大连理工大学高等数值分析有限元简述-2017

1、椭圆与抛物微分方程的有限元法有限元法是与差分法并驾齐驱的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程转化成一种变分方程(微分积分方程)，从而降低了对解的光滑性和边值条件的要求；然后，把求解区域划分成有限个单元(有限元)构造分片光滑函数，这个光滑函数由其在单元顶点上的函数值决定；最后，把这个分片光滑函数带入到上述微分积分方程中去，就得到关于单元顶点函数值的一个线性方程组，解之即得有限元解。与差分法相比，有限元法易于处理边界条件，易于利用分片高次多项式等等来提高逼近精度。空间Hm作为例子，我们将考虑区间I=(0,1上的微分方程。用L2(I)表示在I上勒贝格平方可积函数的集合，Hm表示本

2、身以及直到m阶的导数都属于L2(I)的函数的集合。我们下面用到的主要是H1(I)O这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数(折线函数)就属于H1(I),其广义导数是分片常数函数。另外，我们还用到空间H“)=vwH1(I),v(0)=0。(空间=函数集合。)微分方程考虑两点边值问题-(puy+qu=f,xw(0,1)(1)u(0)=0(2)u'(1)=0(3)其中p,q,f都是区间(0,1)上的光滑函数，q>0,并且p之p。，P0是一个正常数。用HE中任一函数v乘(1)式两端，并在0,1上积分，得1.0-(pu)v+quv-f

3、vdx=0(4)利用分部积分，并注意口(1)=0和丫(0)=0,得1111-o(pu)vdx=-puv|0ipuvdx=°puvdx以此代入到(4)得到1.(puv+quv-fv)dv=0(5)为了方便，定义1(w,v)=J0wvdx(7)a(w,v)=(pw：v)十(qw,v)(8)则相应于微分方程(1)-(3)的变分方程为：求uWHE满足a(u,v)=(f,v)Vv£HE(I)(9)注意在(9)中不由现二阶导数。可以证明，满足微分方程(1)-(3)的光滑解一定满足变分方程(9)。(9)的解称之为(1)-(3)的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能不是(1)-(3)的解；

4、但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是(1)-(3)的解。另外注意，在变分方程(9)中，我们强制要求广义解u满足边值条件u(0)=0,因而称之为强制(或本质)边界条件；而对边值条件u，(1)=0,则不加要求。但是可以证明，如果广义解u在通常意义下二阶可微，则一定有u，(1)=0,即这个边界条件自然满足。这类边界条件称之为自然边界条件。总之，变分方程(9)不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。有限元空间构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分0=X0<K<<Xn=1。相邻节点X,X之间的小区间IjJxwX称为第i个单元，其长度为h=Xi-

5、为。记h=maXi。在空间HE(I)中，按如下原则选取有限元空间Vh：它的元素uh(x)满足所谓本质边界条件uh(0)=0,在每一单元上是m次多项式，并且在每个节点上都是连续的。当m=1时，就得到最简单的线性元,这时每个小wVh可表为(10),、Xi一XX-Xi4,八uh(x)=u+ui,XIi,i=1,2,nhihi7其中ui=uh(Xi),u0=uh(0)=0。图1.一维线性元线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数:X-Xi1,x三x三xhii(x)=1x-xi-',xi_x_x1hi1(11)0,在别处n(X)=1TTXnMx"hn0,在别处图2.线性元

6、的基函数显然，任一/wVh可以表为nUh（x）=£u*（x）（13）i1有限元方程将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解u/Vh满足a（Uh,Vh）=（f,vjWheVh（14）注意到Uh和Vh都可以表示成（13）形式，容易看由（14）等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解U1,，Un满足nza（中iWjU广（f*j»1,n,（15）i4这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。可以把微分方程（1）、变分方程（9）和有限元方程（15）比喻为确定“好人”的三种标准：他每一时刻表现都好；每一个人都说他好；一个遴选委员会说他好。误差估计可以证明，

7、微分方程（1）-（3）的解u和有限元方程（14）或（15）的解琳之间的误差满足|U-Uh|+h|U'-Uh|FCh|U”|（16）其中C是一个常数；|表示L2（I）范数，定义为二维椭圆方程有限元法以二维区域上的Poisson方程第一边值问题为例：_2_2二W=f(x,y),(x,y9G(18)汰2yUy=0(19)其中g是以为边界的一个二维区域。利用Green公式，容易推由相应的变分方程：求uwH；(G)满足a(u,v)(fvVv=H1(G)(20)其中空间H0(G)由在边界r上为零且广义偏导数在区域G上勒贝格可积的所有函数组成，(w,v)三wvdxdy(21)GwN；:w：:vza(

8、w,v)二(7+丁dxdy(22)G二xtx:yy二维区域上最常用的剖分是形如下图的三角剖分：£9图1810我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。对内点集合Gh(例如上图中3,6,5这三个点)中每个节点i,定义其基函数*(x,y)为一个分片线性函数，它在节点i取值为1,而在所有其他节点为0。这样，有限元空间Vh中任一元素就可以表示成Uh(x)=£u牝(x)。把它带入到变分方程(20)使得有限i0元方程：求Gh上的近似解u满足Za(QWj)Ui=(f,%),Vj-Gh(23)iGh高次元可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。例如对于一维问题，

9、可以使用所谓Hermite三次元，它在每一个单元l=x,x】上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值和导数值总共4个参数确定。这时，相应于(16)我们有误差估计3|u-Uh|+h|u'-u；|ECh4£|u(k)|(24)k=0其中u表示k阶导数。对于二维问题也可以使用高次元，但是其定义要稍微复杂一点。抛物方程有限元法考虑一维抛物方程.:u.,u(p)+qu=f,tQq<,x<01(25)_:t；:x三xu(x,QJQUx)5朦1(26)u(Qt=)Qu,t(1,)<D<TQ(27)；:x其中系数p,q,f都是x和t的已知光滑函数，初值u0(x)是x的

10、已知光滑函数。它的变分方程为：求u(x,t)使得对每一个固定的twQ,T,都有u(x,t)wHE(I),并且(v)auv=)<vy)AhI()(28)ft其中1(w,v)=Wwvdxdy(29)a(w,v)=(p,当+(qw,v)(30)二x二x抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法，在空间方向用有限元法。象在(10)中那样，可以关于变量x构造线性有限元空间Vh。令时间方向步长为7。若时间方向用向前差商，空间方向用线性有限元，并记fk=f(x,k7),则有_n限元方程为：对k=1：,K=T/j逐层求uk=£u：*(x)WVh满足i1k1k(uhvh)auh(vh,=)fkvhVvhfVh(31)T这相当于在每一层要解一个线性方程组：nk1kn%(：)()'a(ij)u：=(fkJ),-j=1,ni3"i1或者稍微整理一下：nnn£(*Wju)k=£ei?qiXaefj+)i#(军j，(32),i1i1i1如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓Crank-Nicolson格式:k1kk1kk1k（33）（呵二uh,Vh）瓶（、,4）=（1一,vh）,-VhVh22习题1设边