长度为31+a2d (a)=1+ a2令 d' (a)=0,得 a=1,由于 0vkv1,故当1 - k<a<1时，d'(a)>0,d(a)单调递增；当1 va司+k时，d'(a)< 0,

36、d(a)单调递减,因此当1 - k<a司+k时，d (a)的最小值必定在 a=1 - k或a=1+k处取得，1 - kd (1 - k) 1+ (1 - k ) 2d (Hk)1+k1+ (1+k ) 22- F _ k、2-k24k3v 1,故 d (1 - k) v d (1+k),因此当a=1-k时，d (a)在区间1 - k, 1+k上取得最小值1 - k2-2Hk£,即I长度的最小值为1 -k点评：本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运 用数学知识解决问题的能力.18. (12分)(2013?安徽)设椭圆 E:的焦

37、点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程；(2)设Fi, F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q,并且F1PLF1Q,证明:当a变化时，点P在某定直线上.考点： 专题： 分析：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程.(1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出0 争 2,解出即可;(2)设 P (xc, y0), F1 ( c, 0) , F2 (c,0),其中。二“2已2 1 利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率kf产y0,直线F2P的方程为y= 0 + c一(其一 G .即可得出Q c-).得 0解

38、答:.利用F1QLF1P,可得%4，均”-二-1 .化为D到直线F1Q的斜率kj；.与椭圆的方程联立即可解出点 p的坐标.解：(1)二.椭圆E的焦距为1,2 -11 - ”)二(5) ,解得2 _5故椭圆E的方程为2253 -1(2)设 P (x0, y0), F1 (一 C, 0), F2 (C, 0),其中 c-2a2 _ 1 .由题设可知：x0充.则直线F1P的斜率kc -,直线F2P的斜率kr J= y0FP K0 + c%P| Ko - c故直线F2P的方程为甘口y=令x-0 ,解得y=-G.即点Q J.因此直线F1Q的斜率心肛LX-)0F1Q± F1P,联立只只2，及x0

39、>0, y0>0,B > 3 -解得町二日二1 一 /即点P在定直线x+y=1上.点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技 能，看出数形结合的思想、推理能力和计算能力.19. （13分）（2013?安徽）如图，圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为22.5°, AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴 OP与平面PCD所成的角为60°,（1）证明：平面 PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求 cos/ COD .考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直

40、线与平面之间的位置关系；平面与平 面之间的位置关系.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出 OC, OF,求出cos/COF,利用二倍角公式，即可求得 cos/ COD.解答：（1）证明：设平面 PAB与平面PCD的交线为1,则 AB / CD, AB?平面 PCD, AB / 平面 PCD,AB?面PAB,平面PAB与平面PCD的交线为l, .AB / l AB在底面上，l在底面外l与底面平行；(2)解：设CD的中点为F,连接OF, PF由圆的性质，/ COD=2 / C

41、OF, OF，CD,OP，底面，CD?底面，OPXCD opnoF=oCD，平面 OPF CD?平面 PCD 平面OPF，平面PCD 直线OP在平面PCD上的射影为直线 PF / OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，/OPF=60°设 OP=h,贝U OF=OPtanZ OPF=73h / OCP=22.5 °,UP 二 htanZOCF -t an22. 5°545=1-ta nz22. 5°=1tan22.5 =V2 - 1OC=-y=(&+l)h在 RtAOCF 中，cos/ COF=53=2=R -炎 OC (后1) h .cos/

42、COD=cos (2/COF) =2cos2/COF - 1=17 - 12迎点评:本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键.23 n20. (13 分)(2013?安徽)设函数 fn (x) = -1+x+表+七+表(kER, 口 EN +),证明:2 3 n(1)对每个nCN+,存在唯一的xn -1,1 ,满足 fn (Xn) =0 ;(2)对于任意pCN+,由(1)中xn构成数列xn满足0V xn - xn+p <>.考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合.专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及

43、应用.分析：题干错误：nCN+,应该是对每个nCN+,(1)由题意可得f' (x) >0,函数f (x)在(0, +8)上是增函数.求得fn (1) > 0,fn2(2) < 0,再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.(2)由题意可得fn+1(xn)> fn(xn)=fn+1(xn+1) =0,由fn+1(x)在(0, +°°)上单调递增，可得xn+1VXn,故 xn- xn+p>0.用 fn (x)的解析式减去 fn+p (xn+p)的11 了E"一工1t巾丫.11-1解析式，变形可得xn-xn+p=£n

44、+£一电一，再进行放大，并裂项求和，可得它小于二，m k2 Wr+i kn综上可得要证的结论成立.22芝+为（xER、rEn+），可得f'(x) =1+2 “一 2 3n- 1>0,故函数f （x）在（0, +8）上是增函数.由于f1 (0) =0,当n或时，fn (1)22>0,即 fn (1) > 0.又 fn () =- 1+-+3l.lx32-?3心）+-+ +<0,根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的Xn£1,满足 fn (xn) =0.(2)对于任意pCN + ,由(1)中Xn构成数列xn,当x>0时，: fn+1 (

45、x) =fn (x)(n+1) 2>fn (x),解答：证明：（1）对每个nCN+,当x>0时，由函数fn （x） =- 1+x+. fn+1 (xn) > fn (xn) =fn+1 (xn+1)=0.由fn+1 (x)在(0, +8)上单调递增，可得xn+1Vxn,即xn - xn+1 >0,故数列xn为减数列，即对任意的 n、p GN +, xn - xn+p >0.由于 fn (x) = - 1+xn+23n Knf n+p (xn+p) = 1+x n+p+'Z2+ +2n去=0，rr+p+ Xr+P(n+p) 2用减去 并移项，利用0 V xn+p司，可得xn- xn+p=E-