基础_知识讲解_空间向量的数量积理126

1、空间向量的数量积【学习目标】1.掌握空间向量的数量积的运算法则、运算律和性质。2,能用向量的数量积计算向量的夹角、长度。3.能用向量的数量积判断向量的垂直.【要点梳理】要点一、空间向量的数量积1 .两个向量的数量积.已知两个非零向量a、b,则|a|b|cosa,b叫做向量a与b的数量积，记作a-b,即a-b=|a|-|b|cosa,b>.要点诠释：(1)由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同.(2)两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的

2、乘积，其符号由夹角的余弦值决定.(3)两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆.2,空间向量数量积的性质44曰."*曰"t设a',b是非零向量，e是单位向量，则 ae=ea=|，|cos<a,e>；-V*3C a_b=ab=0; |：|2=a?或|i|='看吗； cos：a,b=:b4;|a|b| |ab|.|a|b|3.空间向量的数量积满足如下运算律：(1)(九a)b=九(ab);(2) a-b=b-a(交换律);(3) a,(b+c)=a-b+a-c(分配律).要点诠释：0的

3、向量,(1) 对于三个不为0的实数a、b、c,若ab=a-c,则b=c;对于三个不为若ab=ac不能彳#出b=c,即向量不能约分.k.k(2) 若a-b=k,不能得出a=-(或b=1),就是说，向量不能进行除法运算.(3) 对于三个不为0的实数，a、b、c有(ab)c=a(bc),对于三个不为0的向量a、b、c,有(ab)c#a(bc),向量的数量积不满足结合律.要点二、空间两个向量的夹角.,OB=b,则/AOB叫做向量a与b的1 .定义：已知两个非零向量a、b,在空间任取一点D,作OA=a夹角，记作a,b，如下图。b根据空间两个向量数量积的定义:a-b=|a|b|cosa,b>,那么空

4、间两个向量a、b的夹角的余弦cost；a,b)=ab|a|b|要点诠释:2.特别地，如果<a,b>=0,那么a与b同向；如果<a,b>=n,那么a与B反向;如果<a,b>=90O,那么a与b垂直，记作a_Lb。2 .利用空间向量求异面直线所成的角异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。要点三、空间向量的长度。=|a|2,所以向量a的模:1

5、.定义：在空间两个向量的数量积中，特别地a-a=|a|-|a|cos0|a|=a2将其推广：|ab|=,(ab)2Ja2W2ab+b2；|a+b+c|=J(a+b+c)2=Ja2+b2+c2+2ab+2bc+2c-a。2 .利用向量求线段的长度。将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=a2来求解。要点四、空间向量的垂直。4/.、冗.右a,b)=一,则称a与b互相垂直，并记作a±b.2根据数量积的定义：a-Lb?a,b=0要点诠释：a±b?a-b=0是数形结合的纽带之一，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系

6、来解决垂直的论证问题.【典型例题】类型一：空间向量的数量积例1.已知向量a_Lb,向量C与a,b的夹角都是60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,试求：(1)(a+b)2；(2)(3a2b).(b3c).【思路点拨】和平面向量一样，空间向量数量积运算类似于多项式的乘法。【解析】.向量a_Lb,向量c与a,b的夹角都是60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,a2=1,b=4*=9,a*b=0,a*c=a.ccos60"=|,b.1ccos60=3(1)(ab)2-a22+2a*b+b=1+0+4=5；(2)(3a-2b)(b一3c)二3a3才2广广2772b+2b*3c=0-8

7、+18=【总结升华】向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。举一反三：【变式1】已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2,|b|=5,贝U（2ab）a=【答案】(2b)a=2a2-b-a=2|a12-|a|-|b|-cos120。=2425()=13。2【变式2】（2014秋烟台期末）如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别2为ABADDC的中点，则a等于（A.2BAACB.2aDBDC.2FGCA一'一.222BAAC=2aacos(五一/BAD)=2a(-cos60)=-a，故排除A。72ADBD=

8、2aa2一，cos60=a，故B满足条件。a.2FGCA=2a22cos=-a,故排除Co-a,2EFBC=2aa2cos602a-,故排除D=2故选Bo例2、如右图，已知空间四边形ABCD勺每条边和对角线长都等于a,点E、中点，求下列向量的数量积.F、ABAC;(2)ADBD;(3)GFTo;(4)EFBC.【思路点拨】首先要在空间四边形中选一组恰当的基底。在空间四边形ABCM,|a'B4ACAB,AC-60G分别是ARADDC的(2)AcCs126ai02|AD|=a,|BD|=a,(AD,BD)=60°,2一12ADBD=acos60a.2/、二1(3) |GF|=-a

9、,又GF/AC,GF,AC)=n.,TT7T12GFACacos-21r(4) |EF|=-a,|BC|二a,2EF/BD,(EF*,BC=<BD,BC)=601o1O.EFBCua2cos60-a2【总结升华】求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：a-b=|a|b|cosa,b即可顺利计算.举一反三：【高清课堂：空间向量的数量积399424例题1】【变式1】已知在长方体ABCD-ABC1d中，AB=AA=2,AD=4E为侧面aAb1B的中心，F为A1D1的中点.求卜列向量的数量积:(1)BCED'(2)EFFC'.【

10、答案】BCEDL其中正确命题的序号是（）A.B.C.D,【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，如图A1A=(0,0,1),AD1=(1,0,0),AB；=(0,1,0),AC=(1,1,1),AD1=(1,0,-1),BC百4)立京品7D'=044=16(2)"eFTC'=寂A'F)(fD'D'c'')二EAFDEA'D'CA7?俞AFD'C1=0-440=0【变式2】(2015南充三模)已知正方体ABCAAiBiCiDi,下列命题:(芯+和+/)2=3晶2I-1TAC(ABAA)=0向量AD1与向量AB

