多元复合函数求导法则

1、精品资料欢迎下载§4多元复合函数的求导法则【目的要求】1、掌握多元复合函数及几种特殊复合函数的求导法则；2、理解全导数的概念；3、会利用多元函数的一阶全微分形式不变性求偏导数.【重点难点】各类型复合函数求导公式及计算；各变量之间的复合关系.【教学内容】在第二章中，我们学习了一元函数的复合函数求导，现将一元复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，按照多元函数的不同复合情形，分三种情形讨论.、复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理4.1如果函数u及v(t)都在点t可导,且函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zf(t),(t)在点t可导，且其导数为dzzdu

2、zdvodtudtvdt证设t取得增量t,这时u，v(t)的对应增量为u,v,函数zf(t),(t)相应地获得增量示为z.由于函数zf(u,v)可微，所以有z可以表5Vo()zzuu其中,(u)2(v)2.将上式两端同除以t,得精品资料欢迎下载o()t由于u(t),v(t)在点t可导，所以当t0时，u0,v0,从而于是所以0,并且有0()t0(这就证明了复合函数dudtlim-zt0tzduudtzf(t),(t)vdvtdtzdvovdt在点t可导,且公式成立.导数dz称为全导数.dt同理，我们可以把定理推广到对于中间变量多于两个的复合函数情形。例如,若zf(u,v,w),u(t),v(t)

3、,ww(t)复合而的复合函数zf(t),(t),w(t)满足定理条件，则有全导数公式设函数udzzdudtudtxy,而xe,zdvzdwovdtwdtysint,求全导数曲dtdudtudxxdtudyydtyxy1etxylnxcostetsint(sinttcost).例2设zarctan(xy),xt,yS,求芈。dtt0解由dz_zdx_zdyy1xedtxdtydt1xy21xy2'以及当t0时，x0,y1,可得dzdtt0、复合函数的中间变量均为多元函数的情形精品资料欢迎下载定理4.2若u(x,y)及v(x,y)在点(x,y)具有对x、y的偏导数，而函数zf(u,v)在对

4、应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zf(x,y),(x,y)在点(x,y)两个偏导数存在，且有zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy例3设函数zuv,而uxy,vxy,求z和一z.xyzzuzvv1v.用牛vuyuInuxuxvxxy1xyy(xy)(xy)(xy)ln(xy)zzuzvv1v,vuxuInuyuyvyx(xy)(xy)xy1(xy)xyln(xy).图4-26为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：首先从自变量z向中间变量u,v画两个分枝，然后再分别从u,v向自变量x,y回分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数.求二(三)时，我们只要把从z到x(或y

5、)的每条路径xy上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到zzuzvzzzuzv-)(xuxvxyuyvy类似地，对于中间变量多于两个的复合函数情形，有同样的结论。例如，设函数u(x,y),v(x,y),ww(x,y)都在点(x,y)有对x、y的偏导数，而函数zf(u,v,w)在对应点(u,v,w)偏导数连续，则复合函数zf(x,y),(x,y),w(x,y)精品资料欢迎下载在点(x,y)的两个偏导数存在，且有zzuzvzwyuyvywy、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形图4-27定理4.3设函数u(x,y)具有偏导数，而函数zf(u,x,y)可微，则复合函数zf(x,y),

6、x,y在点(x,y)偏导数存在，且有公式zfuf；xuxxzzuf.yuyy特别要强调的是，工与上有很多的区别：二是把函数f(x,y),x,y中的xxxy看成常数，对x求偏导，f是把f(u,x,y)中u,y看常数，对x求偏导.前者是x复合后对x的偏导数，后者是复合前对x的偏导数.由此可见，多元复合函数微分法的关键在于区分清楚函数结构中哪些是中间变量，哪些是自变量。对于抽象函数的复合函数的求偏导数问题，如函数zf(xsiny,exy),z是因变量，x,y是自变量。若设中间变量uxsiny,vexy,则在这个函数关系中，中间变量u,v与自变量x,y的函数关系f没有具体给出，这就是“抽象”的意义。这

7、样的函数求偏导数时，要按复合函数求偏导数公式计算，但是最后结果中，因变量z对中间变量u和v的偏导数只能以“抽象”的形式出现。例3设zf(xsiny,exy),其中f具有连续偏导数，求-u和-u.xy解设uxsiny,vexy,则精品资料欢迎下载zvsinyfuvxxy，yefvxcosyfuxexyfv例4.设函数ux2y2z2f(x,y,z)e，而zfV2222222xexy2zexy2xsinyzx2x(12x2sin2y)exyinyf_zzyx2y2z2门x2y2z222yey2zeyxcosy.224.22(yxsinycosy)exyxsiny若函数zf(u,v),u(x,y),v

8、(x,y)二阶偏导数连续，则复合函数(x,y),(x,y)存在二阶偏导数.记号f112z-2uf12f2122数，求设复合函数zf(2xcx、3y,)，y其中解设u2x2fif(u,v)对u,v具有二阶连续偏导(2fiyf2)2上一入)2(fiif12(x2y)12yLf23f22(3)yy6fiif223y2x2f12y精品资料欢迎下载四、全微分形式不变形设函数zf(u,v)具有连续偏导数，则全微分,z.z.dzdudv,uv若函数u(x,y),v(x,y)有连续偏导数，则复合函数zf(x,y),(x,y)的全微分为dzdx-zdyxy,zuzvzuzv、()dx()dyuxvxuyvyz,u,uz,v.v.(dxdy)(dxdy)uxyvxyzzdudv.uv可见无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质叫全微分形式不变性.例6利用全微分形式不变性求微分dzd(eusinv),其中uxy,vxy.解因为dzd(eusinv)eusinvdueucosvdv又因为dud(xy)ydxxdy,dvd(xy)dxdy,所以dzeusinv(ydxxdy)eucosv(dxdy)uuuu(e