11、的夹角为60。正方体abcd-A1B1GD1的体积为|ABaAAD|,22.所以对于(AA+AD+AB1)2=(1,1,1)2=3=3AB1，故正确；对于，AC(ABAA)=(1,1,1)(0,1,1)=0,故正确；T-*T对于，因为AD1AB=(1,0,01)(0,1,1)=1,向量AD1与向量AB的夹角为120。；故错误;正方体ABCAA1B1GD1的体积为ABAA1彘,但是AD=0,故错误。故选：A。类型二：利用空间向量的数量积求两向量的夹角.例3.在棱长为a的正方体ABCCHAiBiCiDi中，求：异面直线BA1与AC所成的角.【思路点拨】利用BA；及=冏*|叫AiMCOSMBAI.A

12、C下,求出向量函与无的夹角据异面直线BA,AC所成角的范围确定异面直线所成角5,AC，D.C,再根cL【解析】因为Ba；=BA+BB；,AC=AB+BC,所以BA1.AC=（BA.BB1），AB-BC）=BA.ABBA.BCBB1.ABBB1.BC因为AB±BC,BB1XAB,BB1XBC,所以BA菽=0,BB1*AB=0,BB；*BC=0,bA*AB=-a2.所以Ba；«AC=-a2.又BA*AC=BaJ*AC+cos：:：BA1,AC.,cos：:BA1,AC二-a2所以BA,AC=120°.所以异面直线BA与AC所成的角为60°.【总结升华】求异面

13、直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示举一反三：【变式1】如图所示，在空间四边形OABO,OA=8AB=6,AC=4,BC=5,/OAC=45,/OAB=60,求异面直线OA与BC所成角的余弦值。OBac-aB,OABC=AC-OAAB=OAACcosOa,ACOAABcosOA,AB二84cos135-86cos120=24-16,224-16x23-2.2OA与BC的夹角的余弦值为3一225【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，MN分别是AB和BB/勺中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（

14、A3A.2B.,1010C.D.35设AB=a,ADc=0,|a|=|b|=|c|=1,1,CN=CBBN=bc,2，iAMi=iCN|=：京羡12'.cos:吗=2|AM|CN|5AM,CN=2,直线AM与CN所成的角的余弦值是一5类型三：利用空间向量的数量积求线段的长度。例4、已知|a|=2,|b|=3,，a,b>=601求12a-3b|的值。【解析】|2a-3b|2-4a29b2-12abr1=4黑4+9黑912父|a|b|cos60°=9712父2乂3区,=61。|2a-3b|=.河。【总结升华】善于利用求模公式|a|=是解此类题的关键。举一反三：【变式】已知向

15、量a、b、c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于()A.事B.5C.6D.褥【答案】A22.2.2(a-b2c)=ab4c-2ab4ac-4bc=114-2cos60'二5|a-b+2c=#。例5、在直二面角的上有两点AB,AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB,设AB=8cmAC=6cmBD=24cr求CD的长。【思路点拨】求线段CD的长度，可转化为求向量CD的模，、m工/，、4日"，、一芳，皿»父TT【解析】不难发现ABCM一空间四边形，由空间向量的加法运算法则，有CD=CA+AB+BD,于是CD之长可求。如图，

16、依题有AC、AB>BD两两垂直,二总0,CA羡=0,霜茄U'2|CD|=CDCD=(CAABBD)(CAABBD)=|CA|2+|AB|2+|BD'|2=62+82+242=676。CD=676=26(cm)。【总结升华】空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度,因此求线段长度的总是可用向量求解。举一反三：【变式1】已知PA!平面ABC/ABC=120,PA=AB=BC=6求线段PC的长，B22+AB+BC+2ABBC=36+36+36+2父36cos60口=144。.|PC|=12。【变式2】已知在平行六面体ABCDA'B&#

17、39;C'D'中，AB=4,AD=3AA=5,/BAD=90,/BAA=/DAA=60°,则AC等于(疗'A.85B.辰C.5应D.50【答案】B2TTAC'=(ABADAA')二|AB|2|AD|2'|AA'|22(ABADABAA'ADAA')=50+2(10+7.5)=85。类型四：利用空间向量的数量积证垂直.例6.已知空间四边形ABCD中，AB_LCD,AC_LBD,求证：AD.LBC.【思路点拨】判断线线垂直问题，可以转化为求向量的数量积为零。【解析】一一tT证明：(法一)ADBC=(AB+BD)(AC

18、TTT*2T-ABACBD-jACAAB)BD=AB(AC-AB'-BD)ABDC0.(法二)选取一组基底，设AB=a,AC=b,AD=c,4444444.AB-CDa(c-b)=0,即ac=ba,同普:.aqbc,a%=bc，ttc(b-a)=0，.二ADBC=0,即AD_LBC.【总结升华】证明直线垂直可转化为证明向量间的垂直，即向量的数量积等于零，且大大简化运算过程举一反三：【高清课堂：空间向量的数量积399424例题3】【变式1】已知在四棱锥P-ABCD中，底面平面ABCD,且PA=AB=2,点F分别是ABCD为正方形，PA.LPD的中点.求证：PC_LAF;【答案】证明：KrFrTiTT设PC=PAAC=PAABAD,AF=(AFAD)TTTTTiTTiPCAF-(PAABAD)(APAD)=(-400004)-022.PC_AF【变式2】如图，已知空间四边形ABCM每条边和对角线的长都等于a,点是边ARCD的中点。(1)求证：M